Introdução à Filosofia Matemática
Por Bertrand Russell
Prefácio, Nota do Editor e Conteúdos
[52]Capítulo VI Similaridade de Relações
Nós vimos no capítulo II que duas classes têm o mesmo número de termos quando elas são “similares,” ou seja, quando há uma relação um-um cujo domínio é uma classe e o domínio inverso é a outra. Em um tal caso, nós dizemos que há uma “correlação um-um” entre as duas classes.
No presente capítulo, nós temos de definir uma relação entre relações, a qual desempenhará o mesmo papel para elas que a similaridade de classes desempenha para classes. Nós chamaremos essa relação de “similaridade de relações,” ou “semelhança (likeness),” quando parecer desejável usar uma palavra diferente daquela que nós usamos para classes. Como a semelhança deve ser definida?
Nós ainda devemos empregar a noção de correlação: nós deveremos assumir que o domínio de uma relação pode ser correlacionado com o domínio da outra, e o domínio inverso com o domínio inverso; mas isso não é suficiente para o tipo de semelhança que nós desejamos ter entre as nossas duas relações. O que nós desejamos é que, sempre que qualquer uma das relações valer entre dois termos, a outra relação deverá valer entre os correlatos desses dois termos. O exemplo mais fácil do tipo de coisa que nós desejamos é um mapa. Quando um lugar está ao norte de outro, o lugar no mapa correspondendo àquele fica acima daquele no mapa correspondendo ao outro; quando um lugar fica a oeste de outro, o lugar no mapa correspondendo àquele fica à esquerda do lugar no mapa correspondendo ao outro, e assim por diante. A estrutura do mapa corresponde àquela da [53]região da qual ele é um mapa. As relações-espaço no mapa tem “semelhança” com as relações-espaço na região mapeada. É esse tipo de conexão entre relações que nós desejamos definir.
Em primeiro lugar, nós podemos introduzir introduzir proveitosamente uma certa restrição. Na definição de semelhança, nós nos confinaremos àquelas relações que têm “campos,” ou seja, àquelas que permitem a formação de uma única classe a partir do domínio e do domínio inverso. Esse não é sempre o caso. Por exemplo, tome-se a relação “domínio,” ou seja, a relação que o domínio de uma relação tem com a relação. Essa relação tem todas as classes pelo seu domínio, uma vez que cada classe é o domínio de alguma relação; e ela tem todas as relações pelo seu domínio inverso, uma vez que cada relação tem um domínio. Mas classes e relações não podem ser combinadas para formar uma nova classe única, porque eles são de diferentes “tipos” lógicos. Nós não temos de entrar na difícil doutrina de tipos, mas é bom saber quando nós estamos evitando entrar nela. Sem entrar nos fundamentos para a afirmação, nós podemos dizer que uma relação apenas tem um “campo” quanto é o que nós chamamos de “homogênea,” ou seja, quando o seu domínio e o domínio inverso são do mesmo tipo lógico; e como uma indicação pronta do que nós queremos dizer por um “tipo,” nós podemos dizer que indivíduos, classes de indivíduos, relações entre indivíduos, relações de classes com indivíduos, e assim por diante, são de tipos diferentes. Agora a noção de semelhança não é muito útil quando aplicada a relações que não são homogêneas; portanto, nós deveremos definir semelhança simplificando o nosso problema falando do “campo” de uma das relações concernidas. Isso limita um pouco a generalidade da nossa definição, mas a limitação não é de uma nenhuma importância prática. E tendo sido formulado, isso não mais necessita ser lembrado. Nós podemos definir duas relações P e Q como “similares,” ou como tendo “semelhança,” quando há uma relação um-um S cujo domínio é o campo de P e cujo domínio inverso é o campo de Q, e que é tal que, se um termo tem a relação P [54]com outro, o correlato de uma tem a relação Q com o correlato da outra, e vice-versa. Uma figura tornará isso mais claro. Sejam x e y dois termos tendo a relação P. Então devem haver dois termos z, w, tal que x tem a relação S para z, y tem a relação S para w, e z tem a relação Q com w. Se isso acontece com cada par de termos tais como x e y, e se o inverso acontece com cada par de termos tais como z e w, é claro que para cada instância na qual a relação P vale há uma instância correspondente na qual a relação Q vale, e vice-versa; e isso é o que nós desejamos assegurar através da nossa definição. Nós podemos eliminar algumas redundâncias no esboço acima de uma definição, observando que, quando as condições acima são realizadas, a relação P é a mesma que o produto relativo de S e Q e o inverso de S, ou seja, o passo-P de x para y pode ser substituído pela sucessão do passo-S de x para z, o passo-Q de z para w, e o passo-S para trás de w para y. Desse modo, nós podemos estabelecer as definições seguintes:-
Uma relação S é dita ser um “correlator” ou um “correlator ordinal” de duas relações P e Q se S é um-um, tem o campo Q para o seu domínio inverso, e é tal que P é o produto relativo de S e Q, e o inverso de S.
Duas relações P e Q são ditas serem “similares,” ou terem “semelhança,” quando há, pelo menos, um correlator de P e Q.
Essas definições serão consideradas produzirem o quê acima nós decidimos ser necessário.
Será considerado que, quando duas relações são similares, elas compartilham todas as propriedades que não dependem dos termos atuais nos seus campos. Por exemplo, se uma implica diversidade, assim o faz a outra; se uma é transitiva, assim é a outra; se uma é conectada, assim é a outra. Consequentemente, se uma serial, assim é a outra. Novamente, se uma é um-muitos ou um-um, a outra é um-muitos ou um-um; e assim por diante, através de todas as propriedades gerais das relações. Mesmo afirmações envolvendo os termos atuais do campo de uma relação, embora elas não possam ser verdadeiros como elas são quanto aplicadas a uma relação similar, sempre serão capazes de tradução em afirmações que são análogas. Nós somos levados por tais considerações a um problema que, em filosofia matemática, tem uma importância de maneira nenhuma adequadamente reconhecida até agora. O nosso problema pode ser formulado como se segue:-
Dada alguma afirmação em uma linguagem da qual nós conhecemos a gramática e a sintaxe, mas não o vocabulário, quais são os significados possíveis de uma tal afirmação, e quais são os significados das palavras desconhecidas que a tornariam verdadeira?
A razão pela qual essa questão é importante é que ela representa, muito mais aproximadamente do que poderia ser suposto, o estado do nosso conhecimento da natureza. Nós sabemos que certas proposições científicas – as quais, nas ciências mais avançadas, são expressas em símbolos matemáticas – são mais ou menos verdadeiras do mundo, mas nós estamos muito confusos quanto à interpretação a ser expressa em consequência dos termos que ocorrem nessas proposições. Nós sabemos muito mais (para usar, por um momento, um antiquado par de termos) sobre a forma da natureza do que sobre a matéria. Portanto, o que realmente nós conhecemos quando enunciamos uma lei da natureza é apenas que provavelmente há alguma interpretação dos nossos termos que torna a lei aproximadamente verdadeira. Desse modo, grande importância agrega-se à questão: Quais são os significados possíveis de uma lei expressa em termos dos quais nós não conhecemos o significado substantivo, mas apenas a gramática e a sintaxe? E essa questão é a única sugerida acima.
Pelo presente, nós ignoraremos a questão geral, a qual nos ocupará novamente em um estágio posterior; o assunto mesmo da semelhança deve ser mais investigado.
Devido ao fato de que, quando duas relações são similares, as propriedades delas são a mesma, exceto quando elas dependem dos campos sendo compostos exatamente dos termos dos quais eles são compostos, é desejável ter uma nomenclatura que reúna [56]todas as relações que são similares a uma dada relação. Exatamente como nós chamamos o conjunto daquelas classes que são similares a uma classe dada o “número” dessa classe, assim nós podemos chamar o conjunto de todas aquelas relações que são similares a uma dada relação o “número” dessa relação. Mas, para evitar confusão com os números apropriados a classes, nós falaremos, nesse caso, de um “número-relação.” Desse modo, nós temos as definições seguintes:-
O “número-relação” de uma dada relação é a classe de todas aquelas relações que são similares à relação dada.
“Números-relação” são o conjunto de todas aquelas classes de relações que são números-relações de várias relações; ou, o que vem a ser a mesma coisa, um número de relação é uma classe de relações consistindo de todas aquelas relações que são similares a um membro da classe.
Quando é necessário falar dos números de classes de uma maneira que torne impossível confundi-los com números-relação, nós deveremos chamá-los de “números cardinais.” Desse modo, os números cardinais são os números apropriados às classes. Esses incluem os inteiros ordinários da vida cotidiana, e também certos números infinitos, dos quais nós deveremos falar depois. Quando falamos de “números” sem qualificação, nós devemos ser entendidos como significando números cardinais. Será lembrado que a definição de um número cardinal é como se segue:-
O “número cardinal” de uma dada classe é o conjunto de todas aquelas classes que são similares à classe dada.
A aplicação mais óbvia de números-relação é a séries. Duas séries podem ser consideradas como igualmente longas quando elas têm o mesmo número-relação. Duas séries finitas terão o mesmo número-relação quando os campos delas têm o mesmo número cardinal de termos, e apenas então – ou seja, uma série de (digamos) 15 termos terá o mesmo número-relação que quaisquer outras séries de quinze termos, mas não terá o mesmo número-relação que uma série de 14 ou 16 termos, nem, é claro, o mesmo número-relação que uma relação que não é serial. Desse modo, no caso bastante especial de séries finitas, há paralelismo entre números cardinais e números-relação. Os números-relação aplicáveis a séries podem ser [57]chamados de “números seriais” (o que são comumente chamados de “números ordinais” são uma subclasse deles); desse modo, um número serial finito é determinado quando nós conhecemos o número cardinal dos termos no campo de uma série tendo o número serial em questão. Se n é um número cardinal finito, o número-relação de uma série que tem n termos é chamado de o número “ordinal” n. (Também há números ordinais infinitos, mas deles nós deveremos falar em um capítulo posterior.) Quando o número cardinal de termos no campo de uma série é infinito, o número-relação da série não é determinado meramente pelo número cardinal, de fato, um número infinito de números-relação existe para um número cardinal infinito, como nós deveremos ver quando chegarmos a considerar séries infinitas. Quando uma série é infinita, o que nós podemos chamar do seu “comprimento,” ou seja, o seu número-relação, pode variar sem mudança no número cardinal; mas quando uma série é finita, isso não pode acontecer.
Nós podemos definir adição e multiplicação para números-relação assim como para números cardinais, e uma aritmética inteira de números-relação pode ser desenvolvida. A maneira pela qual isso deve ser feito é facilmente vista através da consideração de séries. Por exemplo, suponha que nós desejamos definir a soma de duas séries não sobrepostas de tal maneira que o número-relação da soma deverá ser capaz de ser definido como a soma dos números-relações das duas séries. Em primeiro lugar, é claro que há uma ordem envolvida como entre as duas séries: uma delas tem de ser posicionada antes da outra. Desse modo, se P e Q são as relações geradas das duas séries, nas séries em que a soma delas com P é colocada antes de Q, cada membro do campo de P precederá cada membro do campo de Q. Desse modo, a relação serial que deve ser definida como a soma de P e Q não é “P ou Q” simplesmente, mas “P ou Q ou a relação de qualquer membro do campo de P para qualquer membro do campo de Q.” Assumindo-se que P e Q não se sobreponham, essa relação é serial, mas “P ou Q” não é serial, sendo não conectada, uma vez que ela não vale entre um membro do campo de P e um membro do campo de Q. Desse modo, a soma de P e Q, como acima definida, é do que nós necessitamos [58]para definirmos a soma de dois números-relação. Modificações similares são necessárias para produtos e potências. A aritmética resultante não obedece à lei comutativa: a soma ou produto de dois números-relação geralmente depende da ordem na qual elas são tomadas. Mas ela obedece à lei associativa, a uma forma da lei distributiva e a duas das leis formais para potências, não apenas como aplicada a números seriais, mas como aplicada a números-relação, de modo geral. De fato, a aritmética-relação, embora recente, é um ramo completamente respeitável da matemática.
Não deve ser suposto que, meramente porque séries propiciam a aplicação mais óbvia da ideia de semelhança, não há outras aplicações que sejam importantes. Nós já mencionamos os mapas, e nós poderíamos estender os nossos pensamentos a partir dessa ilustração para a geometria de modo geral. Se o sistema de relações através do qual uma geometria é aplicada a um certo conjunto de termos pode ser completamente trazido a relações de semelhança com um sistema aplicando-se a outro conjunto de termos, então a geometria dos dois conjuntos é indistinguível do ponto de vista matemático, ou seja, todas as proposições são as mesmas, exceto pelo fato de que eles são aplicadas em um caso a um conjunto de termos, no outro a outro. Nós podemos ilustrar isso através das relações do tipo que pode ser chamado “entre (between),” o que nós consideramos no capítulo IV. Nós vimos que, com a condição de que uma relação de três termos tenha certas propriedades lógicas formais, ela originará séries, e pode ser chamada de uma “relação-entre (between-relation).” Dados quaisquer dois pontos, nós podemos usar a relação-entre para definir a linha reta determinada por aqueles dois pontos; ela consiste em a e b juntos com todos os pontos x, tal que a relação-entre vale entre os três pontos a, b, x em uma ordem ou outra. Foi mostrado por O. Veblen que nós podemos considerar o nosso inteiro espaço como o campo de uma relação-entre de três termos e definir a nossa geometria através das propriedades que nós atribuímos à relação-entre.1 Agora, semelhança é exatamente tão facilmente [59]definível entre relações de três termos como entre relações de dois termos. Se B e B’ são duas relações-entre, de modo que “xB(y, z)” significa “x está entre y e z com respeito a B,” nós deveremos chamar S um correlator de B e B’ se ele tem o campo de B’ para o seu domínio inverso, e tá que a relação B vale entre três termos quando B’ vale entre seus correlatos-S, e apenas então. E nós deveremos dizer que B é como B’ quando há pelo menos um correlator de B com B’. O leitor facilmente pode convencer a si mesmo de que, se B é semelhante B’ nesse sentido, não pode haver nenhuma diferença entre a geometria gerada por B e aquela gerada por B’.
Segue-se a partir disso que o matemático não necessita se preocupar com a coisa particular ou a natureza intrínseca dos seus pontos, linhas e planos, mesmo quando ele está especulando como um matemático aplicado. Nós podemos dizer que há evidência empírica da verdade aproximada daquelas partes da geometria que não são questões de definição. Mas não há evidência empírica quanto ao quê um “ponto” deve ser. Ele tem de ser alguma coisa que, tão aproximadamente quanto possível, satisfaça aos nossos axiomas, mas ele não tem de ser “muito pequeno” ou “sem partes.” Se ou não são essas coisas, é uma questão de indiferença, enquanto satisfazer aos axiomas. Se nós podemos, a partir de material empírico, construir uma estrutura lógica, não importa quão complicada, a qual satisfará aos nossos axiomas geométrico, essa estrutura pode ser legitimamente chamada de um “ponto.” Nós não temos de dizer que não há nada senão aquilo que poderia ser legitimamente chamado de um “ponto”; nós apenas temos de dizer: “Esse objeto que nós construímos é suficiente para o geômetra; ele pode ser um dos muitos objetos, qualquer um dos quais seria suficiente, mas isso não nos interessa, uma vez que esse objeto é suficiente para vindicar a verdade empírica da geometria, na medida que a geometria não é uma questão de definição.” Isso é apenas uma ilustração do princípio geral de que o quê importa na matemática, e, a uma extensão muito grande, na ciência física, não é a natureza intrínseca dos nossos termos, mas a natureza lógica da suas inter-relações.
Nós podemos dizer que, de duas relações similares, elas têm a mesma [60]“estrutura.” Para propósitos matemáticos (embora não para aqueles de filosofia pura) a única coisa de importância sobre uma relação são os casos nos quais ela vale, não a sua natureza intrínseca. Exatamente como uma classe pode ser definida por vários conceitos diferentes mas coextensivos – por exemplo, “homem” e “bípede implume,” - assim duas relações que são conceitualmente diferentes podem valer no mesmo conjunto de instâncias. Uma “instância” na qual uma relação vale deve ser concebida como uma dupla de termos, com uma ordem, de modo que um termo venha em primeiro e outro, em segundo; é claro, a dupla deve ser tal que o seu primeiro termo tem a relação em questão com o seu segundo. Tome-se (digamos) a relação “pai”: nós podemos definir o quê podemos chamar de a “extensão” dessa relação como a classe de todos as pares ordenados (x, y), os quais são tais que x é o pai de y. A partir do ponto de vista matemático, a única coisa de importância sobre a relação “pai” é que ela define esse conjunto de pares ordenados. Falando de modo geral, nós dizemos:
A “extensão” de uma relação é a classe daqueles pares ordenadas (x, y) que são tais que x tem a relação em questão com y.
Agora nós podemos dar mais um passo no processo de abstração e considerar o que nós queremos dizer por “estrutura.” Dada qualquer relação, nós podemos, se ela for uma suficientemente simples, construir um mapa dela. Pelo bem de definitividade, tomemos uma relação da qual a extensão são os pares seguintes: ab, ac, ad, bc, ce, dc, de, onde a, b, c, d, e são cinco termos, não importa quais. Nós podemos fazer um “mapa” dessa relação tomando cinco pontos sobre um plano e conectando-os através de setas, como na figura acompanhante. O quê é revelado pelo mapa é o quê nós chamamos de a “estrutura” da relação.
É claro que a “estrutura” da relação não depende dos termos particulares que formam o campo da relação. O campo pode ser mudado sem mudança da estrutura, e a estrutura pode ser mudada sem mudança do campo – por [61]exemplo, se nós devêssemos acrescentar o par ae na ilustração acima, nós deveríamos alterar a estrutura, mas não o campo. Duas relações têm a mesma “estrutura,” nós devemos dizer, quando o mesmo mapa terá para ambas – ou, o que vem a ser a mesma coisa, quando qualquer uma pode ser um mapa para a outra (uma vez que cada relação pode ser o seu próprio mapa). E isso, como uma reflexão momentânea mostra, é exatamente a mesma coisa que nós chamamos de “semelhança.” Quer dizer, duas relações têm a mesma estrutura quando elas têm semelhança, ou seja, quando elas têm o mesmo número-relação. Desse modo, o que nós definimos como “número-relação” é exatamente a mesma coisa que é obscuramente intencionada pela palavra “estrutura” – uma palavra que, importante como ela é, nunca é (até onde nós sabemos) definida em termos preciso por aqueles que a usam.
Tem havido uma grande quantidade de especulação na filosofia tradicional que poderia ter sido evitada se a importância da estrutura, e a dificuldade de a apreender, tivesse sido compreendida. Por exemplo, frequentemente é dito que espaço e tempo são subjetivos, mas eles têm contrapartes objetivas; ou que fenômenos são subjetivos, mas são causados pelas coisas em si mesmas, os quais têm de ter diferenças inter se correspondendo às diferença nos fenômenos às quais eles dão origem. Onde essas hipóteses são criadas, é geralmente suposto que nós conhecemos muito pouco sobre as contrapartes objetivas. Contudo, no fato atual, se as hipóteses como formuladas forem corretas, as contrapartes objetivas formariam um mundo tendo a mesma estrutura que o mundo fenomênico, e permitindo a nós inferir a partir dos fenômenos a verdade de todas as proposições que podem ser formuladas em termos abstratos e são sabidas verdadeiras dos fenômenos. Se o mundo fenomênico tem três dimensões, assim deve o mundo por trás dos fenômenos; se o mundo fenomênico é euclidiano, assim tem de ser o outro; e assim por diante. Para resumir, toda proposição tendo uma significação comunicada tem de ser verdadeira de ambos os mundos ou de nenhum: a única diferença tem de estar justamente naquela essência de individualidade que sempre elude palavras e confunde descrição, mas que, por essa mesma razão, é irrelevante para a ciência. Agora o único propósito que filósofos [62]têm em visão ao condenarem os fenômenos é para persuadirem a si mesmos e a outros que o mundo real é muito diferente do mundo da aparência. Todos nós podemos simpatizar com o desejo deles para provar uma proposição tão desejável, mas nós não podemos congratulá-los pelo sucesso deles. É verdadeiro que muitos deles não afirmam contrapartes objetivas aos fenômenos, e esses escaparam do argumento acima. Aqueles que afirmam contrapartes são, como uma regra, muito reticentes sobre o assunto, provavelmente porque eles sentem instintivamente que, se procurada, causaria aproximação demais entre o mundo real e o fenomênico. Se eles devessem perseguir o tópico, eles dificilmente poderiam evitar as conclusões que nós estivemos sugerindo. Dessas maneiras, assim como em muitas outras, a noção de estrutura ou de número-relação é importante.
ORIGINAL:
RUSSELL, B. Introduction to Mathematical Philosophy. London: G. Allen & Unwin, 1919. p. 52-62. Disponível em: <https://archive.org/details/introductiontoma00russ/page/52/mode/1up>
TRADUÇÃO:
EderNB do Blog Mathesis
Licença: CC BY-NC-SA 4.0
1[58]Isso não se aplica ao espaço elíptico, mas apenas a espaço com linhas retas em uma série aberta. Modern Mathematics, editado por J. W. A. Young, p. 3-51 (monografia por O. Veblen em “The Foundations of Geometry”.)
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