Introdução à Filosofia Matemática VII Números Racionais, Reais e Complexos

Introdução à Filosofia Matemática

Por Bertrand Russell

Prefácio, Nota do Editor e Conteúdos

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[63]Capítulo VII Números Racionais, Reais e Complexos

Nós agora vimos como definir números cardinais e também números-relação, dos quais o que são comumente chamados de números ordinais são uma espécie particular. Será descoberto que cada um desses tipos de números pode ser infinito precisamente tão bem quanto finito. Mas nenhum deles é capaz, do jeito que está, das extensões mais familiares da ideia de número, a saber, as extensões dos números negativos, fracionais, irracionais e complexos. No capítulo presente, nós devemos suprir brevemente definições lógicas dessas várias extensões.

Um dos erros que têm atrasado a descoberta de definições corretas nessa região é a ideia comum de que cada extensão de número incluía os tipos anteriores como casos especiais. Era considerado que, lidando com inteiros positivos e negativos, os inteiros positivos podiam ser identificados com os originais inteiros sem sinal. Novamente, era considerado que uma fração cujo denominador fosse 1 pode ser identificada com o número natural que é o seu numerador. E supunha-se que os números irracionais, tais como a raiz quadrada de 2, devessem encontrar o seu lugar entre as frações racionais, como sendo maiores do que algumas delas e menores do que as outras, de modo que os números racionais e irracionais poderiam ser combinados como uma classe, chamada de “números reais.” E quando a ideia de número foi mais estendida de modo a incluir os números “complexos,” ou seja, números envolvendo a raiz quadrada de -1, foi pensado que os números reais poderiam ser considerados como aqueles entre os números complexos nos quais a parte imaginária (ou seja, a parte [64]que era um múltipla da raiz quadrada de -1) fosse zero. Todas essas suposições eram errôneas, e tinham de ser descartadas, como nós deveremos descobrir, se definições corretas devem ser dadas.

Comecemos com inteiros positivos e negativos. É óbvio, para uma consideração momentânea, que tanto +1 quanto -1 têm de ser relações, e, de fato, têm de ser um o inverso do outro. A definição óbvia e suficiente é que +1 é a relação de n+1 para n, e -1 é a relação de n para n+1. Geralmente, se m for qualquer número indutivo, +m será a relação de n+m para n (para qualquer n), e -m será a relação de n para n+m. De acordo com essa definição, +m é uma relação que é um-um, enquanto n for um número cardinal (finito ou infinto) e m for um número cardinal indutivo. Mas, sob nenhuma circunstância, +m deve ser capaz de ser identificado com m, o qual não é uma relação, mas uma classe de classes. De fato, +m é exatamente tão distinto de m quanto é -m.

Frações são mais interessantes do que números positivos ou negativos. Nós necessitamos de frações para muitos propósitos, mas talvez, mas obviamente, para propósitos de mensuração. Meu amigo e colaborador, o dr. A. N. Whitehead desenvolveu uma teoria de frações especialmente adaptada para a aplicação delas à mensuração, a qual está estabelecida em Principia Mathematica.¹ Mas, se tudo que for necessário é definir objetos tendo as requeridas propriedades puramente matemáticas, esse propósito pode ser alcançado por um método mais simples, o qual nós deveremos adotar aqui. Nós deveremos definir a fração m/n como sendo aquela relação que vale entre dois números indutivos x, y quando xn=ym. Essa definição nos possibilita provar que m/n é uma relação, com a condição de que nem m nem n seja zero. E é claro, n/m é a relação inversa para m/n.

A partir da definição acima fica claro que a fração m/1 é aquela relação entre dois inteiros x e y que consiste no fato de que x=my. Essa relação, como a relação +m, de modo nenhum é capaz de ser identificada com o número cardinal indutivo m, porque uma relação e uma classe de classes são objetos [65]de tipos completamente diferentes.² Será percebido que 0/n é sempre a mesma relação, seja o que for que o número indutivo n possa ser; em resumo, ela é a relação de 0 para qualquer outro cardinal indutivo. Nós podemos chamar isso de 0 dos números racionais; é claro, ela não é idêntica ao número cardinal 0. Inversamente, a relação m/0 é sempre a mesma, seja o que for que o número m possa ser. Não há nenhum cardinal indutivo para corresponder a m/0. Nós podemos chamá-la de “o infinito dos racionais.” Ela é uma instância do tipo de infinito que é tradicional na matemática, e que é representado por “∞.” Isso é um tipo totalmente diferente do verdadeiro infinito cantoriano, o qual nós deveremos considerar no nosso próximo capítulo. O infinito dos racionais não demanda, para a sua definição ou uso, quaisquer classes infinitas ou inteiros infinitos. De fato, isso não é uma noção muito importante, e nós poderíamos dispensá-la completamente se houvesse qualquer objetivo ao fazê-lo. Por outro lado, o infinito cantoriano é da maior e mais fundamental importância; o entendimento dele abre o caminho para inteiros novos reinos de matemática e filosofia.

Será observado que zero e infinito, únicos entre as razões, não são um-um. O zero é um um-muitos e infinito é muitos-um.

Não há nenhuma dificuldade na definição de maior e menor entre razões (ou frações). Dadas duas razões m/n e p/q, nós devemos dizer que m/n é menor do que p/q se mq é menor do que pn. Não há dificuldade em provar que a relação “menor do que (less than),” assim definida, é serial, de modo que razões formam uma série em ordem de magnitude. Nessa série, o zero é o menor termo, e o infinito é o maior. Se nós omitirmos zero e infinito da nossa série, não há mais nenhuma razão menor ou maior; é óbvio que se m/n for qualquer outra razão além de zero e infinito, m/2n é menor e 2m/n é maior, embora nenhuma seja zero ou infinito, de modo que m/n não é nem a razão menor [66]nem a maior, e, portanto (quando zero e infinito são omitidos) não há menor ou maior, uma vez que m/n foi escolhido arbitrariamente. De maneira similar, nós podemos provar que por mais que duas frações possam ser aproximadamente iguais, sempre há outras frações entre elas. Pois, que m/n e p/q sejam duas frações das quais p/q é a maior. Então é fácil de ver (ou para provar) que (m+p)/(n+q) será maior do que m/n e menor do que p/q. Desse modo, a série de razões é uma na qual nenhum par de termos é consecutivo, mas sempre há outros termos entre quaisquer dois. Uma vez que há outros termos entre esses outros, e assim por diante, ad infinitum, é óbvio que há um número infinito de razões entre quaisquer duas, por mais que quase iguais essas duas possam ser.³ Uma série tendo a propriedade de que sempre haja outros termos entre quaisquer dois, de modo que nenhum par seja consecutivo, é chamada de “compacta.” Desse modo, as razões em ordem de magnitude formam uma série “compacta.” Tais séries têm muitas propriedades importantes, e é importante observar que as razões propiciam uma instância de uma série compacta gerada puramente logicamente, sem nenhum apelo ao espaço ou ao tempo, ou a qualquer outro dado empírico.

Razões positivas e negativas podem ser definidas de uma maneira análoga àquela na qual nós definimos inteiros positivos e negativos. Tendo primeiramente definido a soma de duas razões m/n e p/q como (mq+pn)/nq, nós definimos +p/q como a relação de m/n+p/q para m/n, onde m/n é qualquer razão; e, é claro, -p/q é o inverso de +p/q. Essa não é a única maneira possível de definir razões positivas e negativas, mas, para o nosso propósito, é a maneira que tem o mérito de ser uma adaptação óbvia do modo que nós adotamos no caso dos inteiros.

Agora nós chegamos a uma extensão mais interessante da ideia de número, ou seja, à extensão para aqueles que são chamados de números “reais,” os quais são o tipo que engloba os irracionais. No capítulo I, nós tivemos ocasião de mencionar os “incomensuráveis” e a sua descoberta [67]por Pitágoras. Foi através deles, ou seja, através da geometria, que os números irracionais inicialmente foram descobertos. Um quadrado do qual o lado é de uma polegada de comprimento terá uma diagonal da qual o comprimento é a raiz quadrado de 2 polegadas. Mas, como os antigos descobriram, não há fração da qual o quadrado seja dois. Essa proposição é provada no décimo livro de Euclides, o qual é um daqueles livros que os estudantes supõem estar afortunadamente perdidos nos dias quando Euclides ainda era usado como um livro-texto. A prova é extraordinariamente simples. Se possível, que m/n seja a raiz quadrada de 2, de modo que m²/n²=2, ou seja, m²=2n². Desse modo, m² é um número par, e, portanto, m tem de ser um número par, porque o quadrado de um número ímpar é ímpar. Agora, se m for par, m² tem de ser dividido por 4, pois, se m=2p, então m²=4p². Desse modo, nós devemos ter 4p²=2n², onde p é metade de m. Consequentemente, 2p²=n², e, portanto, n/p também será a raiz quadrada de 2. Mas então nós podemos repetir o argumento: se n=2q, p/q também será a raiz quadrada de 2, e assim por diante, através de uma série sem fim de números que são cada um metade do seu predecessor. Mas isso é impossível; se dividirmos um número por 2, e, então, dividirmos a metade pela metade, e assim por diante, nós temos de alcançar um número ímpar após uma série finita de passos. Ou nós podemos colocar o argumento ainda mais simplesmente assumindo que a m/n com a qual nós começamos está nos termos mais baixos ; nesse caso, m e n não podem ser ambos pares; contudo, nós vimos que, se m²/n²=2, eles têm de ser. Desse modo, não pode haver nenhuma fracção m/n cujo quadrado é 2.

Desse modo, nenhuma fração expressará exatamente o comprimento da diagonal de um quadrado cujo lado é de uma polegada de comprimento. Isso parece como um desafio lançado pela natureza para a aritmética. Por mais que o artimético possa jactar-se (como Pitágoras fez) sobre o poder dos números, a natureza parece ser capaz de o desconsertar exibindo comprimentos que nenhum número pode estimar em termos da unidade. Mas o problema não permanece nessa forma geométrica. Tão logo a álgebra foi inventada, o mesmo problema surgiu com respeito à solução de equações, embora aqui ele assumiu uma forma mais ampla, uma vez que ele também envolveu números complexos.

Está claro que se pode encontrar frações que se aproximam mais [68]e mais de ter o seu quadrado igual a 2. Nós podemos formar uma série ascendente de frações, todas as quais têm seus quadrados menores do 2, mas diferindo de 2 em seus membros superiores por menos do que qualquer montante especificado. Isso quer dizer, suponha que eu especifique algum pequeno montante antecipadamente, digamos, um bilionésimo, será descoberto que todos os termos da nossa série depois de um certo um, digamos, o décimo, têm quadrados que diferem de 2 por menos do que esse montante. E se eu tivesse especificado um montante ainda menor, poderia ter sido necessário avançar mais ao longo da série, mas nós deveríamos ter alcançado, mais cedo ou mais tarde, digamos o vigésimo, após o qual todos os termos terão tido quadrados diferindo de 2 por menos do que esse montante ainda menor. Se nós começarmos a trabalhar para extrair a raiz quadrada de 2 por essa regra aritmética usual, nós deveríamos obter um decimal sem fim, o qual, levado para assim-e-assim muitos lugares, satisfaz exatamente às condições acima. Nós podemos igualmente bem formar uma série descendente de frações cujos quadrados são todos maiores do que 2, mas maiores por montantes continuamente menores, conforme nós chegamos aos termos posteriores da série, e diferindo, mais cedo ou mais tarde, por menos do que qualquer valor especificado. Dessa maneira, nós parecemos estar desenhando um cordão ao redor da raiz quadrada de 2, e pode parecer difícil acreditar que ele nos escape permanentemente. Mesmo assim, não é através desse método que nós deveremos realmente atingir a raiz quadrada de 2.

Se nós dividirmos todas as razões em duas classes, de acordo com que os quadrados delas sejam ou não menores do que 2, nós descobrimos que, entre aqueles quadrados que não são menores do que 2, todos têm seus quadrados maiores do que 2. Não há limite inferior aquém de zero para a diferença entre os números cujo quadrado é um pouco menor do que 2 e os números cujo quadrado é um pouco maior do que 2. Em resumo, nós podemos dividir todas as razões em duas classes de modo que todos os termos em uma classe sejam menores do que todos na outra, não há máximo para uma classe, e não há mínimo para a outra. Entre essas duas classes, onde √2 deveria estar, não há nada. Desse modo, o nosso [69]cordão, embora nós tenhamos desenhado-o tão justo quanto possível, foi desenhado no lugar errado, e não atingiu a √2.

O método acima de dividir todos os termos de uma série em duas classes, das quais uma precede inteiramente a outra, foi trazido à proeminência por Dedekind⁴ e, portanto, é chamado de um “corte de Dedekind (Dedekind cut).” Com respeito ao quê acontece no ponto da secção, há quatro possibilidades: (1) pode haver um máximo para a secção inferior e um mínimo para a secção superior, (2) pode haver um máximo para uma e nenhum mínimo para a outra, (3) pode não haver nenhum máximo para uma, mas um mínimo para a outra, (4) pode não haver nem um máximo para uma nem um mínimo para a outra. Desses quatro casos, o primeiro é ilustrado por qualquer série na qual haja termos consecutivos: nas séries dos inteiros, por exemplo, uma secção inferior tem de terminar com algum número n e a secção superior, então, tem de começar com n+1. O segundo caso será ilustrado nas séries de razões se nós tomarmos como a nossa secção inferior todas as razões até e incluindo 1, e na nossa secção superior, todas as razões maiores do que 1. O terceiro caso é ilustrado se nós tomarmos para a nossa secção inferior todas as razões menores do que 1, e para a nossa secção superior, todas as razões de 1 para cima (incluindo 1 mesmo). O quarto caso, como nós vimos, é ilustrado se nós colocarmos na nossa secção inferior todas as razões cujo quadrado são menores do que 2, e na nossa secção superior, todas as razões cujo quadrado é maior do que 2.

Nós podemos negligenciar o primeiro dos nossos quatro casos, uma vez que ele apenas surge em séries onde haja termos consecutivos. No segundo dos nossos quatro casos, nós podemos dizer que o máximo da secção inferior é o limite inferior para a secção superior, ou de qualquer conjunto de termos escolhidos da secção superior de uma maneira tal que nenhum termo da secção superior esteja a frente de todos eles. No terceiro dos nossos quatro casos, nós dizemos que o mínimo da secção superior é o limite superior da secção inferior, ou de qualquer conjunto de termos escolhidos a partir da secção inferior de uma maneira tal que nenhum termo da secção inferior esteja depois de todos eles. No quarto caso, nós dizemos que [70]há uma “lacuna (gap)”: nem a secção superior nem a inferior tem um limite ou um termo último. Nesse caso, nós também podemos dizer que nós temos uma “secção irracional,” uma vez que seções das séries de razões têm “lacunas” quando elas correspondem a irracionais.

O quê retardou a teoria verdadeira dos irracionais foi uma crença equivocada de que tem de haver “limites” de séries de razões. A noção de “limite” é da máxima importância, e, portanto, antes de prosseguirmos, será bom defini-la.

Um termo x é dito ser um “limite superior (upper limit)” de uma classe a com respeito a uma relação P se (1) a não tem máximo em P, (2) cada membro de a que pertença ao campo de P precede x, (3) cada membro do campo de P que precede x precede algum membro de a. (Por “preceder” nós queremos dizer “tem a relação P com.”)

Isso pressupões a seguinte definição de um “máximo”: -

Um termo x é dito ser um “máximo” de uma classe a com respeito a uma relação P se x é um membro de a e do campo de P e não tem a relação P com qualquer outro membro de a.

Essas definições não demandam que os termos aos quais elas são aplicadas devam ser quantitativos. Por exemplo, dada uma série de momentos de tempo arranjados por antes (earlier) e depois (later), o “máximo” deles (se algum) será o último dos momentos; mas, se eles arranjados por depois e antes, o “máximo” deles (se algum) será o primeiro dos momentos.

O “mínimo” de uma classe com respeito a P é o seu máximo com respeito ao inverso de P; e o “limite inferior (lower limit)” com respeito a P é o limite superior com respeito ao inverso de P.

As noções de limite e máximo não demandam essencialmente que a relação com respeito à qual eles são definidos deva ser seriais, mas eles têm poucas aplicações importantes exceto a caso onde a relação é serial ou quase-serial. Uma noção que é frequentemente importante é a noção de “limite superior ou máximo (upper limit or maximum),” à qual nós damos o nome de “fronteira superior (upper doundary).” Desse modo, a “fronteira superior” de um conjunto de termos escolhidos a partir de uma série é o último membro deles, se eles têm um, mas, se não, é o primeiro termo depois de todos eles, se houver um tal termo. Se não houver nem [71]um máximo nem um limite, não há limite superior. O “fronteira inferior (lower boundary)” é o limite inferior ou mínimo.

Voltando aos quatro caso da secção de Dedekind, nós vemos que no caso do primeiro dos três tipos, cada secção tem uma fronteira (superior ou inferior, como possa ser o caso), enquanto o quarto tipo tampouco tem uma fronteira. É claro que, sempre que a seção inferior tem uma fronteira superior, a seção superior tem uma fronteira inferior. Nos casos segundo e terceiro, as duas fronteiras são idênticas; no primeiro, elas são termos consecutivos da série.

Uma série é chamada de “dedekindiana” quando cada secção tem uma fronteira, superior ou inferior, como possa ser o caso.

Nós vimos que a série de razões em ordem de magnitude não é dedekindiana.

A partir do hábito de ser influenciado por imaginação espacial, as pessoas têm suposto que as séries têm de ter limites em casos onde parece estranho se elas não tiverem. Desse modo, percebendo que não havia limite racional para as várias razões cujo quadrado é menor do que 2, elas permitiram a si mesmas “postularem” um limite irracional, o qual devia preencher a lacuna de Dedekind. Dedeking, na obra acima mencionada, estabelece o axioma de que a lacuna sempre tem de ser preenchida, ou seja, que cada secção tem de ter uma fronteira. É por essa razão que as séries onde o axioma dele é verificado são chamadas de “dedekindianas.” Mas há um número infinito de séries para as quais ele não é verificado.

O método de “postular” o quê nós queremos tem muitas vantagens; elas são as vantagens do roubo sobre o labor honesto. Deixemo-las para outros e prossigamos com o nosso labor honesto.

É claro que, de alguma maneira, um corte irracional de Dedekind “representa” um irracional. Para fazermos uso disso, o qual, para começar, não é mais do que um sentimento vago, nós temos de encontrar alguma maneira de o elicitar a partir de uma definição precisa; e para fazer isso, nós temos de desiludir as nossas mentes da noção de que um irracional tem de ser o limite de um conjunto de razões. Exatamente como as razões cujo denominado é 1 não são idênticas aos inteiros, assim aqueles números racionais [72]que podem ser maiores ou menores do que os irracionais, ou podem ter os irracionais como limites deles, não devem ser identificados com as razões. Nós temos de definir um novo tipo de números chamados de “números reais,” dos quais alguns serão racionais e alguns irracionais. Aqueles que são racionais “correspondem” a razões, na mesma tipo de maneira na qual a razão n/1 corresponde ao inteiro n; mas eles não são os mesmos que razões. Para decidirmos o quê eles devem ser, observemos que um irracional é representado por um corte irracional, e um corte é representado pela sua secção inferior. Confinemos nós mesmos a cortes nos quais a secção inferior não tem máximo; nesse caso, nós chamaremos a secção inferior de um “segmento.” Então aqueles segmentos que correspondem a razões são aqueles que consistem em todas as razões menores do que a razão à qual eles correspondem, a qual é a fronteira deles; enquanto que aqueles que representam irracionais são aqueles que não têm fronteira. Segmentos, tanto aqueles que têm fronteiras quanto aqueles que não, são tais que, de quaisquer dois pertencentes a uma série, um tem de ser parte do outro; consequentemente, todos eles podem se arranjados em uma série pela relação de todo e parte. Uma série na qual há lacunas de Dedekind, ou seja, na qual há segmentos que não têm fronteira, dará origem a mais segmentos do que ela tem termos, uma vez que cada termo definirá um segmento tendo aquele termo por fronteira, e então os segmentos sem fronteiras serão extras.

Agora nós estamos em uma posição para definir um número real e um número irracional.

Um “número real” é um segmento da série de razões em ordem de magnitude.

Um “número irracional” é um segmento da série de razões que não tem fronteira.

Um “número real racional” é um segmento da série de razões que tem uma fronteira.

Desse modo, um número real consiste em todas as razões menores do que uma certa razão, e é o número real racional correspondendo àquela razão. Por exemplo, o número real 1 é a classe das frações próprias.

[73]Nos casos nos quais nós naturalmente supusemos que um irracional tem de ser o limite de uma série de razões, a verdade é que ele é o limite do conjunto correspondente de números reais racionais nas séries de segmentos ordenados pelo todo e a parte. Por exemplo, √2 é o limite superior de todos aqueles segmentos da série de razões que correspondem a razões cujo quadrado é menor do que 2. Ainda mais simplesmente, √2 é o segmento consistindo em todas aquelas razões cujo quadrado é menor do que 2.

É fácil provar que a série de segmentos de quaisquer séries é dedekindiana. Por exemplo, dado qualquer conjunto de segmentos, a fronteira deles será a sua soma lógica, ou seja, a classe de todos aqueles termos que pertencem a, pelo menos, um segmento do conjunto.⁵

A definição acima de números reais é um exemplo de “construção” enquanto contrária a “postulação,” da qual nós tivemos outro exemplo na definição de números cardinais. A grande vantagem desse método é que ele não requer nenhuma nova suposição, mas capacita-nos a proceder dedutivamente a partir do aparato original da lógica.

Não há nenhuma dificuldade em definir adição e multiplicação para os números reais como definidos acima. Dados dois números reais μ e ν, cada um sendo uma classe de razões, tomemos qualquer membro de μ e qualquer membro de ν e adicionemo-los de acordo com a regra da adição de razões. Formemos a classe de todas aquelas somas obteníveis através da variação dos membros selecionais de μ e ν. Isso nos dá uma nova classe de razões, e é fácil provar que essa nova classe é um segmento da série de razões. Nós definimos isso como a soma de μ e ν. Nós podemos formular a definição mais brevemente como se segue:-

A soma aritmética de dois números reais é a classe das somas aritméticas de um membro de uma e um membro da outra, escolhidos de todos os modos possíveis.

[74]Nós podemos definir o produto aritmético de dois números reais exatamente da mesma maneira, multiplicando um membro da primeira por um membro da outra, de todos modos possíveis. A classe de razões gerada dessa maneira é definida como o produto dos dois números reais. (Em todas essas definições, as séries de razões devem ser definidas como excluindo 0 e infinito.)

Não há dificuldade em estendermos as nossas definições a números reais positivos e negativos e a adição e multiplicação deles.

Resta fornecer a definição de números complexos.

Os números complexos, embora capazes de uma interpretação geométrica, não são demandados pela geometria da mesma maneira imperativa que os irracionais são demandados. Um número “complexo” significa um número envolvendo a raiz quadrada de um número negativo, quer inteiro, quer fracionário, quer real. Uma vez que o quadrado de um número negativo é positivo, um número cujo quadrado deve ser negativo tem de ser um novo tipo de número. Usando a letra i para a raiz quadrada de -1, qualquer número envolvendo a raiz quadrada de um número negativo pode ser expresso na forma x+yi, onde x e y são reais. A parte yi é chamada de a parte “imaginária” desse número, x sendo a parte “real.” (A razão para a frase “números reais” é que eles são contrastados com aqueles que são “imaginários.”) Números complexos há muito tempo têm sido usados habitualmente por matemáticos, a despeito da ausência de qualquer definição precisa. Tem sido simplesmente assumido que ele obedeceriam às regras matemáticas usuais, e, sobre essa suposição, o emprego deles tem sido considerado proveitoso. Eles são requeridos menos pela geometria do que pela álgebra e análise. Por exemplo, nós desejamos ser capazes de dizer que toda equação quadrática tem duas raízes, e toda equação cúbica tem três, e assim por diante. Mas, se nós estivermos confinados a números reais, uma equação tal como x²+1=0 não tem raízes, e uma equação tal como x³-1=0 tem apenas uma. Toda generalização de números primeiramente se apresentou como necessária para algum problema simples: números negativos foram necessários para que a subtração sempre pudesse ser possível, uma vez que, caso contrário, a-b seria sem sentido se a fosse menor do que b; frações foram necessárias [75]para que a divisão sempre pudesse ser possível; e números complexos são necessários para que a extração de raízes e solução de equações sempre possa ser possível. Mas extensões de números não são criadas pela mera necessidade delas: elas são criadas pela definição, e é para a definição de números complexos que agora nós temos de voltar a nossa atenção.

Um número complexo pode ser considerado e definido simplesmente como uma dupla ordenada de números reais. Aqui, como em outros lugares, muitas definições são possíveis. Tudo que é necessário é que as definições adotadas devam conduzir a certas propriedades. No caso dos números complexos, se eles são definidos como duplas ordenas de números reais, nós imediatamente asseguramos algumas das propriedades requeridas, a saber, que dois números são requeridos para determinar um número complexo, e que, entre esses, nós podemos distinguir um primeiro e um segundo, e que dois números complexos apenas são idênticos quando o primeiro número real envolvido no primeiro é igual ao primeiro envolvido no outro, e o segundo, ao segundo. O quê é adicionalmente necessário pode ser assegurado definindo-se as regras de adição e multiplicação. Nós devemos ter

(x+yi)+(x´+y´i)=(x+x´)+(y+y´)i

(x+yi)(x´+y´i)=(xx´-yy´)+(xy´+x´y)i.

Desse modo, nós deveremos definir que, dadas duas duplas ordenadas de números reais, (x, y) e (x´, y´), a soma delas deve ser a dupla (x+x´, y+y´) e o produto deles deve ser a dupla (xx´-yy´, xy´+x´y). Através dessas definições, nós deveremos assegurar que as nossas duplas ordenadas deverão ter as propriedades que nós desejamos. Por exemplo, tome-se o produto das duas duplas (0, y) e (0, y´). Pela regra acima, esse será a dupla (-yy´,0). Desse modo, o quadrado da dupla (0,1) será a dupla (-1, 0). Agora, essas duplas na qual o segundo termo é 0 são aquelas que, de acordo com a nomenclatura usual, têm a sua parte imaginária zero; na notação x+yi, elas são x+0i, a qual é natural para escrever simplesmente x. Exatamente como é natural (mas errôneo) identificar razões cujo denominador é unidade com inteiros, assim é natural (mas errôneo) [76]identificar números complexos cuja parte imaginária é zero com números reais. Embora isso seja um erro na teoria, é uma conveniência na prática; “x+0i” pode ser substituída por “x” e “0+yi” por “yi,” com a condição que lembremos que o “x” não é realmente um número real, mas um caso especial de um número complexo. E, é claro, quando y é 1, “yi” pode ser substituído por “i.” Desse modo, a dupla (0, 1) é representada por i, e a dupla (-1, 0) é representado por -1. Agora as nossas regras de multiplicação tornam o quadrado de (0, 1) igual a (-1, 0), ou seja, o quadrado de i é -1. Isso é o quê nós desejamos assegurar. Dessa maneira, as nossas definições servirão a todos os propósitos necessários.

É fácil fornecer uma interpretação geométrica de números complexos na geometria do plano. Esse tema foi agradavelmente exposto por W. K. Clifford no seu Common Sense of the Exact Sciences, um livro de grande mérito, mas escrito antes que a importância das definições puramente lógicas tivesse sido compreendida.

Números complexos de uma ordem superior, embora muito menos úteis e importantes do que aqueles que nós estivemos definindo, têm certos usos que não são sem importante na geometria, como pode ser visto, por exemplo, em Universal Algebra, do dr. Whitehead. A definição de números complexos de ordem n é obtida através de uma extensão óbvia da definição que nós fornecemos. Nós definimos um número complexo de ordem n como uma relação um-muitos cujo domínio consiste em certos números reais e cujo domínio inverso consiste nos inteiros de 1 a n.⁶ Isso é o quê seria ordinariamente indicado pela notação (x₁, x₂, x₃, … x_n), onde os sufixos denotam correlação com os inteiros usados como sufixos, e a correção é um-muitos, não necessariamente um-um, porque x_r e x_s podem ser iguais quando r e s não são iguais. A definição acima, com uma adequada regra de multiplicação, servirá a todos os propósitos para os quais números complexos de ordens superiores não necessários.

Agora nós completamos a nossa revisão daquelas extensões de número que não envolvem o infinito. A aplicação do número de coleções infinitas tem de se o nosso próximo tópico.

Próximo capítulo

ORIGINAL:

RUSSELL, B. Introduction to Mathematical Philosophy. London: G. Allen & Unwin, 1919. p. 63-76. Disponível em: <https://archive.org/details/introductiontoma00russ/page/63/mode/1up>

TRADUÇÃO:

EderNB do Blog Mathesis

Licença: CC BY-NC-SA 4.0

1[64]Vol. iii, * 300 ff. especialmente 303.

2[65]É claro, na prática nós deveremos continuar a falar de uma fração como (digamos) maior ou menor do que 1, significando maior ou menor do que a razão 1/1. Enquanto for entendido que a razão 1/1 e o número cardinal 1 são diferentes, não é necessário ser sempre pedante na enfatização da diferença.

3[66]Estritamente falando, essa afirmação, assim como aquelas se seguindo ao final do parágrafo, envolve o quê é chamado de o “axioma do infinito,” o qual será discutido em um capítulo posterior.

4[69]Stetigkeit und irrationale Zahlen, 2ª edição, Brunswick, 1892.

5[73]Para um tratamento mais completo do assunto dos segmentos e das relações dedekindianas, ver Principia Mathematica, vol. ii, *210-214. Para um tratamento mais completo dos números reais, ver ibid. *310 ff., e Principles of Mathematics, caps. xxxiii e xxxiv.

6[76]Cf. Principles of Mathematics, §360, p.379.

Elementos de Lógica - Introdução

Elementos de Lógica

Por Richard Whately

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[1]Introdução

§1 Lógica, no sentido mais extenso no qual tem sido considerado aconselhável empregar o nome, pode ser considerada como a ciência, e também como a arte, do raciocínio. Ela investiga os princípios sobre os quais uma argumentação é conduzida e fornece aquelas regras que podem ser derivadas a partir desses princípios para se guardar contra deduções errôneas. No entanto, a sua tarefa mais apropriada é aquela de instituir uma análise do processo da mente no raciocínio; e nesse ponto de vista ela é, como eu tenho dito, estritamente uma ciência; embora, considerada em referência às regras práticas acima mencionadas, ela possa ser chamada de arte do raciocínio. Pois deve ser lembrado que, como uma ciência está relacionada apenas com o conhecimento especulativo, e a arte é a aplicação do conhecimento à prática, consequentemente, a lógica (assim como qualquer outro sistema de conhecimento) torna-se, quando aplicado à prática, uma arte; enquanto que, confinada à teoria do raciocínio, ela é estritamente uma ciência: e é como tal que ela ocupa o lugar mais elevado na questão de dignidade, uma vez que ela professa [2]desenvolver alguns dos fenômenos intelectuais mais interessantes e curiosos.¹

Considerando como a lógica inicial atraiu a atenção de filósofos, pode parecer surpreendente que tão pouco progresso deveria ter sido realizado, como confessadamente é o caso, no desenvolvimento dos seus princípios e aperfeiçoamento do detalhe do sistema; e essas circunstâncias tem sido apresentadas como uma prova da esterilidade e futilidade do estudo. Mas um argumento similar poderia ter sido urgido, com não menos plausibilidade e em um período não muito remoto, contra o estudo da filosofia natural; e, muito recentemente, contra aquele da química. Nenhuma ciência que não seja cultivada sobre princípios corretos pode ser esperada fazer quaisquer progressos consideráveis. Qualquer que possa ser o vigor inerente da planta, ela não será nem florescente nem frutífera até que ela encontre um solo e uma cultura apropriados; e em nenhum caso a observação é mais aplicável do que no presente; os maiores equívocos sempre tendo predominado respeitante à natureza da lógica; e, em consequência, sua província tendo sido estendida por muitos escritores a assuntos com os quais ela não tem conexão própria. De fato, talvez com a exceção de Aristóteles, (quem, contudo, não está inteiramente isento de erros na questão,) dificilmente um escritor sobre lógica pode ser mencionado quem tenha claramente percebido e firmemente mantido inteiramente em vista a sua natureza e o seu objeto reais. Antes da época dele, nenhuma distinção tinha sido traçada entre a ciência da qual nós estamos falando e aquela que agora é usualmente chamada de metafísica; uma circunstância que sozinha mostra quão pequeno foi o progresso [3]realizado em épocas anteriores. De fato, aqueles que primeiramente voltaram sua atenção para o assunto, dificilmente consideraram inquirir o processo mesmo de raciocínio, mas confinaram-se quase inteiramente a certos pontos preliminares, a discussão dos quais é (se logicamente considerada) subordinada àquela da investigação principal.

Fornecer mesmo um relato muito condensado das vidas e obras de todos os principais escritores em lógica, - dos termos técnicos introduzidos por cada um deles e dos sentidos nos quais cada um os empregava, - e dos aperfeiçoamentos ou corrupções que, de tempos em tempos, foram introduzidos, - em resumo, escrever a história e antiguidades da ciência da lógica, - seria estranho ao meu desígnio presente. Uma tal obra, se empreendida por um escritor competente, embora não de um caráter popular, contudo, seria altamente interessante e instrutiva para uma classe limitada de estudantes. Mas a pesquisa extensa que formaria uma qualificação indispensável para uma tal tarefa seria apenas uma de muitas qualificações, até menos comuns, sem a qual um tal obra seria pior do que inútil. O autor deveria ser alguém do começo ao fim de guarda contra o erro comum de confundir, ou levar seus leitores a confundirem, uma familiaridade íntima com muitos livros sobre um dado assunto com um discernimento clara do assunto mesmo. Com habilidade e indústria para investigar uma multidão de particulares minúsculos, ele deveria possuir o poder de estimar corretamente cada um de acordo com a sua importância intrínseca e não (como é muito comumente feito) de acordo com o grau de pesquisa laboriosa que ele pode ter custado-lhe, ou a raridade do conhecimento que, em qualquer caso, ele pode ter adquirido. E ele deveria ser cuidadoso, enquanto registrando as opiniões e expressões de vários autores em questões de ciência, para guardar tanto a si mesmo quanto seus [4]leitores contra o erro de tomar qualquer coisa por autoridade que deveria ser evidenciada por raciocínio cientifico; ou de considerar cada termo técnico como tendo um tipo de direito prescritivo a reter para sempre o significado atribuído a ele por aqueles que primeiramente o introduziram. Para resumir, em nenhum assunto é mais importante para um autor estar livre de todo tom de pedantismo antiquário.

Mas se eu sentisse a mim mesmo como competente para a tarefa de escrever uma tal história da lógica como à qual eu aludi, como eu estou consciente de não o ser, eu ainda deveria decididamente preferir manter uma tal obra completamente distinta de um tratado sobre a ciência; porque a combinação dos dois em um único volume tornaria mais difícil evitar a mistura confusa deles; e também porque, em um tal plano, a distinção não poderia ser tão facilmente preservada entre a lógica, no sentido no qual eu estou usando esse título aqui, e as várias disquisições metafísicas que vários autores concederam ao mesmo nome.

Por essas razões eu considerei melhor fornecer apenas uma vislumbre leve e rápido da série de escritores sobre lógica até os dias de hoje e da tendência geral dos seus labores.

§2 Zenão de Eleia, a quem a maioria dos relatos representa como o primeiro escritor sistemático sobre o assunto da lógica, ou, como então ela era chamada, dialética, dividiu seu trabalho em três partes; a primeira das quais (sobre consequências) é censurada por Sócrates [Platão, Parmen.] por obscuridade e confusão. Contudo, na sua segunda parte, ele forneceu aquele método interrogatório de disputa [ἐρώτησις] que Sócrates adotou e o qual, desde então, porta o nome dele. A terceira parte da obra dele foi dedicada ao quê não pode ser impropriamente denominado de a arte da disputa [ἐριστιχὴ,] a qual fornecia ao disputante uma coleção de [5]questões sofísticas, tão planejadas que a concessão de algum ponto, que parecia inevitável, imediatamente envolvia alguma absurdidade flagrante. Isso, se absolutamente deve ser considerado como caindo dentro da província da lógica, certamente não deve ser considerado (como alguns, ignorante ou descuidadamente, têm considerado) como a sua tarefa principal ou apropriada. Infelizmente, de modo geral, os filósofos gregos dedicaram atenção demais a isso; mas nós temos de ser cuidadosos para não cairmos no erro vulgar de supor que os antigos tenham considerado como uma estudo sério ou intrinsecamente importante, aquele que, de fato, eles consideravam como uma recreação engenhosa. Os disputantes divertiam-se em suas horas de lazer julgando a agudeza própria e do seu adversário, na tentativa de mutuamente confundirem um o outro com falácias sutis; muito da mesma maneira que homens se entretêm propondo e adivinhando enigmas, ou com o jogo de xadrez; com cada uma das diversões das quais as disputas esportivas dos antigos comportavam muita semelhança. Elas eram estritamente análogas à luta livre e aos outros exercícios do ginásio; esses últimos sendo considerados propícios para o vigor e a atividade corporais, como o primeiros eram para os hábitos de agudeza intelectual; mas o objeto imediato de cada um era esportivo, não uma disputa séria; embora, sem dúvida, moda e emulação frequentemente ocasionassem que uma importância indevida fosse atribuída ao sucesso em cada um.

Portanto, dificilmente Zenão deve ser considerado como algo mais do que um lógico quanto ao que diz respeito ao seu método erotético de disputa; um curso de argumento construído sobre esse princípio sendo propriamente um sorites hipotético, o qual facilmente pode ser reduzido a uma série de silogismos.

A Zenão sucederam Euclides de Mégara e Antístenes; ambos pupilos de Sócrates. O primeiro desses continuou o tema da [6]terceira parte do tratado do seu predecessor e é dito ter sido o autor de muitas falácias atribuídas à escola estoica. Dos escritos do segundo, nada certo é conhecido; contudo, se nós supusermos o secto acima mencionado serem seus discípulos, e terem retido os seus princípios, ele ele certamente adotou uma visão mais correta do assunto do que Euclides. Os estoicos dividiram todos os λεχιὰ - toda coisa que poderia ser dita – em três classes; 1ª, o termo simples; 2ª, a proposição; e 3ª, o silogismo, ou seja, o hipotético; pois eles parecem ter tido pouca noção de uma análise mais rigorosa do argumento do que naquela forma familiar.

Aqui nós não temos de omitir atenção aos méritos de Arquitas, com quem nós estamos em débito (como ele mesmo provavelmente estava, em um grande grau, com escritores mais antigos) pelas doutrinas das categorias. Contudo, ele (assim como os outros escritores sobre o assunto) não parece ter tido nenhuma visão distinta do objeto próprio e dos limites justos da ciência da lógica; mas ter misturado com ela discussões metafísicas não estritamente conectadas com ela e ter lidado com a investigação da natureza de termos e proposições sem sustentar uma referência constante aos princípios de raciocínio; aos quais o resto deveria ter sido tornado subserviente.

Então, o estado no qual Aristóteles encontrou a ciência, (se, de fato, ela pode ser dita ter propriamente existido de qualquer maneira antes da época dele,) parecer ter sido aproximadamente este: a divisão em termos simples, proposições e silogismos, tinha sido levemente esboçada; a doutrina das categorias, e talvez aquela da oposição das proposições, tinha sido estabelecida; e, como alguns acreditam, a análise de espécies em gênero e diferenças tinha sido introduzida por Sócrates. Esses, no melhor dos casos, eram antes os materiais do sistema do que o sistema mesmo; o fundamento do qual, de fato, [7]ele distintamente reivindica o mérito de ter estabelecido, e o qual permanece fundamentalmente o mesmo como ele o deixou.

Tem sido observado que o sistema lógico é um daquelas poucas teorias que foram iniciadas e completadas pelo mesmo indivíduo. A história da sua descoberta, até onde se diz respeito aos princípios principais, propriamente começa e termina com Aristóteles; e talvez isso possa explicar em parte as perversões subsequentes dela. A brevidade e simplicidade das suas verdades fundamentais (pontos aos quais, de fato, toda ciência real está perpetuamente tendendo) já levou muitos a suporem que alguma coisa muito mais complexa, abstrusa e misteriosa restou para ser descoberta. Também a vaidade, pela qual todo os homens são indevidamente incitados a magnificarem suas próprias buscas, tem levado mentes não filosóficas, não apenas nesse caso, mas em muitos outros, a estenderem as fronteiras das suas respectivas ciências, não através do desenvolvimento paciente e da aplicação justa dos princípios dessas ciências, mas perambulando por assuntos irrelevantes. O emprego místico dos números por Pitágoras, em questões completamente estranhas à aritmética, talvez seja a instância mais antiga do tipo. Uma mais curiosa e importante é a degeneração da astronomia em astrologia judicial; mas nenhuma é mais impressionante do que a má aplicação da lógica por aqueles que têm tratado dela como “a arte de empregar corretamente as faculdades racionais,” ou quem a introduziram na província da filosofia natural, e consideraram o silogismo como um motor para a investigação da natureza; enquanto eles ignoraram o extenso campo que estava diante deles dentro dos limites legítimos da ciência, e não perceberam a importância e dificuldade da tarefa de completarem e preencherem apropriadamente o esboço magistral diante deles.

Os escritos de Aristóteles não apenas, pela maior parte, [8]ficaram absolutamente perdidos por quase dois séculos, mas parecem ter sido apenas pouco estudados por um longo tempo depois da sua redescoberta. Contudo, uma arte da lógica, derivada dos princípios tradicionalmente preservado pelos discípulos dele, parece ter sido geralmente conhecida, e ter sido empregada por Cicero em suas obras filosóficas; mas a busca da ciência parece ter ficado abandonada por um longo tempo. Tão cedo na era cristã quanto os séculos segundo e terceiro, as doutrinas peripatéticas experienciaram um renascimento considerável; e nós encontramos os nomes de Galeno, Amônio, (quem parecem ter assumido a liderança entre os comentadores de Aristóteles,) Alexandre de Afrodisia e Porfírio, como lógicos; mas não é antes do final do século quinto, ou no começo do sexto, que as obras lógicas de Aristóteles foram traduzidas para o latim pelo celebrado Boécio.² Nenhum desses parece ter feito nenhum avanço considerável no desenvolvimento da teoria do raciocínio. Dos labores de Galeno, (quem acrescentou a insignificante quarta figura às três reconhecidas por Aristóteles,) pouco é conhecido; e a obra principal de Porfírio é meramente sobre os predicáveis. Nós temos pouco da ciência, até o renascimento do aprendizado entre os árabes, por quem os tratados de Aristóteles sobre esse, assim como outros assuntos, foram ansiosamente estudados.

§3 Passando pelos nomes de alguns escritores bizantinos de nenhuma grande importância, nós chegamos aos tempos dos escolásticos; cujo desperdício de engenho e sutileza frívola de disputa frequentemente têm sido tornados o assunto de reclamações, da justiça das quais é desnecessário inquirir completamente aqui. Pode ser suficiente observar [9]que a falta deles não está no seu estudo diligente da lógica, e no alto valor que eles colocam sobre ela, mas em eles completamente se equivocado sobre a verdadeira natureza e objeto da ciência; e pela tentativa de a empregar para o propósito de descobertas físicas, envolvendo do assunto em uma névoa de palavras, à exclusão da investigação filosófica correta.³ Os erros deles podem servir para explicar os termos fortes nos quais Bacon às vezes parece censurar as atividades lógicas; mas que essa censura foi intencionada para valer contra as perversões extravagantes, não contra o cultivo legitimo, da ciência, pode ser provado a partir das suas próprias observações sobre o assunto em seu Advancement of Learning. “Tivesse Bacon vivido no dia presente, eu estou inclinado a pensar que ele teria feito a sua reclamação principal contra a investigação não metódica e o raciocínio ilógico. Certamente ele não teria reclamado da dialética como filosofia corruptora. Guardar-se agora contra os males predominante à época dele, seria como fortificar uma cidade contra aríetes em vez de contra canhões.”⁴

Ainda assim, a moderação dele não foi imitada em outros quartéis. Mesmo Locke confunde, em uma censura vasta, a teoria aristotélica com as aplicações equivocadas e perversões absurdas dela em anos posteriores. A objeção dele à ciência, como inútil na descoberta da verdade, (a qual recentemente tem sido frequentemente repetida,) embora ela valha bem em referência a muitos lógicos mal nomeados, indica que, com respeito à verdadeira natureza da ciência mesma, ele não tinha noções mais claras do que eles tem dos justos limites da ciência lógica, como confinada à teoria do raciocínio; e [10]do caráter distinto dessa operação das observações e experimentos que são essenciais para o estudo da natureza.

Por exemplo, no capítulo xvii, “on Reason,” (a qual, a propósito, ele perpetuamente confunde com o raciocínio,) ele diz, no §4, “Se os silogismos têm de ser aceitos pelo único instrumento próprio da razão e meios de conhecimento, seguir-se-á que, antes de Aristóteles, não houve nenhum homem que conheceu ou poderia ter conhecido qualquer coisa através da razão; e que, desde a invenção dos silogismos, não há um em dez mil que o faça. Mas Deus não foi tão frugal com os homens para os fazer meramente criaturas de duas pernas e deixou para Aristóteles torná-los racionais, ou seja, aqueles poucos deles que ele pôde conseguir para examinar os fundamentos dos silogismos, quanto para ver que, nas maneiras tríplices acima que três proposições podem ser combinadas, há apenas quatorze nas quais alguém pode estar certo de que a conclusão é verdadeira,” etc. “Deus foi mais beneficente do que isso: ele concedeu-lhes uma mente que pode raciocinar sem estar instruída nos medos do silogizar,” etc. Tudo isso absolutamente não é menos absurdo do que se qualquer um, ao ser contado das descobertas dos químicos modernos relativas ao calórico, e ao ouvir descrito o processo através do qual ele é conduzido através de uma caldeira para a água, a qual ele converte em gás de elasticidade suficiente para sobrepujar a pressão da atmosfera, etc, devesse responder, “Se tudo isso fosse assim, seguir-se-ia que, antes da época desses químicos, ninguém nunca vez, ou poderia fazer, qualquer líquido ferver.”

Logo depois ele insere um encômio a Aristóteles, no qual ele é igualmente infeliz; ele elogia-o pela “invenção dos silogismos;” ao quê ele certamente não tem mais reivindicação do que Lineu à criação de plantas e animais; ou Harvey, ao elogio de ter feito o sangue [11]circular; ou Lavoisier, àquele de ter formado a atmosfera que nós respiramos. E a utilidade dessa invenção consiste, de acordo com ele, no grande serviço feito contra “aqueles que não estavam envergonhados de negar qualquer coisa;” um serviço que nunca poderia ter sido realizado tivessem os silogismos sido uma invenção de Aristóteles; pois qual sofista alguma vez poderia ter consentido a restringir a si mesmo a um tipo particular de argumentos, ditado pelo oponente dele?

Em um escritor ordinário, obscuro e mesquinho, toda essa confusão de pensamento e declamação de lugar-comum poderia tão bem ter sido deixada despercebida; mas é devido à habilidade geral e à celebridade de um autor tal como Locke, que erros desse tipo deveriam ser expostos.

Um erro aparentemente diferente, mas substancialmente o mesmo, permeia os tratados de Watts e alguns outros escritores modernos sobre o assunto. Percebendo a inadequação da teoria silogística para os propósitos vastos aos quais outros tinham tentado aplicá-la, ele ainda ansiava pelo alcance de algum sistema igualmente compreensivo e todo poderoso; o qual ele, de acordo, tentou construir sob o título de The Right Use of Reason, - o qual devia ser um método de envigorar e propriamente dirigir todos os poderes da mente: um objeto muito magnificente, de fato, mas um que não apenas não cai dentro da província, mas não pode ser realizado por nenhuma ciência que pode até ser concebida existir. A tentativa para compreender um campo tão vasto, não é extensão de ciência, mas uma mera generalização verbal, a qual apenas leva a declamação vaga e estéril.

Talvez não se deva maravilhar muito de que, em momentos ainda posteriores, vários escritores engenhosos, formando suas próprias noções da ciência mesma a partir de mestres professados nela, tais como há pouco foram aludidos, e julgando o seu valor a partir das falhas deles, [12]deveriam ter tratado o sistema aristotélico com tanta reprovação e desprezo.

As aspirações vagas de alguns desses escritores por um “verdadeiro” – “racional” – “sistema filosófico de lógica,” do qual, anos após ano, e geração após geração, fala-se, e espera-se, e quase sempre prometido, mas que é reconhecido nunca ter existido ainda,⁵ pode convocar à mente de alguém as visões deslumbrantes que pairavam diante da imaginação dos alquimistas, da pedra filosofal e do medicamento universal; e que os fizeram considerar com impaciência e desprezo os labores humildes da metalurgia e farmácia existentes. Eu acredito que, nesse aspecto do assunto presente, as visões às quais eu estou aludindo surgem em grande medida a partir dos homens não perceberem que a linguagem,⁶ de algum tipo ou outro, é (como será visto mais completamente depois) um instrumento indispensável de todo raciocínio que propriamente merece o nome. E é por isso que alguém pode encontrar escritores tais como aos quais eu aludo falando desdenhosamente de “regras aplicáveis meramente ao raciocínio em palavras;” representando a linguagem como útil apenas “em transmitir argumentos uns para os outros;” e mesmo como “limitando o jogo das nossas faculdades;” e novamente como “tornando a percepção mental [13]de todas as verdades obscuras e confusas, na medida que o símbolo rude de cada ideia é tomado no lugar da ideia mesma;” com outras expressões tais como emanando a partir daquela que, em verdade, é a doutrina antiga e ainda predominante do “realismo.”

A teoria silogística usualmente tem sido considerada por esses objetores como professando fornecer um método peculiar de raciocínio, em vez de um método de análise daquele processo mental que invariavelmente ocorre em todo raciocínio correto; e, portanto, eles têm contrastado o modo ordinário de raciocínio com o silogístico, e têm proposto com um ar de triunfo a habilidade argumentativa de muitos que nunca aprenderam o sistema; um erro não menos grosseiro do que se qualquer um devesse considerar a gramática como uma linguagem peculiar, e devesse reclamar contra a sua utilidade, sobre o fundamento de que muitos falam corretamente quem nunca estudaram os princípios da gramática. Pois a lógica, a qual é, por assim dizer, a gramática do raciocínio, não propõe o silogismo regular como um modo distinto de argumentação, projetado para ser substituído por qualquer outro modo;⁷ mas como a forma à qual todo raciocínio correto pode, por fim ser reduzido; e o qual, consequentemente, serve ao [14]propósito (quando nós estamos empregando a lógica como uma arte) de um teste para testar a validade de qualquer argumento; da mesma maneira que, através da análise química, nós desenvolvemos e submetemos a um exame distinto os elementos dos quais qualquer corpo composto é composto, e são, desse modo, possibilitados a detectarem qualquer sofisticação e impureza latentes.

§4 Muitas concepções equivocadas não muito dissimilares daquela de Locke, as quais continuam a prevalecer, mais ou menos, no dia presente, serão observadas subsequentemente, enquanto for necessário, em lugares apropriados. Nesta introdução seria inadequada adverti-las exceto muito brevemente, e que, apenas com uma visão para acautelar o estudante, não acostumado com esses estudos, de ser desencorajado desde o começo, ao ouvir, de modo geral, que objeções têm sido levantadas contra os princípios líderes da ciência, por escritores de reputação considerável; objeções que ele dificilmente suporá ser, em um grau tão grande como eles realmente são, ou encontrados em erro, ou não importantes, voltando-se, na realidade, para questões meramente verbais.

Por exemplo, alguns, pode ser dito a ele, têm sustentado que os homens raciocinam, - ou que podem raciocinar, - a partir de uma única premissa, sem nenhuma outra, ou expressa ou entendida; - que os homens podem e raciocinam a partir de um caso individual para outro, sem a intervenção de nenhuma proposição geral [universal], se formulada ou implícita; - que as inferências a partir da indução não são extraídas por nenhum processo que é, em substância silogístico; - que a conclusão de um silogismo não é realmente inferida a partir das premissas; - que um silogismo nada é senão um tipo de armadilha para enredar o incauto; e que isso necessariamente envolve a falácia de “petição de princípio (begging the question);” com outras objeções soando formidavelmente similares; as quais, quando simplesmente faladas como estando a boiar, e como sustentadas por homens capazes, são prováveis de serem supostas muito mais [15]poderosas do que elas são em um exame mais de perto.

Daqueles que falam de uma única premissa sendo suficiente para autorizar uma conclusão, alguns, será encontrado, foram confinando seus exemplos tão planos e pueris que os escritores de lógica estão inclinados demais a empregar exclusivamente; como “Sócrates é um homem; portanto, ele é uma criatura viva, etc,;” nos quais a conclusão já tinha sido formulada em uma premissa, para qualquer um que apenas entende o significado das palavras; “criatura viva” sendo uma parte do que é significado no termo mesmo “homem.” Mas em uma instância como esta: “Ele engoliu um copo de água de louro, portanto, ele tomou veneno,” a inferência é uma que ninguém que poderia extrair deveria ser ignorante – como todos estavam, há menos de um século (embora o suando a palavra no mesmo sentido que agora, para significa um “liquor destilado a partir das folhas de louro”) de que esse liquor é venenoso.

Outros ainda, quando eles falam de raciocínio a partir de uma instância individual para outra, sem nenhuma premissa universal, querem dizer, às vezes, que nenhuma premissa similar é expressa, (o qual é o caso mais frequente,) e que talvez mesmo o raciocinador, se não possuidor de grande domínio da linguagem, poderia ficar perdido para o formular corretamente.⁸ E de fato, continuamente [16]acontece que, até longas sequências de raciocínio cintilarão através da mente com tal rapidez que o processo é performado inconscientemente, ou que, pelo menos, não deixa traço na memória, não mais do que os movimentos dos músculos da garganta e boca ao falar, ou os julgamentos pelos quais nós decidimos quanto às distâncias de objetos visíveis:⁹ de modo que uma conclusão pode ser suposta ser apreendida por intuição, a qual, na realidade, é o resultado de uma inferência rápida.

Alguns, ainda, parecem incluir sob o título de “raciocínio” cada caso no qual uma pessoa acredita em uma coisa em consequência dela acreditar em outra coisa; por mais longe que ela possa estar de ter quaisquer bons fundamentos para autorizar a inferência: e, por consequência, eles incluem aqueles processos que ocorrem nas mentes de infantes e brutos; os quais estão aptos a associarem com a aparência de um objeto diante deles a impressão lembrada de alguma coisa que anteriormente o acompanhou. Um tal processo é aludido nos provérbios familiares que “Uma criança queimada teme o fogo;” ou, como é expresso em outra forma, “O gato escaldado teme água fria;” ou, novamente no provérbio hebreu, “Aquele que foi mordido por uma serpente [17]é assustado por uma corda.” Contudo, a maioria dos escritores de lógica têm confinado o nome de “raciocínio” ao argumento válido; o qual não pode existir sem uma premissa universal, implícita, se não expressa. Pois sempre que não haja duas premissas que, combinadas, impliquem e, virtualmente, afirmem a conclusão – a premissa ou premissas alegadas sendo tais que uma pessoa pode sem inconsistência acreditá-las verdadeiras e, contudo, não acreditar na conclusão, - então, nós temos o que os lógicos têm estado acostumados de chamar de um argumento aparente, mas não real.

Ainda assim, alguns têm negado que a conclusão seja inferida a partir da premissa universal. Mas então eles reconhecem que a verdade dessa premissa é uma condição indispensável dessa inferência: uma admissão que satisfaria à maioria dos lógicos. Pois, por exemplo, se qualquer fisiologista botânico devesse negar que os galhos de uma árvore derivam nutrição a partir das raízes, dizendo que os galhos são nutridos pelos sucos da terra, mas admitindo que as raízes são uma condição indispensável, e que, se elas fossem destruídas, os galhos secariam, isso não seria reconhecido como substancialmente nenhuma nova doutrina. E também assim, se qualquer um escolhesse sustentar que a conclusão é extraída a partir de (from) a premissa única, por (by) ou através (through) de outra premissa, isso seria considerado meramente como uma inovação desnecessária e não importante na fraseologia.

Assim, também, quando se fala inferências a partir da indução como não sendo – ou não necessariamente sendo – substancialmente silogísticas, à primeira vista, o estudante poderia ficar sobressaltado e perplexo, até que ele considerasse, ao mesmo tempo, admitido que nós decidimos, em cada caso de indução, a questão, se as instâncias alegadas são “suficientes” para autorizar a inferência; - se é “admissível” extrair a conclusão. E a decisão dessa questão no afirmativo, - ou seja, a decisão de que o procedimento não é uma mera conjectura aleatória [18]– é, se expresso em palavras, a premissa mesma necessária para completar o silogismo. (Ver L. IV, cap. i, §1.)

Assim, será visto que o alegado caráter aprisionador de um silogismo meramente equivale a isto; que quem quer que perceba a validade de um argumento, não tem modo de escapar da “armadilha (snare)” (assim chamado) exceto pela maneira que ele entrou, ou seja, as premissas. Ele apenas tem a alternativa de admitir uma delas ser falsa, ou senão, a conclusão ser verdadeira. E é uma questão de ocorrência diária que um homem esteja indeciso quanto a algum princípio que ele tenha incautamente admitido ao perceber ao quê ele conduz.

§5 Reclamações também têm sido feitas de que a lógica deixa intocada as maiores dificuldades, e aquelas que são as fontes dos principais erros no raciocínio; isto é, a ambiguidade ou indistinção dos termos, e as dúvidas com respeito aos graus de evidência em várias proposições: uma objeção que não deve ser removida por qualquer tentativa como aquela de Watts de estabelecer “regras para a formação de ideias claras” e para “orientação do julgamento;” mas respondendo que nenhuma arte deve ser censurada por não ensinar mais nada do que caia dentro da sua província e, de fato, mais do que pode ser ensinado por qualquer arte concebível. Um tal sistema de conhecimento universal que deveria instruir-nos no sentido ou sentidos completos de cada termo, e na verdade ou falsidade, - certeza ou incerteza, - de cada proposição, desse modo substituindo todos os outros estudos, é o mais não filosófico de se esperar ou até imaginar. E encontrar falta na lógica por não realizar isso é como se alguém devesse objetar à ciência da óptica por não conceder visão ao cego; ou como se (como o homem a quem Warburton conta uma história em Div. Leg.) alguém devesse reclamar de um óculos de leitura por ser inútil para uma pessoa que nunca tenha aprendido a ler. De fato, as dificuldade e [19]erros acima aludidos não estão no processo de raciocínio em si mesmo (o qual sozinho é a província apropriada da lógica,) mas no assunto no qual ela é aplicada. Esse processo terá sido corretamente conduzido se tiver conformado-se com as regras da lógica, os quais impedem a possibilidade de qualquer erro mover-se sorrateiramente entre os princípios assumidos e a conclusão que nós deduzimos a partir deles. Mas ainda essa conclusão pode ser falsa, se os princípios a partir dos quais nós partimos o sejam; e a falsidade conhecida de uma conclusão sempre servirá (como tem sido observado acima) para corrigir um engano feito no início. De uma maneira similar, nenhuma habilidade aritmética assegurará um resultado correto de um cálculo, a menos que os dados a partir dos quais nós calculamos estejam corretos desde o início; nem por causa disso ninguém subvaloriza a aritmética; e, contudo, a conclusão contra a lógica não depende de nenhum fundamento melhor.

De fato, nesse aspecto, há uma analogia impressionante entre as duas ciências. Todos os números (os quais são o objeto da aritmética) tem de ser números de algumas coisas, sejam moedas, pessoas, medidas, ou qualquer outra coisa; mas introduzir na ciência qualquer indicação das coisas relativas às quais os cálculos são feitos, seria evidentemente irrelevante, e destruiria o seu caráter científico; portanto, nós prosseguimos com signos arbitrários representando números abstratamente. Também assim a lógica pronuncia-se sobre a validade de um argumento regularmente construído, igualmente bem, embora os símbolos arbitrários possam ter sido substituídos pelos termos; e, consequentemente, sem nenhuma consideração pelas coisas significadas por aqueles termos. E a possibilidade de fazer isso (embora tenha-se objetado absurdamente ao emprego de tais símbolos arbitrários, mesmo por escritores que não apenas entendiam aritmética, mas álgebra) é uma prova do caráter estritamente científico do sistema. Mas muitos professados escritores de lógica, não atentando para as [20]circunstâncias que há pouco foram mencionadas, têm perambulado em investigações sobre os vários ramos do conhecimento; investigações que, evidentemente, devem ser tão sem limites quanto o conhecimento humano em si mesmo, uma vez que não há assunto sobre o qual o raciocínio não seja empregado, e ao qual, consequentemente, a lógica não possa ser aplicada. O erro jaz em considerar cada coisa à qual a lógica é aplicável como a sua província apropriada.¹⁰

Ainda assim, muitos que não caem completamente nesse erro, contudo, censuram qualquer tratado lógico que, como o presente, professa ser inteiramente relacionado com a Linguagem; e falam da ciência como tratando, propriamente, da comparação de “Ideias abstratas,” das quais, eles dizem que a linguagem meramente fornece os nomes. No presente, pode ser suficiente responder que, supondo-se que realmente existam na mente – ou em algumas mentes – certas “ideias abstratas,” através das quais uma sequência de raciocínio pode ser levada a cabo independentemente de termos comuns [ou signos de qualquer tipo,] - pois esse é o ponto real em questão – e que um sistema de lógica pode ser divisado, tendo preferência para tal raciocínio, - supondo-se isso, - ainda assim, como eu não professo conhecer nada dessas “ideias abstratas,” ou de quaisquer “universais” exceto signos, ou ser consciente de qualquer processo de raciocínio, eu, pelo menos, tenho de me confinar a ensinar a única lógica que eu pretendo entender. Novamente, muitos que falam completamente com desprezo da lógica, sobre o fundamento de ser “relacionada com palavras,” entretinham fundamentalmente as mesmas visões que as acima; quer dizer, ele tomam por certo que o raciocínio pode ser levado a cabo completamente independente da linguagem; o que eles consideram (como [21]foi mencionado acima) meramente como um meio de comunicá-lo a outros. E, portanto, uma ciência ou arte que eles supõem ser confinada a este ofício, eles classificam-na muito baixo.

Uma tal visão eu acredito ser muito predominante. A maioria dos homens provavelmente diria, se perguntados, que o uso da linguagem é peculiar ao homem; e que o seu ofício é expressar para outros nossos pensamentos e sentimentos. Mas nenhum desses é estritamente verdadeiro. Brutos possuem em algum grau o poder de serem ensinados a entender o quê é dito a eles, e alguns deles até proferem sons expressivos do quê está passando-se com eles. Mas todos eles parecem ser incapazes de outro uso muito importante da linguagem, o qual caracteriza os homem, ou seja, o emprego de “termos comuns” (“termos gerais”) formados por abstração, como instrumentos de pensamento; apenas através do qual uma sequência de raciocínio pode ser levado a cabo.

E portando, um surdo-mudo, antes que a ele seja ensinado uma linguagem – ou linguagem de dedos (finger-language) ou leitura, - não pode levar a cabo uma sequência de raciocínio, não mais do que um bruto. De fato, ele difere de um bruto ao possuir a capacidade mental de empregar linguagem; mas ele não mais pode fazer uso dessa capacidade, até que ele esteja de posse de algum sistema de signos gerais arbitrários, do que uma pessoa nascida cega por causa de catarata pode fazer uso dessa capacidade de ver, até que a catarata seja removida.

Consequentemente, será considerado por qualquer um quem questionará um surdo-mudo, a quem tenha sido ensinado linguagem depois de ter crescido, de que nenhuma coisa tal como uma sequência de pensamento alguma vez tenha passado através da sua mente antes que ele fosse ensinado.

De fato, se nós raciocinássemos através dessas “ideias abstratas” das quais algumas pessoas falam, e se a linguagem que nós usamos servisse meramente para nos comunicar com outros homens, então uma pessoa seria capaz de raciocinar, quem não tivesse nenhum conhecimento de nenhum [22]signo arbitrário. Mas não há fundamentos para acreditar que isso seja possível; nem, consequentemente, que “ideias abstratas” (naquele sentido da palavra) absolutamente tenham qualquer existência.¹¹

§6 A partir do que foi dito, ficará evidente que dificilmente há qualquer outro assunto ao qual seja tão difícil introduzir o estudante de uma maneira clara e satisfatória quanto aquele com o qual nós agora estamos engajados. Em qualquer outro ramo do conhecimento, o leitor, se ele tem qualquer familiaridade prévia com o assunto, [23]usualmente estará muito melhor preparado para compreender a exposição dos princípios; ou, se ele for inteiramente estranho a ele, pelo menos, chegará ao estudo com uma mente desapaixonada, e livre de prejuízos e má concepções: ao passo que, no presente caso, não pode apenas acontecer, que muitos que têm concedido alguma atenção a atividades lógicas (ou o quê são usualmente consideradas como tal) terá antes sido perturbado por visões fundamentalmente errôneas, do que preparado, pela aquisição de princípios justos, para progresso ulterior; e não poucos que pretendem não ter nenhuma familiaridade que seja com a ciência, ainda terão assimilado ou aqueles prejuízos contra ela, ou aquelas noções falsas relativas à sua natureza, visto que não podem senão se provarem obstáculos ao estudo dela.

Ainda assim, há uma dificuldade que existe mais ou menos em todas as atividades abstratas; embora isso talvez seja mais sentido nesta, e frequentemente a ocasiona ser rejeitada por principiantes como seca e tediosa; ou seja, a dificuldade de perceber para qual fim último – para qual aplicação prática ou interessante – os princípios abstratos conduzem, os quais são primeiramente estabelecidos diante do estudante; de modo que, frequentemente, ele terá que trabalhar pacientemente seu caminho através da parte mais laboriosa do sistema, antes que ele possa obter qualquer ideia clara do movimento e da intenção dele.

Essa reclamação frequentemente tem sido feita por estudantes de química; quem são cansados por descrições de oxigênio, hidrogênio e outros elementos invisíveis, antes que eles tenham qualquer conhecimento relativo àqueles corpos que comumente os apresentam aos sentidos. E portanto alguns professores de química podem obviar em um grande grau essa objeção, adotando o modo analítico, em vez do sintético, de procedimento, quando eles estão primeiramente introduzindo o assunto a principiantes; ou seja, em vez de sinteticamente [24]enumerarem as substâncias elementares, - prosseguindo, em seguida, para as combinações mais simples dessas, e concluindo com aquelas substâncias mais complexas que são a ocorrência mais comum, eles começam analisando essas últimas, e resolvendo-as passo a passo em seus elementos simples; desse modo, ao mesmo tempo, apresentando o assunto em um ponto de vista interessante e estabelecendo claramente o objeto dele. De fato, a forma sintética de ensino é suficientemente interessante para alguém que tem realizado progresso considerável em qualquer estudo; e sendo mais concisa, regular e sistemática, é a forma na qual o conhecimento naturalmente organiza a si mesmo na mente e é retido na memória: mas a analítica é o tipo mais interessante, fácil e natural de introdução; visto sendo a forma na qual a invenção ou descoberta inicial de qualquer sistema necessariamente tem de ter ocorrido.

Portanto, pode ser aconselhável começar fornecendo um esboço leve, nessa forma, do sistema lógico, antes que nós entremos regularmente nele. Dessa forma, ao leitor será apresentado um tipo de história imaginária do curso da investigação pela qual esse sistema pode ser concebido ter ocorrido a uma mente filosófica.

Livro I Esboço Analítico da Ciência

ORIGINAL:

WHATELY, R., Elements of Logic. Comprising the Substance of the Article in the Encyclopedia Metropolitana with Additions, &c. New Edition, Revised by the Author. Boston and Cambridge: James Munroe and Company, 1859. p. 1-24. Disponível em: <https://archive.org/details/elementsoflogicc00whatuoft/page/1/mode/1up>

TRADUÇÃO:

EderNB do Blog Mathesis

Licença: CC BY-NC-SA 4.0

1[2]Portanto, certamente é estranho encontrar em um tratado sobre lógica, (o de Aldrich,) uma dissertação distinta para provar que ela é uma arte e não uma ciência!

2[8]Nascido por volta de 475 d.C. e morto por volta de 524 d.C.

3[9]Do caráter da escola de teologia (School-divinity), as preleções Bampton do dr. Hampdem fornecem a melhor visão que, talvez, alguma vez apareceu.

4Pol. Econ. Lect. ix. p.237.

5[12]Eu tenho visto uma reclamação feita de que a introdução de um sistema tão perfeito foi impedida pela aplicação do termo lógica ao quê é comumente assim chamado. Contudo, nós não encontramos que a aplicação dos nomes de astronomia e química aos estudos anteriormente assim chamados impediu a origem de mais sistemas filosóficos.

6Hobbes, quem muito claramente apontou isso, infelizmente, diminuiu o benefício que poderia ter sido derivado a partir de muito do quê ele escreveu, pelo preconceito que ele ergueu contra si mesmo através das suas doutrinas excepcionais em moral, política e religião

7Estranho como isso possa parecer, há alguns, (eu suspeito que não poucos,) quem até dão um passo adiante e consideram a lógica como alguma coisa oposta ao raciocínio correto. Eu vi uma análise, de uma obra que o analisador caracterizou como a produção de lógico capaz, e que, portanto, ele concluiu que era provável de ter alguma influência como tal sobre a vontade, não a razão! O “não” naturalmente poderia ter sido considerado como um erro de impressão, mas o contexto mostra que tal foi o significado real do analisador.

Ao ver uma tal passagem escrita no século XIX, quem pode se surpreender de que na idade média, a gramática (“gramarye”) fosse considerada como um tipo de arte mágica!

8[15]Pode ser acrescentado que, em raciocínio interno solitário, muitos, e talvez a maioria das pessoas, mas especialmente aqueles não muito acostumados a ler ou falar relativo aos assuntos que ocupam os pensamentos deles, fazem uso, parcialmente, de signos que são não arbitrários e convencionais, mas que consistem em concepções mentais de objetos individuais; tomados, cada um, como um representativo de uma classe. Ou seja, uma pessoa praticamente familiar com operações mecânicas, mas não com discussões delas em palavras, pode formar uma concepção de - em frase coloquial, “figurar para si mesma” – um certo campo ou sala, com cuja forma ela seja familiar, e pode empregar essa, em suas sequências internas de pensamento, como um signo, [16]para representar, por exemplo, “paralelogramo” ou “trapézio,” etc.; ou ela pode “figurar para si mesma” um homem levantando um peso através de uma vara (pole), e pode usar essa concepção como um signo geral, no lugar do termo “alavanca (lever);” e com os termos mesmos ele pode estar não familiarizado; caso no qual ele ficará perdido para transmitir distintamente a outros os seus próprios raciocínios; e na tentativa, frequentemente expressará a si mesmo (como alguém pode frequentemente observar em homens práticos não acostumados a ler e falar) não apenas indistintamente, mas até erroneamente. Ver abaixo, §5. Consequentemente, em parte, pode ter surgido a crença naquelas supostas “ideias abstratas” às quais, posteriormente, aludir-se-á, e na possibilidade de raciocínio sem o uso de absolutamente nenhum signo.

9A distância de um objeto tendo sido, até período comparativamente recente, suposta ser diretamente percebida pelo olho.

10[21]Aristóteles reclamou de um erro similar, como tendo ocorrido na retórica; do qual, de fato, nós encontramos espécimes nos argumentos de vários dos interlocutores em de Oratore, de Cicero.

11Têm havido alguns relatos muito interessantes publicados, por viajantes na América, e por pessoas residindo lá, de uma garota de nome Laura Bridgman, quem, desde o nascimento, tem sido não apenas surda e muda, mas também cega. Contudo, ela foi ensinada a linguagem dos dedos (finger-language), e até a ler o quê está impresso em caracteres elevados, e também a escrever.

A circunstância notável em referência ao presente assunto é que, quando ela está sozinha, os seus dedos geralmente são observados movendo-se, embora os sinais sejam tão leves e imperfeitos que outros não podem fazer sentido do quê ela está pensando. Mas, se eles perguntarem-na, ela dirá a eles.

Parece que, uma vez tendo aprendido o uso dos signos, ela considera a necessidade deles como um instrumento de pensamento, quando pensando em qualquer coisa além dos meros objetos individuais do sentido.

E sem dúvida, todos os outros fazem o mesmo; embora, em nosso caso, ninguém possa (como no caso de Laura Bridgman) ver a operação; nem, no geral pode ela ser ouvida; embora algumas poucas pessoas tenham o hábito de ocasionalmente falarem audivelmente consigo mesmas; ou, como é chamado, “falarem em voz alta (thinking aloud).” Mas os signos que nós comumente usamos em reflexão silente são meramente concepções mentais, usualmente, de palavras proferidas; e essas, sem dúvida, são tais como dificilmente de qualquer maneira poderiam ser entendidos por outros, mesmo se proferidas audivelmente. Pois nós usualmente pensamos em um tipo de abreviatura (short-hand), (se alguém pode usar a expressão) como as notas que alguém algumas vezes registra nem papel para ajudar a memória, as quais consistem em uma palavra ou duas, - ou até uma letra, - para sugerir uma sentença inteira; de modo que tais notas seriam ininteligíveis para qualquer outra pessoa.

Também tem sido observado que essa garota, quando adormecida e, sem dúvida, sonhando, tem seus dedos em movimento; estando, de fato, falando no sonho dela. Ver acima, §4.