Introdução à Filosofia Matemática VII Números Racionais, Reais e Complexos

Introdução à Filosofia Matemática

Por Bertrand Russell

Prefácio, Nota do Editor e Conteúdos

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[63]Capítulo VII Números Racionais, Reais e Complexos

Nós agora vimos como definir números cardinais e também números-relação, dos quais o que são comumente chamados de números ordinais são uma espécie particular. Será descoberto que cada um desses tipos de números pode ser infinito precisamente tão bem quanto finito. Mas nenhum deles é capaz, do jeito que está, das extensões mais familiares da ideia de número, a saber, as extensões dos números negativos, fracionais, irracionais e complexos. No capítulo presente, nós devemos suprir brevemente definições lógicas dessas várias extensões.

Um dos erros que têm atrasado a descoberta de definições corretas nessa região é a ideia comum de que cada extensão de número incluía os tipos anteriores como casos especiais. Era considerado que, lidando com inteiros positivos e negativos, os inteiros positivos podiam ser identificados com os originais inteiros sem sinal. Novamente, era considerado que uma fração cujo denominador fosse 1 pode ser identificada com o número natural que é o seu numerador. E supunha-se que os números irracionais, tais como a raiz quadrada de 2, devessem encontrar o seu lugar entre as frações racionais, como sendo maiores do que algumas delas e menores do que as outras, de modo que os números racionais e irracionais poderiam ser combinados como uma classe, chamada de “números reais.” E quando a ideia de número foi mais estendida de modo a incluir os números “complexos,” ou seja, números envolvendo a raiz quadrada de -1, foi pensado que os números reais poderiam ser considerados como aqueles entre os números complexos nos quais a parte imaginária (ou seja, a parte [64]que era um múltipla da raiz quadrada de -1) fosse zero. Todas essas suposições eram errôneas, e tinham de ser descartadas, como nós deveremos descobrir, se definições corretas devem ser dadas.

Comecemos com inteiros positivos e negativos. É óbvio, para uma consideração momentânea, que tanto +1 quanto -1 têm de ser relações, e, de fato, têm de ser um o inverso do outro. A definição óbvia e suficiente é que +1 é a relação de n+1 para n, e -1 é a relação de n para n+1. Geralmente, se m for qualquer número indutivo, +m será a relação de n+m para n (para qualquer n), e -m será a relação de n para n+m. De acordo com essa definição, +m é uma relação que é um-um, enquanto n for um número cardinal (finito ou infinto) e m for um número cardinal indutivo. Mas, sob nenhuma circunstância, +m deve ser capaz de ser identificado com m, o qual não é uma relação, mas uma classe de classes. De fato, +m é exatamente tão distinto de m quanto é -m.

Frações são mais interessantes do que números positivos ou negativos. Nós necessitamos de frações para muitos propósitos, mas talvez, mas obviamente, para propósitos de mensuração. Meu amigo e colaborador, o dr. A. N. Whitehead desenvolveu uma teoria de frações especialmente adaptada para a aplicação delas à mensuração, a qual está estabelecida em Principia Mathematica.¹ Mas, se tudo que for necessário é definir objetos tendo as requeridas propriedades puramente matemáticas, esse propósito pode ser alcançado por um método mais simples, o qual nós deveremos adotar aqui. Nós deveremos definir a fração m/n como sendo aquela relação que vale entre dois números indutivos x, y quando xn=ym. Essa definição nos possibilita provar que m/n é uma relação, com a condição de que nem m nem n seja zero. E é claro, n/m é a relação inversa para m/n.

A partir da definição acima fica claro que a fração m/1 é aquela relação entre dois inteiros x e y que consiste no fato de que x=my. Essa relação, como a relação +m, de modo nenhum é capaz de ser identificada com o número cardinal indutivo m, porque uma relação e uma classe de classes são objetos [65]de tipos completamente diferentes.² Será percebido que 0/n é sempre a mesma relação, seja o que for que o número indutivo n possa ser; em resumo, ela é a relação de 0 para qualquer outro cardinal indutivo. Nós podemos chamar isso de 0 dos números racionais; é claro, ela não é idêntica ao número cardinal 0. Inversamente, a relação m/0 é sempre a mesma, seja o que for que o número m possa ser. Não há nenhum cardinal indutivo para corresponder a m/0. Nós podemos chamá-la de “o infinito dos racionais.” Ela é uma instância do tipo de infinito que é tradicional na matemática, e que é representado por “∞.” Isso é um tipo totalmente diferente do verdadeiro infinito cantoriano, o qual nós deveremos considerar no nosso próximo capítulo. O infinito dos racionais não demanda, para a sua definição ou uso, quaisquer classes infinitas ou inteiros infinitos. De fato, isso não é uma noção muito importante, e nós poderíamos dispensá-la completamente se houvesse qualquer objetivo ao fazê-lo. Por outro lado, o infinito cantoriano é da maior e mais fundamental importância; o entendimento dele abre o caminho para inteiros novos reinos de matemática e filosofia.

Será observado que zero e infinito, únicos entre as razões, não são um-um. O zero é um um-muitos e infinito é muitos-um.

Não há nenhuma dificuldade na definição de maior e menor entre razões (ou frações). Dadas duas razões m/n e p/q, nós devemos dizer que m/n é menor do que p/q se mq é menor do que pn. Não há dificuldade em provar que a relação “menor do que (less than),” assim definida, é serial, de modo que razões formam uma série em ordem de magnitude. Nessa série, o zero é o menor termo, e o infinito é o maior. Se nós omitirmos zero e infinito da nossa série, não há mais nenhuma razão menor ou maior; é óbvio que se m/n for qualquer outra razão além de zero e infinito, m/2n é menor e 2m/n é maior, embora nenhuma seja zero ou infinito, de modo que m/n não é nem a razão menor [66]nem a maior, e, portanto (quando zero e infinito são omitidos) não há menor ou maior, uma vez que m/n foi escolhido arbitrariamente. De maneira similar, nós podemos provar que por mais que duas frações possam ser aproximadamente iguais, sempre há outras frações entre elas. Pois, que m/n e p/q sejam duas frações das quais p/q é a maior. Então é fácil de ver (ou para provar) que (m+p)/(n+q) será maior do que m/n e menor do que p/q. Desse modo, a série de razões é uma na qual nenhum par de termos é consecutivo, mas sempre há outros termos entre quaisquer dois. Uma vez que há outros termos entre esses outros, e assim por diante, ad infinitum, é óbvio que há um número infinito de razões entre quaisquer duas, por mais que quase iguais essas duas possam ser.³ Uma série tendo a propriedade de que sempre haja outros termos entre quaisquer dois, de modo que nenhum par seja consecutivo, é chamada de “compacta.” Desse modo, as razões em ordem de magnitude formam uma série “compacta.” Tais séries têm muitas propriedades importantes, e é importante observar que as razões propiciam uma instância de uma série compacta gerada puramente logicamente, sem nenhum apelo ao espaço ou ao tempo, ou a qualquer outro dado empírico.

Razões positivas e negativas podem ser definidas de uma maneira análoga àquela na qual nós definimos inteiros positivos e negativos. Tendo primeiramente definido a soma de duas razões m/n e p/q como (mq+pn)/nq, nós definimos +p/q como a relação de m/n+p/q para m/n, onde m/n é qualquer razão; e, é claro, -p/q é o inverso de +p/q. Essa não é a única maneira possível de definir razões positivas e negativas, mas, para o nosso propósito, é a maneira que tem o mérito de ser uma adaptação óbvia do modo que nós adotamos no caso dos inteiros.

Agora nós chegamos a uma extensão mais interessante da ideia de número, ou seja, à extensão para aqueles que são chamados de números “reais,” os quais são o tipo que engloba os irracionais. No capítulo I, nós tivemos ocasião de mencionar os “incomensuráveis” e a sua descoberta [67]por Pitágoras. Foi através deles, ou seja, através da geometria, que os números irracionais inicialmente foram descobertos. Um quadrado do qual o lado é de uma polegada de comprimento terá uma diagonal da qual o comprimento é a raiz quadrado de 2 polegadas. Mas, como os antigos descobriram, não há fração da qual o quadrado seja dois. Essa proposição é provada no décimo livro de Euclides, o qual é um daqueles livros que os estudantes supõem estar afortunadamente perdidos nos dias quando Euclides ainda era usado como um livro-texto. A prova é extraordinariamente simples. Se possível, que m/n seja a raiz quadrada de 2, de modo que m²/n²=2, ou seja, m²=2n². Desse modo, m² é um número par, e, portanto, m tem de ser um número par, porque o quadrado de um número ímpar é ímpar. Agora, se m for par, m² tem de ser dividido por 4, pois, se m=2p, então m²=4p². Desse modo, nós devemos ter 4p²=2n², onde p é metade de m. Consequentemente, 2p²=n², e, portanto, n/p também será a raiz quadrada de 2. Mas então nós podemos repetir o argumento: se n=2q, p/q também será a raiz quadrada de 2, e assim por diante, através de uma série sem fim de números que são cada um metade do seu predecessor. Mas isso é impossível; se dividirmos um número por 2, e, então, dividirmos a metade pela metade, e assim por diante, nós temos de alcançar um número ímpar após uma série finita de passos. Ou nós podemos colocar o argumento ainda mais simplesmente assumindo que a m/n com a qual nós começamos está nos termos mais baixos ; nesse caso, m e n não podem ser ambos pares; contudo, nós vimos que, se m²/n²=2, eles têm de ser. Desse modo, não pode haver nenhuma fracção m/n cujo quadrado é 2.

Desse modo, nenhuma fração expressará exatamente o comprimento da diagonal de um quadrado cujo lado é de uma polegada de comprimento. Isso parece como um desafio lançado pela natureza para a aritmética. Por mais que o artimético possa jactar-se (como Pitágoras fez) sobre o poder dos números, a natureza parece ser capaz de o desconsertar exibindo comprimentos que nenhum número pode estimar em termos da unidade. Mas o problema não permanece nessa forma geométrica. Tão logo a álgebra foi inventada, o mesmo problema surgiu com respeito à solução de equações, embora aqui ele assumiu uma forma mais ampla, uma vez que ele também envolveu números complexos.

Está claro que se pode encontrar frações que se aproximam mais [68]e mais de ter o seu quadrado igual a 2. Nós podemos formar uma série ascendente de frações, todas as quais têm seus quadrados menores do 2, mas diferindo de 2 em seus membros superiores por menos do que qualquer montante especificado. Isso quer dizer, suponha que eu especifique algum pequeno montante antecipadamente, digamos, um bilionésimo, será descoberto que todos os termos da nossa série depois de um certo um, digamos, o décimo, têm quadrados que diferem de 2 por menos do que esse montante. E se eu tivesse especificado um montante ainda menor, poderia ter sido necessário avançar mais ao longo da série, mas nós deveríamos ter alcançado, mais cedo ou mais tarde, digamos o vigésimo, após o qual todos os termos terão tido quadrados diferindo de 2 por menos do que esse montante ainda menor. Se nós começarmos a trabalhar para extrair a raiz quadrada de 2 por essa regra aritmética usual, nós deveríamos obter um decimal sem fim, o qual, levado para assim-e-assim muitos lugares, satisfaz exatamente às condições acima. Nós podemos igualmente bem formar uma série descendente de frações cujos quadrados são todos maiores do que 2, mas maiores por montantes continuamente menores, conforme nós chegamos aos termos posteriores da série, e diferindo, mais cedo ou mais tarde, por menos do que qualquer valor especificado. Dessa maneira, nós parecemos estar desenhando um cordão ao redor da raiz quadrada de 2, e pode parecer difícil acreditar que ele nos escape permanentemente. Mesmo assim, não é através desse método que nós deveremos realmente atingir a raiz quadrada de 2.

Se nós dividirmos todas as razões em duas classes, de acordo com que os quadrados delas sejam ou não menores do que 2, nós descobrimos que, entre aqueles quadrados que não são menores do que 2, todos têm seus quadrados maiores do que 2. Não há limite inferior aquém de zero para a diferença entre os números cujo quadrado é um pouco menor do que 2 e os números cujo quadrado é um pouco maior do que 2. Em resumo, nós podemos dividir todas as razões em duas classes de modo que todos os termos em uma classe sejam menores do que todos na outra, não há máximo para uma classe, e não há mínimo para a outra. Entre essas duas classes, onde √2 deveria estar, não há nada. Desse modo, o nosso [69]cordão, embora nós tenhamos desenhado-o tão justo quanto possível, foi desenhado no lugar errado, e não atingiu a √2.

O método acima de dividir todos os termos de uma série em duas classes, das quais uma precede inteiramente a outra, foi trazido à proeminência por Dedekind⁴ e, portanto, é chamado de um “corte de Dedekind (Dedekind cut).” Com respeito ao quê acontece no ponto da secção, há quatro possibilidades: (1) pode haver um máximo para a secção inferior e um mínimo para a secção superior, (2) pode haver um máximo para uma e nenhum mínimo para a outra, (3) pode não haver nenhum máximo para uma, mas um mínimo para a outra, (4) pode não haver nem um máximo para uma nem um mínimo para a outra. Desses quatro casos, o primeiro é ilustrado por qualquer série na qual haja termos consecutivos: nas séries dos inteiros, por exemplo, uma secção inferior tem de terminar com algum número n e a secção superior, então, tem de começar com n+1. O segundo caso será ilustrado nas séries de razões se nós tomarmos como a nossa secção inferior todas as razões até e incluindo 1, e na nossa secção superior, todas as razões maiores do que 1. O terceiro caso é ilustrado se nós tomarmos para a nossa secção inferior todas as razões menores do que 1, e para a nossa secção superior, todas as razões de 1 para cima (incluindo 1 mesmo). O quarto caso, como nós vimos, é ilustrado se nós colocarmos na nossa secção inferior todas as razões cujo quadrado são menores do que 2, e na nossa secção superior, todas as razões cujo quadrado é maior do que 2.

Nós podemos negligenciar o primeiro dos nossos quatro casos, uma vez que ele apenas surge em séries onde haja termos consecutivos. No segundo dos nossos quatro casos, nós podemos dizer que o máximo da secção inferior é o limite inferior para a secção superior, ou de qualquer conjunto de termos escolhidos da secção superior de uma maneira tal que nenhum termo da secção superior esteja a frente de todos eles. No terceiro dos nossos quatro casos, nós dizemos que o mínimo da secção superior é o limite superior da secção inferior, ou de qualquer conjunto de termos escolhidos a partir da secção inferior de uma maneira tal que nenhum termo da secção inferior esteja depois de todos eles. No quarto caso, nós dizemos que [70]há uma “lacuna (gap)”: nem a secção superior nem a inferior tem um limite ou um termo último. Nesse caso, nós também podemos dizer que nós temos uma “secção irracional,” uma vez que seções das séries de razões têm “lacunas” quando elas correspondem a irracionais.

O quê retardou a teoria verdadeira dos irracionais foi uma crença equivocada de que tem de haver “limites” de séries de razões. A noção de “limite” é da máxima importância, e, portanto, antes de prosseguirmos, será bom defini-la.

Um termo x é dito ser um “limite superior (upper limit)” de uma classe a com respeito a uma relação P se (1) a não tem máximo em P, (2) cada membro de a que pertença ao campo de P precede x, (3) cada membro do campo de P que precede x precede algum membro de a. (Por “preceder” nós queremos dizer “tem a relação P com.”)

Isso pressupões a seguinte definição de um “máximo”: -

Um termo x é dito ser um “máximo” de uma classe a com respeito a uma relação P se x é um membro de a e do campo de P e não tem a relação P com qualquer outro membro de a.

Essas definições não demandam que os termos aos quais elas são aplicadas devam ser quantitativos. Por exemplo, dada uma série de momentos de tempo arranjados por antes (earlier) e depois (later), o “máximo” deles (se algum) será o último dos momentos; mas, se eles arranjados por depois e antes, o “máximo” deles (se algum) será o primeiro dos momentos.

O “mínimo” de uma classe com respeito a P é o seu máximo com respeito ao inverso de P; e o “limite inferior (lower limit)” com respeito a P é o limite superior com respeito ao inverso de P.

As noções de limite e máximo não demandam essencialmente que a relação com respeito à qual eles são definidos deva ser seriais, mas eles têm poucas aplicações importantes exceto a caso onde a relação é serial ou quase-serial. Uma noção que é frequentemente importante é a noção de “limite superior ou máximo (upper limit or maximum),” à qual nós damos o nome de “fronteira superior (upper doundary).” Desse modo, a “fronteira superior” de um conjunto de termos escolhidos a partir de uma série é o último membro deles, se eles têm um, mas, se não, é o primeiro termo depois de todos eles, se houver um tal termo. Se não houver nem [71]um máximo nem um limite, não há limite superior. O “fronteira inferior (lower boundary)” é o limite inferior ou mínimo.

Voltando aos quatro caso da secção de Dedekind, nós vemos que no caso do primeiro dos três tipos, cada secção tem uma fronteira (superior ou inferior, como possa ser o caso), enquanto o quarto tipo tampouco tem uma fronteira. É claro que, sempre que a seção inferior tem uma fronteira superior, a seção superior tem uma fronteira inferior. Nos casos segundo e terceiro, as duas fronteiras são idênticas; no primeiro, elas são termos consecutivos da série.

Uma série é chamada de “dedekindiana” quando cada secção tem uma fronteira, superior ou inferior, como possa ser o caso.

Nós vimos que a série de razões em ordem de magnitude não é dedekindiana.

A partir do hábito de ser influenciado por imaginação espacial, as pessoas têm suposto que as séries têm de ter limites em casos onde parece estranho se elas não tiverem. Desse modo, percebendo que não havia limite racional para as várias razões cujo quadrado é menor do que 2, elas permitiram a si mesmas “postularem” um limite irracional, o qual devia preencher a lacuna de Dedekind. Dedeking, na obra acima mencionada, estabelece o axioma de que a lacuna sempre tem de ser preenchida, ou seja, que cada secção tem de ter uma fronteira. É por essa razão que as séries onde o axioma dele é verificado são chamadas de “dedekindianas.” Mas há um número infinito de séries para as quais ele não é verificado.

O método de “postular” o quê nós queremos tem muitas vantagens; elas são as vantagens do roubo sobre o labor honesto. Deixemo-las para outros e prossigamos com o nosso labor honesto.

É claro que, de alguma maneira, um corte irracional de Dedekind “representa” um irracional. Para fazermos uso disso, o qual, para começar, não é mais do que um sentimento vago, nós temos de encontrar alguma maneira de o elicitar a partir de uma definição precisa; e para fazer isso, nós temos de desiludir as nossas mentes da noção de que um irracional tem de ser o limite de um conjunto de razões. Exatamente como as razões cujo denominado é 1 não são idênticas aos inteiros, assim aqueles números racionais [72]que podem ser maiores ou menores do que os irracionais, ou podem ter os irracionais como limites deles, não devem ser identificados com as razões. Nós temos de definir um novo tipo de números chamados de “números reais,” dos quais alguns serão racionais e alguns irracionais. Aqueles que são racionais “correspondem” a razões, na mesma tipo de maneira na qual a razão n/1 corresponde ao inteiro n; mas eles não são os mesmos que razões. Para decidirmos o quê eles devem ser, observemos que um irracional é representado por um corte irracional, e um corte é representado pela sua secção inferior. Confinemos nós mesmos a cortes nos quais a secção inferior não tem máximo; nesse caso, nós chamaremos a secção inferior de um “segmento.” Então aqueles segmentos que correspondem a razões são aqueles que consistem em todas as razões menores do que a razão à qual eles correspondem, a qual é a fronteira deles; enquanto que aqueles que representam irracionais são aqueles que não têm fronteira. Segmentos, tanto aqueles que têm fronteiras quanto aqueles que não, são tais que, de quaisquer dois pertencentes a uma série, um tem de ser parte do outro; consequentemente, todos eles podem se arranjados em uma série pela relação de todo e parte. Uma série na qual há lacunas de Dedekind, ou seja, na qual há segmentos que não têm fronteira, dará origem a mais segmentos do que ela tem termos, uma vez que cada termo definirá um segmento tendo aquele termo por fronteira, e então os segmentos sem fronteiras serão extras.

Agora nós estamos em uma posição para definir um número real e um número irracional.

Um “número real” é um segmento da série de razões em ordem de magnitude.

Um “número irracional” é um segmento da série de razões que não tem fronteira.

Um “número real racional” é um segmento da série de razões que tem uma fronteira.

Desse modo, um número real consiste em todas as razões menores do que uma certa razão, e é o número real racional correspondendo àquela razão. Por exemplo, o número real 1 é a classe das frações próprias.

[73]Nos casos nos quais nós naturalmente supusemos que um irracional tem de ser o limite de uma série de razões, a verdade é que ele é o limite do conjunto correspondente de números reais racionais nas séries de segmentos ordenados pelo todo e a parte. Por exemplo, √2 é o limite superior de todos aqueles segmentos da série de razões que correspondem a razões cujo quadrado é menor do que 2. Ainda mais simplesmente, √2 é o segmento consistindo em todas aquelas razões cujo quadrado é menor do que 2.

É fácil provar que a série de segmentos de quaisquer séries é dedekindiana. Por exemplo, dado qualquer conjunto de segmentos, a fronteira deles será a sua soma lógica, ou seja, a classe de todos aqueles termos que pertencem a, pelo menos, um segmento do conjunto.⁵

A definição acima de números reais é um exemplo de “construção” enquanto contrária a “postulação,” da qual nós tivemos outro exemplo na definição de números cardinais. A grande vantagem desse método é que ele não requer nenhuma nova suposição, mas capacita-nos a proceder dedutivamente a partir do aparato original da lógica.

Não há nenhuma dificuldade em definir adição e multiplicação para os números reais como definidos acima. Dados dois números reais μ e ν, cada um sendo uma classe de razões, tomemos qualquer membro de μ e qualquer membro de ν e adicionemo-los de acordo com a regra da adição de razões. Formemos a classe de todas aquelas somas obteníveis através da variação dos membros selecionais de μ e ν. Isso nos dá uma nova classe de razões, e é fácil provar que essa nova classe é um segmento da série de razões. Nós definimos isso como a soma de μ e ν. Nós podemos formular a definição mais brevemente como se segue:-

A soma aritmética de dois números reais é a classe das somas aritméticas de um membro de uma e um membro da outra, escolhidos de todos os modos possíveis.

[74]Nós podemos definir o produto aritmético de dois números reais exatamente da mesma maneira, multiplicando um membro da primeira por um membro da outra, de todos modos possíveis. A classe de razões gerada dessa maneira é definida como o produto dos dois números reais. (Em todas essas definições, as séries de razões devem ser definidas como excluindo 0 e infinito.)

Não há dificuldade em estendermos as nossas definições a números reais positivos e negativos e a adição e multiplicação deles.

Resta fornecer a definição de números complexos.

Os números complexos, embora capazes de uma interpretação geométrica, não são demandados pela geometria da mesma maneira imperativa que os irracionais são demandados. Um número “complexo” significa um número envolvendo a raiz quadrada de um número negativo, quer inteiro, quer fracionário, quer real. Uma vez que o quadrado de um número negativo é positivo, um número cujo quadrado deve ser negativo tem de ser um novo tipo de número. Usando a letra i para a raiz quadrada de -1, qualquer número envolvendo a raiz quadrada de um número negativo pode ser expresso na forma x+yi, onde x e y são reais. A parte yi é chamada de a parte “imaginária” desse número, x sendo a parte “real.” (A razão para a frase “números reais” é que eles são contrastados com aqueles que são “imaginários.”) Números complexos há muito tempo têm sido usados habitualmente por matemáticos, a despeito da ausência de qualquer definição precisa. Tem sido simplesmente assumido que ele obedeceriam às regras matemáticas usuais, e, sobre essa suposição, o emprego deles tem sido considerado proveitoso. Eles são requeridos menos pela geometria do que pela álgebra e análise. Por exemplo, nós desejamos ser capazes de dizer que toda equação quadrática tem duas raízes, e toda equação cúbica tem três, e assim por diante. Mas, se nós estivermos confinados a números reais, uma equação tal como x²+1=0 não tem raízes, e uma equação tal como x³-1=0 tem apenas uma. Toda generalização de números primeiramente se apresentou como necessária para algum problema simples: números negativos foram necessários para que a subtração sempre pudesse ser possível, uma vez que, caso contrário, a-b seria sem sentido se a fosse menor do que b; frações foram necessárias [75]para que a divisão sempre pudesse ser possível; e números complexos são necessários para que a extração de raízes e solução de equações sempre possa ser possível. Mas extensões de números não são criadas pela mera necessidade delas: elas são criadas pela definição, e é para a definição de números complexos que agora nós temos de voltar a nossa atenção.

Um número complexo pode ser considerado e definido simplesmente como uma dupla ordenada de números reais. Aqui, como em outros lugares, muitas definições são possíveis. Tudo que é necessário é que as definições adotadas devam conduzir a certas propriedades. No caso dos números complexos, se eles são definidos como duplas ordenas de números reais, nós imediatamente asseguramos algumas das propriedades requeridas, a saber, que dois números são requeridos para determinar um número complexo, e que, entre esses, nós podemos distinguir um primeiro e um segundo, e que dois números complexos apenas são idênticos quando o primeiro número real envolvido no primeiro é igual ao primeiro envolvido no outro, e o segundo, ao segundo. O quê é adicionalmente necessário pode ser assegurado definindo-se as regras de adição e multiplicação. Nós devemos ter

(x+yi)+(x´+y´i)=(x+x´)+(y+y´)i

(x+yi)(x´+y´i)=(xx´-yy´)+(xy´+x´y)i.

Desse modo, nós deveremos definir que, dadas duas duplas ordenadas de números reais, (x, y) e (x´, y´), a soma delas deve ser a dupla (x+x´, y+y´) e o produto deles deve ser a dupla (xx´-yy´, xy´+x´y). Através dessas definições, nós deveremos assegurar que as nossas duplas ordenadas deverão ter as propriedades que nós desejamos. Por exemplo, tome-se o produto das duas duplas (0, y) e (0, y´). Pela regra acima, esse será a dupla (-yy´,0). Desse modo, o quadrado da dupla (0,1) será a dupla (-1, 0). Agora, essas duplas na qual o segundo termo é 0 são aquelas que, de acordo com a nomenclatura usual, têm a sua parte imaginária zero; na notação x+yi, elas são x+0i, a qual é natural para escrever simplesmente x. Exatamente como é natural (mas errôneo) identificar razões cujo denominador é unidade com inteiros, assim é natural (mas errôneo) [76]identificar números complexos cuja parte imaginária é zero com números reais. Embora isso seja um erro na teoria, é uma conveniência na prática; “x+0i” pode ser substituída por “x” e “0+yi” por “yi,” com a condição que lembremos que o “x” não é realmente um número real, mas um caso especial de um número complexo. E, é claro, quando y é 1, “yi” pode ser substituído por “i.” Desse modo, a dupla (0, 1) é representada por i, e a dupla (-1, 0) é representado por -1. Agora as nossas regras de multiplicação tornam o quadrado de (0, 1) igual a (-1, 0), ou seja, o quadrado de i é -1. Isso é o quê nós desejamos assegurar. Dessa maneira, as nossas definições servirão a todos os propósitos necessários.

É fácil fornecer uma interpretação geométrica de números complexos na geometria do plano. Esse tema foi agradavelmente exposto por W. K. Clifford no seu Common Sense of the Exact Sciences, um livro de grande mérito, mas escrito antes que a importância das definições puramente lógicas tivesse sido compreendida.

Números complexos de uma ordem superior, embora muito menos úteis e importantes do que aqueles que nós estivemos definindo, têm certos usos que não são sem importante na geometria, como pode ser visto, por exemplo, em Universal Algebra, do dr. Whitehead. A definição de números complexos de ordem n é obtida através de uma extensão óbvia da definição que nós fornecemos. Nós definimos um número complexo de ordem n como uma relação um-muitos cujo domínio consiste em certos números reais e cujo domínio inverso consiste nos inteiros de 1 a n.⁶ Isso é o quê seria ordinariamente indicado pela notação (x₁, x₂, x₃, … x_n), onde os sufixos denotam correlação com os inteiros usados como sufixos, e a correção é um-muitos, não necessariamente um-um, porque x_r e x_s podem ser iguais quando r e s não são iguais. A definição acima, com uma adequada regra de multiplicação, servirá a todos os propósitos para os quais números complexos de ordens superiores não necessários.

Agora nós completamos a nossa revisão daquelas extensões de número que não envolvem o infinito. A aplicação do número de coleções infinitas tem de se o nosso próximo tópico.

Próximo capítulo

ORIGINAL:

RUSSELL, B. Introduction to Mathematical Philosophy. London: G. Allen & Unwin, 1919. p. 63-76. Disponível em: <https://archive.org/details/introductiontoma00russ/page/63/mode/1up>

TRADUÇÃO:

EderNB do Blog Mathesis

Licença: CC BY-NC-SA 4.0

1[64]Vol. iii, * 300 ff. especialmente 303.

2[65]É claro, na prática nós deveremos continuar a falar de uma fração como (digamos) maior ou menor do que 1, significando maior ou menor do que a razão 1/1. Enquanto for entendido que a razão 1/1 e o número cardinal 1 são diferentes, não é necessário ser sempre pedante na enfatização da diferença.

3[66]Estritamente falando, essa afirmação, assim como aquelas se seguindo ao final do parágrafo, envolve o quê é chamado de o “axioma do infinito,” o qual será discutido em um capítulo posterior.

4[69]Stetigkeit und irrationale Zahlen, 2ª edição, Brunswick, 1892.

5[73]Para um tratamento mais completo do assunto dos segmentos e das relações dedekindianas, ver Principia Mathematica, vol. ii, *210-214. Para um tratamento mais completo dos números reais, ver ibid. *310 ff., e Principles of Mathematics, caps. xxxiii e xxxiv.

6[76]Cf. Principles of Mathematics, §360, p.379.