Nosso Conhecimento do Mundo Exterior como um Campo para o Método Científico em Filosofia
Por Bertrand Russell
[185]VII A Teoria Positiva do Infinito
A teoria positiva do infinito, e a teoria geral do número à qual ela deu origem, estão entre os triunfos do método científico na filosofia, e, portanto, são especialmente adequadas para ilustrar o caráter lógico-analítico desse método. O trabalho nesse assunto tem sido realizado por matemáticos, e os seus resultados podem ser expressos em simbolismo matemático. Então, por que se diz que que o assunto deveria ser considerado como filosofia em vez de como matemática? Isso levanta uma questão difícil, em parte preocupada com o uso das palavras, mas, em parte, também de importância real no entendimento da função da filosofia. Cada assunto, pareceria, pode dar origem a investigações filosóficas assim como à ciência apropriada, a diferença entre os dois tratamentos estando na direção do movimento e no tipo de verdades que se busca estabelecer. Nas ciências especiais, o movimento é para frente e sintético, a partir do mais simples para o mais complexo. Mas na filosofia nós seguimos a direção inversa: a partir do complexo e relativamente concreto, nós prosseguimos na direção do simples e abstrato através da análise, buscando, no processo, eliminarmos a particularidade do tema e confirnamos nossa atenção inteiramente à forma lógica do fatos interessados.
[186]Entre a filosofia e a matemática pura há uma certa afinidade no fato de que ambas são gerais e a priori. Nenhuma delas afirma proposições que, como aquelas de história e geografia, dependem dos fatos concretos serem exatamente o que eles são. Nós podemos ilustrar essa característica através da concepção de Leibniz dos muitos mundos possíveis, dos quais apenas um é atual. Em todos os muitos mundos possíveis, filosofia e matemática serão as mesmas; as diferenças serão apenas com respeitos àqueles fatos particulares que são registrados pelas ciências descritivas. Portanto, qualquer qualidade pela qual o nosso mundo atual é distinguido de outros mundos abstratamente possíveis, deve ser igualmente ignorada pela matemática e filosofia. Contudo, matemática e filosofia diferem em sua maneira de tratarem as propriedades gerais sobre as quais todos os mundos possíveis concordam; pois, enquanto a matemática, partindo de proposições relativamente simples, busca construir resultados mais e mais complexos através de síntese dedutiva, a filosofia, partindo dos dados que são de conhecimento comum, busca purificá-los e generalizá-los nas afirmações mais simples de forma abstrata que podem ser obtidas a partir deles através da análise lógica.
A diferença entre filosofia e matemática pode ser ilustrada pelo nosso problema presente, a saber, a natureza do mundo. Ambas partem de certos fatos sobre os números que são evidentes à inspeção. Mas a matemática usa esses fatos para deduzir teoremas mais e mais complicados, enquanto que a filosofia busca, através da análise, ir por trás desses fatos a outros, mais simples, mais fundamentais, e mais inerentemente adequados para formarem as premissas da ciência da artimética. A questão, “O que é um número?” é uma preeminente questão filosófica nesse assunto, mas é uma que o matemático como tal não tem de perguntar, com a condição de que ele conheça o suficiente das propriedades [187]dos números para o capacitar a deduzir os seus teoremas. Uma vez que o nosso objeto é filosófico, nós precisamos abordar a questão do filósofo. A resposta à questão “O que é um número?,” a qual será alcançada nesta preleção, será descoberta também fornecer, por implicação, a resposta para as dificuldades do infinito que nós consideramos na preleção anterior.
A questão “O que é um número?” é uma que, até tempos bem recentes, nunca foi considerada do tipo de maneira que fosse capaz de produzir uma resposta precisa. Os filósofos estavam contentes com algum dito vago tal como, “Número é a unidade na pluralidade.” Uma definição típica do tipo que contentava os filósofos é a seguinte, a partir da Logic (§66, seção 3), de Sigwart: “Cada número não é meramente uma pluralidade, mas uma pluralidade pensada como mantida junta e fechada, e, àquela extensão, como uma unidade.” Agora, em tais definições há um engano muito elementar, do mesmo tipo que seria cometido se nós dissessemos “amarelo é uma flor” porque algumas flores são amarelas. Por exemplo, tome-se o número 3. Concebivelmente, uma única coleção de três coisas poderia ser descrita como “uma pluralidade pensada como mantida junta e fechada, e, àquela extensão, como uma unidade”; mas a coleção de 3 coisas não é o número 3. O número 3 é alguma coisa que todas as coleções de três coisas têm em comum, mas não é, ela mesma, uma coleção de três coisas. Portanto, a definição, à parte de quaisquer outros defeitos, falhou em alcançar o grau necessário de abstração: o número 3 é alguma coisa mais abstratas do que qualquer coleção de três coisas.
Contudo, definições filosóficas tão vagas permaneceram inoperantes por causa de sua própria vagueza. O que a maioria dos homens que pensaram sobre números realmente tinham em mente era que os números são o resultado de contagem (counting). “Da consciência da lei de contagem,” diz Sigwart [188]no começo de sua discussão do número, “depende a possibilidade de se prolongar espontaneamente a série de números ad infinitum.” É essa visão do número como gerado por contagem que tem sido o principal obstáculo psicológico para o entendimento dos números infinitos. A contagem, porque ela é familiar, é erroneamente suposta ser simples, ao passo que, de fato, ela é um processo altamente complexo, o qual não tem significado a menos que os números alcançados na contagem tenham algum significado independente do processo pelo qual eles foram alcançados. O erro é do mesmo tipo como se vacas (cows) fossem definidas como o que pode ser comprado de um mercador de gado (cattle-merchant). Para uma pessoa que conhece vários mercadores de gado, mas nunca tinha visto uma vaca, essa pode ser uma definição admirável. Mas, se em suas viagens, ele depara-se com vacas selvagens, ele teria de declarar que elas não eram de qualquer maneira vacas, porque nenhum mercador de gado poderia vendê-las. Assim, os números infinitos foram declarados não serem absolutamente números, porque eles não podiam ser alcançados através de contagem.
Será digno de nota considerar por um momento o que a contagem realmente é. Nós contamos um conjunto de objetos quando deixamos a nossa atenção passar de um para outro, até que nós tenhamos prestado atenção (attended) uma vez cada um, dizendo os nomes dos números em ordem com cada ato sucessivo de atenção. O último número nomeado nesse processo é o número de objetos, e, portanto, a contagem é o método de descobrir qual é o número dos objetos. Mas essa operação é realmente muito complicada, e aqueles quem imaginam que ela é a fonte lógica do número revelam-se notavalmente incapazes de análise. Em primeiro lugar, quando nós dizemos “um, dois, três …” enquanto nós contamos, não se pode dizer que nós estejamos descobrindo o número dos objetos contados, a menos que nós acrescentemos algum significado [189]às palavras um, dois, três… Uma criança pode aprender a conhecer essas palavras em ordem, e a repeti-las corretamente como as letras do alfabeto, sem acrescentar nenhum significado a elas. Uma tal criança pode contar corretamente a partir do ponto de vista de uma ouvinte crescido, sem ter absolutamente nenhuma ideia de números. De fato, a operação de contagem apenas pode ser inteligentemente realizada por uma pessoa que já tem alguma ideia do que os números são; e, a partir disso, segue-se que a contagem não fornece a base lógica do número.
Novamente, como nós sabemos que o último número alcançado no processo da contagem é o número dos objetos contados? Esse é apenas um daqueles fatos que são familiares demais para a significância deles ser compreendida; mas aqueles que desejam ser lógicos precisam adquirir o hábito de se demorarem sobre tais fatos. Há duas proposições envolvidas nesse fato: primeiro, que o número de números a partir de 1 até qualquer dado número é esse dado número – por exemplo, o número de números de 1 até 100 é uma centena; segundo, que se um conjunto de números pode ser usado como nome de um conjunto de objetos, cada número ocorrendo apenas uma vez, então o número de números usado como nomes é o mesmo que o número de objetos. A primeira dessas proposições é capaz de uma fácil prova aritmética, enquanto se relaciona a números finitos; mas com números infinitos, após o primeiro, ela deixa de ser verdadeira. A segunda proposição permanece verdadeira e, de fato, é, como nós deveremoos ver, como consequência imediata da definição de número. Mas, devido à falsidade da primeira proposição, onde se relaciona aos números infinitos, a contagem, mesmo se ela fosse praticamente possível, não seria um método válido de descoberta do número dos termos em uma coleção infinita, e, de fato, daria resultados diferentes de acordo com a maneira na qual ela fosse levada a cabo.
[190]Há dois aspectos nos quais se sabe que os números infinitos diferem dos números finitos: primeiro, números infinitos têm, enquanto números finitos não têm, uma propriedade que eu deverei chamar de reflexividade (reflexiveness); segundo, números finitos têm, enquanto os números infinitos não têm, uma propriedade que eu deverei chamar de indutividade (inductiveness). Consideremos essas duas propriedades sucessivamente.
(1) Reflexividade (Reflexiveness). - Diz-se que um número é reflexivo quando ele não é aumentado pela adição de 1 a ele. Segue-se imediatamente que qualquer número finito pode ser adicionado ao número reflexivo sem o aumentar. Essa propriedade dos números infinitos sempre foi considerada, até recentemente, ser autocontraditória; mas através do trabalho de Georg Cantor chegou-se a ser reconhecido que, embora à primeira vista surpreendente, ela não é mais autocontraditória do que o fato que pessoas nas antípodas não caiam para fora. Em virtude dessa propriedade, dada qualquer coleção infinita de objetos, qualquer número finito de objetos pode ser adicionado a ela, ou retirado dela sem aumentar ou diminuir o número da coleção. Mesmo um número infinito de objetos pode, sob certas circunstâncias, ser adicionado ou retirado sem alterar o número. Isso pode ser tornado claro através do auxílio de alguns exemplos.
Imagine que todos os números naturais 0, 1, 2, 3, … estão escritos em uma linha, e, imediatamente sob eles
0, 1, 2, 3, … n …
1, 2, 3, 4, … n+1 …
escreva os números 1, 2, 3, 4, …, de maneira que 1 esteja sob 0, 2, sob 1, e assim por diante. Então cada número na linha de cima tem um número diretamente sobre ele na linha de baixo, e nenhum número ocorre duas vezes em nenhuma linha. Segue-se que o número de número nas duas linhas precisa ser o mesmo. Mas todos os números que ocorrem na linha de baixo também ocorrem na linha [191]de cima, e um mais, a saber, o 0; dessa forma, o número de termos na linha de cima é obtido adicionando-se um ao número da linha de baixo. Portanto, enquanto se supõe que um número deve ser aumentado pela adição de 1 a ele, esse estado de coisa constitui uma contradição, e conduz à negação de que há números infinitos.
O exemplo seguinte é ainda mais surpreendente. Escreva os números naturais 1, 2, 3, 4, … na fileira de cima, e os números pares (even numbers) 2, 4, 6, 8, … na fileira de baixo, de maneira que cada número na fileira de cima equivale ao seu duplo na fileira de baixa. Portanto, como antes, o número dos números nas duas fileiras é o mesmo, contudo, a segunda fileira resulta a partir da remoção de todos os números ímpares (odd numbers) – uma coleção infinita – da fileira do topo. Esse exemplo é dado por Leibniz para provar que não pode haver números infinitos. Ele acreditava em coleções infinitas, mas, uma vez que ele considerava que um número sempre precisa ser aumentado, quando ele é adicionado a, ou diminuido, quando ele subtraído de, ele sustentava que coleções infinitas não tinham números. “O número de todos os números,” ele disse, “implica uma contradição, a qual eu revelo desta forma: para qualquer número há um número correspondente igual ao seu dubro. Portanto, o número de todos os números não é maior do que o número dos números pares, ou seja, o todo não é maior do que a sua parte.”1 Lidando com esse argumento, nós devemos substituir “o número de todos os números” por “o número de todos os números finitos”; então, nós obtemos exatamente a ilustração dada pelas nossas duas fileiras, uma contendo todos os números finitos, a outras, apenas os números pares finitos. Será visto que Leibniz considera autocontraditório sustentar que o todo não é [192]maior do que a sua parte. Mas a palavra “maior (greater)” é uma que é capaz de muitos significados; para o nosso propósito, nós temos de substituir a frase menos ambígua “contendo um número maior de termos.” Nesse sentido, não é autocontraditório para o todo e a parte serem iguais; é a compreensão desse fato que tornou possível a moderna teoria do infinito.
Há uma discussão interessante da reflexividade dos inteiros infinitos (infinite wholes) no primeiro dos diálogos de Galileu sobre o movimento. Eu cito a partir de uma tradução publicada em 1730.2 Os personagens no diálogo são Salvati, Sagredo e Simplicius, e eles raciocinam como se segue:
“Simp. Aqui já surge uma dúvida, a qual eu penso que não está resolvida; e que é esta: uma vez que é evidente que uma linha é dada maior do que outra, e uma vez que ambas contêm pontos infinitos, nós certamente precisamos necessariamente inferir que nós encontramos na mesma espécie alguma coisa que é maior do que o infinito, uma vez que a infinidade de pontos da linha maior excede a infinidade de pontos da menor. Mas agora, atribuir um infinito maior do que um infinito, é o que eu possivelmente não posso conceber.”
“Salv. Essas são algumas das dificuldades que surgem a partir dos discursos que o nosso intendimento finito faz sobre os infinitos, ao atribuirmos a eles atributos que nós concedemos às coisas finitas e terminadas, o que eu considero muito impróprio, porque aqueles atributos de maioridade (Majority), minoridade (Minority) e igualdade (Equality) não concordam com infinitos, dos quais nós não podemos dizer que um é maior do que (greater than), menor do que (less than) ou igual a (equal to) outro. Para provar de que eu tenho alguma coisa [193]surgida em minha cabeça, a qual (para que eu possa ser melhor entendido) eu proporei através de interrogações a Simplicius, quem iniciou essa dificuldade. Então, para começar: eu suponho que você saiba quais números são quadrados e quais não são?”
“Simp. Eu sei muito bem que um número quadrado é aquele que surge a partir da multiplicação de qualquer número por si mesmo; dessa forma, 4 e 9 são números quadrados, o primeiro surgindo a partir de 2, e o segundo a partir de 3, multiplicados por si mesmos.”
“Salv. Muito bem; e você também sabe que, como os produtos são chamados de quadrados, os fatores são chamados de raízes: e que os outros números, os quais não procedem a partir de números multiplicados por si mesmos, não são quadrados. A partir dai, tomando-se todos os números, tanto quadrados quanto não quadrados, se eu devesse dizer que os não quadrados são mais do que os quadrados, não deveria eu estar no direito?”
“Simp. Muito certamente.”
“Salv. Se eu seguir com você, e perguntar a você, quantos números elevados ao quadrado existem? Você pode verdadeiramente responder que há tantos quantas são as suas próprias raízes, uma vez que cada quadrado tem a sua própria raiz, e cada raiz o seu próprio quadrado, e uma vez que nenhum quadrado tem mais do que uma raiz, nem nenhuma raiz mais do que um quadrado.”
“Simp. Muito verdadeiro.”
“Salv. Mas agora, se eu devesse perguntar quantas raízes existem, você não pode senão negar que haja tantas quanto existem números, uma vez que não há número senão que seja a raíz de algum quadrado. E isso sendo concedido, da mesma maneira, nós podemos afirmar que há tantos números quadrados quanto há números; pois há tantos quadrados quanto há raízes, e tantas raízes quanto números. E contudo, no começo disse, nós dissemos, havia muitos mais números do que quadrados, a maior parte dos números sendo de não quadrados: e embora o número de [194]quadrados diminua em uma proporção maior, conforme nós prossigamos para números maiores, pois, contando até uma centena, você encontrará 10 quadrados, a saber, 1, 4, 9, 16, 35, 36, 49, 81, 100, o que é o mesmo que dizer que a 10ª parte são quadrados; em diz mil, apenas 100ª parte são quadrados; em um milhão, apenas a 1000ª parte: e todavia, em um número infinito, se pudêssemos apenas compreendê-lo, nós podemos dizer que os quadrados são tantos quanto todos os números tomados juntos.”
“Sagr. Então, o que deve ser determinado nesse caso?”
“Salv. Eu não vejo outro modo senão dizer que todos os números são infinitos; os quadrados são infinitos, as raízes deles, infinitas, e que o número de quadrados não é menor do que o número de números, nem esse menor do que aquele; e, então, concluir que os atributos ou termos da igualdade, maioridade e minoridade não têm lugar em infinitos, mas estão confinados a quantidades terminadas.”
A forma na qual o problema é exposto na discussão acima é digna de Galileu, mas a solução sugerida não é a correta. É efetivamente o caso de que o número de números (finitos) quadrados é o mesmo que o número de números (finitos). O fato de que, enquanto nos confinarmos a números menores do que algum número finito dado, a proporção de quadrados tende a zero enquanto o número finito dado aumenta, não contradiz o fato de que o número de todos os quadrados finitos seja o mesmo que número de todos os números finitos. Isso é apenas uma instância do fato, agora familiar aos matemáticos, de que o limite de uma função, conforme a variável se aproxima de um dado ponto, não pode ser o mesmo que o seu valor quando a variável efetivamente alcança o dado ponto. Mas, embora os números infinitos que Galileu discute são iguais, Cantor mostrou que o que Simplicius não pôde conceber é verdadeiro, a saber, que há um número infinito de diferentes números infinitos, e que a concepção de [195]maior (greater) e menor (less) pode perfeitamente bem ser aplicada a eles. Toda a dificuldade de Simplicius surge, como é evidente, a partir de sua crença que, se maior e menor podem ser aplicados, uma parte de uma coleção infinita tem de ter menos termos do que o todo; e, quando isso é negado, todas as contradições desaparecem. Com respeito a comprimentos maiores e menores de linhas, o qual é o problema a partir do qual a discussão acima se origina, isso envolve um significado de maior e menor que não é aritmético. O número de pontos é o mesmo em uma linha longa e em uma linha curta, de fato, sendo o mesmo que o número de pontos em todo o espaço. O maior e o menor da geometria métrica envolve a nova concepção métrica de congruência (congruence), a qual não pode ser desenvolvida apenas a partir de considerações aritméticas. Mas essa questão não tem a importância fundamental que pertence à teoria aritmética da infinidade.
(2) Não indutividade (Non-inductiveness). A segunda propriedade pela qual os números infinitos são distintos dos números finitos é a propriedade da não indutividade. Isso será melhor explicado definindo a propriedade positiva da indutividade (inductiviness) a qual caracteriza os números finitos, e a qual é nomeada segundo o método de prova conhecido como “indução matemática.”
Primeiro consideremos o que se quis dizer ao chamar uma propriedade de “hereditária” em uma dada série. Tome-se uma propriedade tal como ser denominado de Jones. Se um homem é denominado de Jones, assim é o filho dele; portanto, nós chamaremos a propriedade de ser chamado de Jones de hereditária com respeito à relação de pai e filho. Se um homem é chamado de Jones, todos os seus descendentes na linha masculina direta são chamados de Jones; isso se segue a partir do fato de que a propriedade é hereditária. Agora, em vez da relação de pai e filho, considere a relação de um número finito com o seu sucessor imediato, quer dizer, a relação que vale entre 0 e 1, entre [196]1 e 2, entre 2 e 3, e assim por diante. Se uma propriedade de números é hereditária com respeito a essa relação, então, se ela pertence a (digamos) 100, ela também deve pertentecer a todos os números finitos maiores do que 100; pois, sendo hereditária, ela pertence a 101 porque ela pertence a 100, e ela pertence a 102 porque ela pertence a 101, e assim por diante – onde o “e assim por diante (and so on)” levar-nos-á, mais cedo ou mais tarde, a qualquer número finito maior do que 100. Dessa forma, por exemplo, a propriedade de ser maior do que 99 é hereditária na série de números finitios; e, de modo geral, uma propriedade é hereditária nessa série quando, dado qualquer número que possui a propriedade, o número seguinte sempre a possui.
Será visto que uma propriedade hereditária, embora ela tenha de pertencer a todos os números finitos maiores do que um dado número possuindo a propriedade, não necessita pertencer a todos os números menores do que esse número. Por exemplo, a propriedade hereditária de ser maior do que 99 pertence a todos 100 e a todos os números maiores, mas não a nenhum número menor. Similarmente, a propriedade hereditária de ser chamado de Jones pertence a todos os descendentes (em linha masculina direta) daqueles que têm essa propriedade, mas não a todos os ancestrais deles, porque nós finalmente alcançamos um primeiro Jones, antes de quem os ancestrais não têm sobrenome (surname). Contudo, é óbvio que alguma propriedade herditária possuída por Adão tem de pertencer a todos os homens; e, similarmente, alguma propriedade possuída pelo 0 tem de pertencer a todos os números finitos. Esse é o princípio do que é chamado de “indução matemática.” Frequentemente acontece, quando nós desejamos provar que todos os números finitos têm alguma propriedade, que, primeiro, nós temos de provar que 0 tem a propriedade e, em seguida, que a propriedade é hereditária, ou seja, se ela pertence a um dado número, então ela pertence ao próximo número. Devendo-se ao fato de que tais provas [197]são chamadas de “indutivas,” eu deverei chamar as propriedades às quais elas são aplicáveis de “indutivas.” Dessa forma, uma propriedade indutiva de números é uma que é hereditária e pertence ao 0.
Tomando qualquer um dos números naturais, digamos 29, é fácil ver que ele deve ter todas as propriedades indutivas. Pois, uma vez que tais propriedades pertencem ao 0 e são hereditárias, elas pertencem ao 1; portanto, uma vez que elas são hereditárias, elas pertencem ao 2, e assim por diante; através de vinte e nove repetições de tais argumentos nós mostramos que elas pertencem ao 29. Nós podemos definir os números “indutivos” como todos que possuem todas as propriedades indutivas; eles serãos os mesmos que são chamados de números “naturais,” ou seja, os ordinários números inteiros finitos. A todos esses números, provas por indução matemática podem ser validamente aplicadas. Eles são aqueles números, nós podemos vagamente dizer, que podem ser alcançados a partir do zero por adições sucessivas de 1; em outras palavras, eles são todos os números que podem ser alcançados através de contagem.
Mas além de todos esses números, há os números infinitos, e números infinitos não têm todas as propriedades indutivas. Tais números, portanto, podem ser chamados de não indutivos. Todas essas propriedades dos números que são provadas por um imaginário processo passo a passo a partir de um número para o próximo estão sujeitos a falhar quando se chega aos números infinitos. O primeiro dos números infinitos não tem predecessor imediato, porque não há o maior número finito; dessa maneira, nenhuma sucessão a partir de um número para o próximo nunca alcançará um número infinito a partir de um finito, o método passo a passo de prova falha. Essa é outra razão para as supostas autocontradições dos números infinitos. Muitas das propriedades mais familiares dos números, as quais o costume tinha conduzido as pessoas a considerar como logicamente necessárias, de fato, são demonstráveis [198]apenas através do método passo a passo, e falham em ser verdadeiras dos números infinitos. Mas tão logo nós compreendamos a necessidade de provar tais propriedades por indução matemática, e o escopo estritamente limitado desse método de prova, as supostas contradições são vista contradizerem não a lógica, mas apenas os nossos prejuízos e hábitos mentais.
A propriedade de ser aumentado pela adição de 1 – ou seja a propriedade de não reflexividade (non-reflexiveness) – pode servir para ilustrar as limitações da indução matemática. É fácil provar que o 0 é aumentado pela adição de 1 e que, se um dado número é aumentado pela adição de 1, assim é o número seguinte, ou seja, o número obtido pela adição de 1. Segue-se que cada um dos números naturais é aumentado pela adição de 1. Isso, geralmente, segue-se a partir do argumento geral, e segue-se para cada caso particular por um número suficiente de aplicação do argumento. Nós primeiro provamos que 0 não é igual a 1; então, visto que a propriedades de ser aumentado por 1 é hereditária, segue-se que não é igual a 2; consequentemente, segue-se que 2 não é igual a 3; se nós desejarmos provar que 30.000 não é igual a 30.001, nós podemos fazê-lo repetindo o mesmo raciocínio 30.000 vezes. Mas nós não podemos provar dessa maneira que todos os números são aumentados pela adição de 1; nós apenas podemos provar que isso vale para os números obtíveis por adições sucessivas de 1 começando a partir do 0. Os números reflexivos, os quais se estendem além de todos aqueles obtíveis dessa maneira, são, como uma questão de fato, não aumentados pela adição de 1.
As duas propriedades de reflexividade e não indutividade, as quais nós temos considerado como características dos números infinitos, até agora, não foram provadas ser sempre encontradas juntas. É conhecido que todos os números reflexivos são não indutivos, mas não é conhecido que todos os números não indutivos sejam reflexivos. Provas falaciosas [199]dessa proposição foram publicadas por muitos escritores, incluindo eu mesmo, mas, até a presente data, nenhuma prova válida foi descoberta. Contudo, os números infinitos são todos tanto reflexivos quando não indutivos; dessa forma, na prática matemática, se não na teoria, as duas propriedades estão sempre associadas. Portanto, para os nossos propósitos, será conveniente ignorar a simpels possibilidade de que possa haver números não indutivos não reflexivos, uma vez que todos os números são ou indutivos ou reflexivos.
Quando os números infinitos foram introduzidos pela primeira vez às pessoas, elas ficaram inclinadas a recusar o nome de números a eles, porque o comportamento deles é tão diferente daqueles dos números finitos que parece um uso indevido intencional chamar-lhes de números de qualquer maneira. Para refutar esse sentimento, nós agora precisamos nos voltar para a base lógica da aritmética e considerarmos a definição lógica de números.
A definição lógica dos números, embora ela pareça um suporte essencial para a teoria dos números infinitos, de fato, foi descoberta independentemente por um homem diferente. A teoria dos números infinitos – quer dizer, a aritmética, enquanto oposta à parte lógica da teoria – foi descoberta pro Georg Cantor, e publicada por ele em 1882-3.3 A definição de número foi descoberta aproximadamente na mesma época por um homem cujo o grande gênio não recebeu o reconhecimento que ele merece – eu quero dizer Gottlob Frege de Jena. A sua primeira obra, Begriffsschrift, pubicada em 1879, continha a teoria muito importante das propriedades hereditárias em uma séria, à qual eu aludi em conexão com a indutividade. A sua definição de número está contida em sua segunda obra, publicada em 1884, e entitulada de Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathematische [200]Untersuchung über den Begriff der Zahl.4 É com esse livro que a teoria lógica da aritmética começa, e recompensar-nos-á considerar a análise de Frege em algum detalhe.
Frege começa notando o desejo intensificado por rigor (strictness) lógico nas demonstrações matemáticas, o que distingue os matemáticos modernos de seus predecessores, e indica que isso tem de conduzir a uma investigação crítica da definição de número. Ele prossegue para mostrar a inadequação das teorias filosóficas anteriores, especialmente da teoria “sintética a priori” de Kant e a teoria empírica de Mill. Isso o conduz à questão: Que tipo de objeto é esse ao qual o número pode ser apropriademente atribuído? Ele assinala que coisas físicas podem ser consideradas como umas ou muitas: por exemplo, se uma árvore tem mil folhas, elas podem ser tomadas no todo como constituindo sua folhagem, a qual conta como uma, não como mil; e um par de botas é o mesmo objeto que duas botas. Segue-se que coisas físicas não são os sujeitos aos quais o número é apropriadamente predicado; pois, quando nós tivermos descobeto os sujeitos apropriados, o número a ser atribuído deve ser não ambíguo. Isso conduz a uma discussão da visão muito prevalente de que o número é realmente alguma coisa psicológica e subjetiva, uma visão que Frege enfaticamente rejeita. “O número,” ele diz, “é tão pouco um objeto da psciologica ou um resultado de processos físicos quanto o Mar do Norte…. O botânico deseja afirmar alguma coisa que é tanto um fato quando ele dá o número de pétalas em um flor como quando ele dá a sua cor. Um depende tão pouco de nosso capricho quanto o outro. Portanto, há uma certa [201]similaridade entre número e cor; mas isso não consiste no fato de que ambas sejam sensivelmente perceptíveis em coisas externas, mas no fato de que ambas são objetivas” (p. 34).
“Eu distingo o objetivo,” ele continua, “do palpável, do espacial, do atual. O eixo da terra, o centro de massa do sistema solar, são objetivos, mas eu não deveria os chamar de atuais, como a terra mesma” (p. 35). Ele conclui que o número não é nem espacial e físico, nem subjetivo, mas não sensível e objetivo. Essa conclusão é importante, uma vez que ela se aplica a todo o objeto (subject-matter) da matemática e lógica. A maior parte dos filósofos pensou que o físico e o mental exauriam o mundo do ser entre eles. Alguns argumentaram que os objetos da matemática eram obviamente não subjetivos e, portanto, devem ser físicos e empíricos; outros argumentaram que eles eram obviamente não físicos e, portanto, devem ser subjetivos e mentais. Os dois lados estavam certo no que eles negavam, e errados no que eles afirmavam; Frege tem o mérito de aceitar as duas negações e descobrir uma terceira afirmação reconhecendo o mundo da lógica, o qual não é nem mental nem físico.
O fato é, como Frege indica, que nenhum número, nem mesmo o 1, é aplicável às coisas físicas, mas apenas a termos gerais ou descrições, tais como “homem,” “satélite da Terra,” “satélite de Vênus.” O termo geral “homem” é aplicável a um certo número de objetos: há no mundo tantos e tantos homens. A unidade que os filósofos corretamente sentem ser necessária para a afirmação (assertion) de um número é a unidde do termo geral, e é o termo geral que é o sujeito próprio do número. E isso se aplica igualmente quando há um objeto ou nenhum que se classifique sob o termo geral. “Satélite da terra” é um termo somente aplicável a um objeto, a saber, [202]à lua. Mas “um (one)” não é uma propriedade da lua mesma, a qual, igualmente, pode ser considerada como muitas moléculas: ele é uma propriedade do termo geral “satélite da terra.” Similarmente, 0 é uma propriedade do termo geral “satélite de Vênus,” porque Vênus não tem nenhum satélite. Aqui, pelo menos, nós temos uma teoria intelígivel do número 0. Isso era impossível se números aplicassem-se a objetos físicos, porque, obviamente, nenhum objeto físico tem o número 0. Dessa forma, buscando nossa definição de número, nós chegamos tão longe no resultado de que os números são propriedades dos termos gerais ou descrições gerais, não de coisas físicas ou de ocorrências mentais.
Em vez de falarmos de um termo geral, tal como “homem,” como sujeito ao qual o número pode ser atribuido, nós podemos, sem fazermos nenhuma mudança séria, tomae o sujeito como a classe ou coleção de objetos – ou seja, “o gênero humano (mankind)” no exemplo acima – ao qual o termo geral em questão é aplicável. Dois termos gerais, tais como “homem” e “bípede implume (featherless biped),” os quais são aplicáveis à mesma coleção de objetos, obviamente, terão o mesmo número de instâncias; dessa forma, o número depende da classe, não da seleção desse ou daquele termo geral para a descrever, com a condição de que vários termos gerais possam ser encontradas para descreverem a mesma classe. Mas algum termo geral sempre é necessário para descrever uma classe. Mesmo quando os termos são enumerados, como “este e esse e o outro,” a coleção é constituída pela propriedade geral de ser ou este, ou esse, ou o outro, e apenas assim adquire a unidade que nos capacita a falar dela como uma coleção. E no caso de uma classe infinita, a enumeração é impossível, de maneira que descrição através de uma característica geral comum e peculiar aos membros da classe é a única descrição possível. Aqui, como nós vemos, a teoria do número à qual Frege foi conduzido por considerações puramente [203]lógicas, tornou-se útil para mostrar como classes infinitas podem ser passíveis de número a despeito de serem incapazes de enumeração.
Em seguida, Frege pergunta: Quando duas coleções têm o mesmo número de termos? Na vida ordinária, nós decidimos essa questão através da contagem; mas a contagem, como nós vimos, é impossível no caso de coleções infinitas, e não é logicamente fundamental com coleções finitas. Portanto, nós queremos um método diferente de responder à nossa questão. Uma ilustração pode ajudar-nos a tornar o método claro. Eu não sei quantos homens casados há na Inglaterra, mas eu sei que o número é o mesmo que o número de mulheres casadas. A razão que eu seu disso é que a relação de esposo (husband) e esposa (wife) relaciona um homem com uma mulher e uma mulher com um homem. Uma relação desse tipo é chamada de uma relação um-um. A relação de pai e filho é chamada de uma relação um-muitos, porque um homem pode ter apenas um pai, mas ele pode ter muitos filhos; reciprocamente, a relação de filho para pai é chamada de uma relação muitos-um. Mas a relação de esposo para esposa (em países cristãos) é chamada de um-um, porque um homem não pode ter mais do que uma esposa, ou uma mulher mais do que um esposo. Agora, sempre que haja uma relação um-um entre todos os termos de uma coleção e todos os termos de outra individualmente, como no caso de esposos ingleses e esposas inglesas, o número de termos em uma coleção é o mesmo que o número na outra; mas quando não há uma tal relação, o número é diferente. Essa é a resposta para a questão: Quando duas coleções têm o mesmo número de termos?
Agora, finalmente, nós podemos responder à questão: O que se quis dizer pelo número de termos em uma dada coleção? Quando há uma relação um-um entre todos os termos de uma coleção e todos os termos de outra individualmente, nós [204]devemos dizer que as duas coleções são “similares.” Há pouco nós vimos que duas coleções similares têm o mesmo número de termos. Isso nos conduz a definir o número de uma dada coleção como a classe de todas as coleções que são similares a ela; isso quer dizer, nós estabelecemos a seguinte definição formal:
“O número de termos em uma dada classe” é definido como significando “a classe de todas as classes que são similares à dada classe.”
Essa definição, como Frege mostrou (expressando-a em termos levemente diferentes), produz as usuais propriedades aritméticas dos números. Ela é aplicável igualmente aos números finitos e infinitos, e não requer a admissão de algum novo e misterioso conjunto de entidades metafísicas. Ela mostra que não são os objetos físicos, mas as classes ou os termos gerais pelos quais elas são definidas, dos quais os números podem ser afirmados; e isso se aplica ao 0 e ao 1 sem nenhuma das dificuldades que as outras teorias encontram ao lidar com esses dois casos especiais.
A definição acima é certa de produzir, à primeira vista, um sentimento de estranheza, o qual é passível de causar uma certa insatisfação. Por exemplo, ela define o número 2 como a classe de todos as duplas, e o número 3 como a classe de toda as tríades. Isso não parece ser o que nós até agora estivemos querendo dizer quando nós falávamos de 2 e 3, embora seria difícil dizer o que nós estivemos querendo dizer. A resposta a um sentimento não pode ser um argumento lógico, mas, mesmo assim, nesse caso, a resposta não é sem importância. Em primeiro lugar, será descoberto que, quando uma ideia que se tornou familiar como um todo não analisado é primeiramente resolvida em suas partes componentes – que é o que nós fazemos quando a definimos – quase sempre há um sentimento de não familiaridade produzido pela análise, o que tende a causar um protesto contra a definição. Em [205]segundo lugar, pode ser admitido que a definição, como todas as definições, é, a uma certa extensão, arbitrária. No caso dos pequenos números finitos, tais como o 2 e o 3, seria possível estruturar definições mais aproximadamene em concordância com o nosso sentimento não analisado do que nós queremos dizer; mas o método de tais definiçõe careceria de uniformidade, e seria descoberto falhar mais cedo ou mais tarde – no mínimo quando nós alcançassemos os números infinitos.
No terceiro lugar, o real desideratum sobre uma tal definição como aquela do número não é que ela deveria representar tão proximamente quanto possível as ideias daqueles que não passaram pela análise requerida para alcançar uma definição, mas que ela deveria nos fornecer objetos tendo as propriedades necessárias. De fato, os números devem satisfazer as fórmulas da aritmética; qualquer conjunto indubitável de objetos satisfazendo esse requerimento pode ser chamado de números. Até aqui, o conjunto mais simples conhecido a satisfazer esse requerimento é o conjunto introduzido pela definição acima. Em comparação com esse mérito, a questão de se os objetos aos quais essa definição se aplica são semelhantes a (like), ou diferentes de (unlike), as ideias vagas de números concebidas por aqueles que não podem fornecer uma definição, é uma de muito pouca importância. Todos os requerimentos importantes são satisfeitos pela definição acima, e a sensação de estranheza, a qual é inicialmente inevitável, será descoberta desaparecer muito rapidamente com o crescimento da familiaridade.
Contudo, há uma certa doutrina lógica que pode ser considerada formar uma objeção à definição acima de números como classes de classes – eu quero dizer a doutrina de que absolutamente não há objetos tais como classes. Poderia ser considerado que essa doutrina faria estragos em uma teoria que reduz números a classes, e em muitas outras teorias nas quais nós fizemos uso de classes. Contudo, isso seria um equívoco: nenhuma dessas teorias [206]são alguma coisa piores pela doutrina de que as classes são ficções. Qual doutrina é, e porque ela não é destrutiva, eu tentarei brevemente explicar.
Em consideração a certas dificuldades bastantes complicadas, culminando em contradições definidas, eu fui conduzido à visão de que nada que possa ser dito significativamente sobre as coisas, ou seja, os particulares, pode ser dito significativamente (ou seja, verdadeira ou falsamente) sobre classes de coisas. Isso quer dizer, se, em qualquer sentença na qual uma coisa é mencionada, você substitui a coisa por uma classe, você não tem mais uma sentença que tenha qualquer significado: a sentença não é mais verdadeira ou falsa, mas uma coleção sem sentido de palavras. Aparências do contrário podem ser dispersas por uma reflexão de momento. Por exemplo, na sentença, “Adão gosta de maçãs,” você pode substituir por gênero humano (mankind), e dizer, “O gênero humano gosta de maçãs.” Mas, obviamente, você não quer dizer que há um indivíduo, chamado de “gênero humano,” o qual mastiga maçãs: você quer dizer que os indivíduos separados, quem compõem o gênero humanos, cada um, individualmente, gosta de maçãs.
Agora, se nada que pode ser dito significativamente sobre uma coisa pode ser dito significativamente sobre uma classe de coisas, segue-se que classes de coisas não podem ter o mesmo tipo de realidade que as coisas têm; pois, se elas tivessem, uma classe poderia ser substituída por uma coisa em uma proposição predicando o tipo de realidade que seria comum a ambas. Essa visão está realmente em concordância com o senso comum. No século III ou IV a.C. viveu um filósofo chinês de nome Hui Tzŭ, quem sustentava que “um cavalo baio (bay horse) e uma vaca parda (dun cow) são três; porque, tomados separadamente eles são dois, e, tomados juntos, eles são um: dois e um três.”5 O autor a partir do qual eu cito diz que Hui Tzŭ “era particularmente afeiçoado os sofismas (quibbles) [207]que tanto deleitaram os sofistas e raciocinadores instáveis da Grécia antiga,” e isso, sem dúvida, representa, o julgamento do senso comum sobre semelhantes argumentos. Todavia, se as coleções de coisas fossem coisas, a polêmica dele seria irrefragável. É apenas porque o cavalo baio e a vaca parda tomados juntos não são uma nova coisa que nós podemos escapar da conclusão de que há três coisas sempre que há duas.
Quando é admitido que classes não são coisas, a questão surge: O que nós queremos dizer por afirmações que são nominalmente sobre classes? Tome-se uma afirmação tal como, “A classe das pessoas interessadas em lógica matemática não é muito numerosa.” Obviamente, isso se reduz a, “Não muitas pessoas estão interessadas em lógica matemática.” Em prol de definibilidade, substituamos “muitas (very many)” por algum número particular, digamos, 3. Então a nossa afirmação é, “Nem três pessoas estão interessadas em lógica matemática.” Isso pode ser expresso na forma: “Se x está interessado em lógica matemática, e também y está interessado, e também z está interessado, então x é idêntico a y, or x é idêntico a z, ou y é idêntico a z.” Aqui não há absolutamente nenhuma referência a uma “classe.” De uma maneira similar, todas as afirmações nominalmente sobre uma classe podem ser reduzidas a afirmações sobre o que se segue a partir da hipótese de alguma coisa ter a propriedade definidora da classe. Portanto, tudo o que é requerido para tornar legítimo o uso verbal de classes é um método uniforme de interpretar proposições nas quais um uso semelhante ocorra, de modo a obter proposições nas quais não há mais qualquer uso semelhante. A definição de uma tal método é uma questão técnica, com a qual o Dr. Whitehead e eu lidamos em outro lugar, e na qual nós não precisamos entrar nesta ocasião.6
[208]Se a teoria de que as classes são meramente simbólicas for aceita, segue-se que os números não são entidades reais, mas que as proposições nas quais os números ocorrem verbalmente não têm realmente nenhum constituente correspondente aos números, mas apenas uma certa forma lógica que não é uma parte de proposições tendo essa forma. De fato, esse é o caso com todos os objetos aparentes da lógica e matemática. Palavras tais como ou (or), não (no), se (if), há (there is), identidade, maior (greater), mais (plus), nada (nothing), tudo (everything), função, e assim por diante, não são nomes de objetos definidos, como “John” ou “Jones,” mas são palavras que requerem um contexto para ter significado. Todas elas são formais, isso quer dizer, a ocorrência delas indica uma certa forma de proposição, não um certo constituinte. Em resumo, “constantes lógicas” não são entidades; as palavras expressandos não são nomes, e não podem, significativamente, ser tornadas em sujeitos lógicos exceto quando são as palavras mesmas, enquanto opostas aos seus significados, que estão sendo discutidas.7 Esse fato tem uma relevância importantes para toda a lógica e filosofia, uma vez que ele revela como elas diferem das ciências especiais. Mas as questões levantadas são tão grandes e tão difíceis que é impossível as persegui mais nesta ocasião.
ORIGINAL:
RUSSELL, B. Our Knowledge of the External World as a Field for Scientific Method in Philosophy. Chicago and London: The Open Court Publishing Company, 1915. pp.185-208. Disponível em: <https://archive.org/details/ourknowledgeofex00inruss/page/185/mode/1up>
TRADUÇÃO:
EderNB do Blog Mathesis
Licença: CC BY-NC-SA 4.0
1 [191]Phil. Werke, Edição de Gerhardt, vol. i. p. 338.
2 [192]Mathematical Discourses concerning two new sciences relating to mechanics and local motion, in four dialogues. Por Galileu Galilei, Filósofo e Matemático Chefe do Grão-duque da Toscana. Traduzido do italiano para o inglês, por Tho. Weston, mestre antigo, e agora publicado por John Weston, mestre presente, da Academia de Greenwich. Ver. pp. 46 ff.
3 [199]Em seu Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre e em seus artigos em Acta Mathematica, vol. ii.
4 [200]A definição de número contida neste livro, e elaborada em Grundgesetze der Arithmetik (vol. i., 1893; vol. ii., 1903), foi redescoberta por mim em ignorância do trabalho de Frege. Eu desejo declarar, tão enfaticamente quanto possível – o que ainda parece ser frequentemente ignorado – que essa descoberta antecipou a minha em dezoito anos.
5 [206]Giles, The Civilization of China (Home University Libray), p. 147.
6 [207]Cf. Principia Mathematica, §20, e Introdução, capítulo iii.
7 [208]Nas observações acima, eu estou fazendo uso de trabalho não publicado de meu amigo Ludwig Wittgenstein.
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