Introdução à Filosofia Matemática V Tipos de Relações

Introdução à Filosofia Matemática

Por Bertrand Russell

Prefácio, Nota do Editor e Conteúdos

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[42]Capítulo V Tipos de Relações

Uma grande parte da filosofia da matemática está interessada em relações, e muitos tipos diferentes de relações têm tipos diferentes de usos. Frequentemente acontece que uma propriedade que pertence a todas as relações é importante apenas com respeito a relações de certos tipos; nesses casos, o leitor não perceberá a relevância da proposição afirmando uma tal propriedade, a menos que ele tenha em mente os tipos de relações para as quais ela é útil. Por razões desse tipo, assim como o interesse intrínseco do assunto, é bom termos em nossas mentes uma lista mais aproximada das variedades mais matematicamente úteis de relações.

No capítulo anterior nós lidamos com uma classe supremamente importante, a saber, relações seriais. Cada uma das três propriedades que nós combinamos na definição de séries – a saber, assimetria, transitividade e conetividade – tem a sua própria importância. Nós começaremos dizendo alguma coisa sobre cada uma dessas três.

Assimetria, ou seja, a propriedade de ser incompatível com o inverso, é uma dos maiores interesse e importância. Para desenvolvermos suas funções, nós consideraremos vários exemplos. A relação marido (husband) é assimétrica, e assim é a relação mulher (wife); ou seja, se a é marido de b, b não pode ser o marido de a e similarmente no caso de mulher. Por outro lado, a relação “esposo(a)(spouse)” é simétrica: se a é esposo(a) de b, então b é esposo(a) de a. Agora, suponhamos que nos seja dada a relação de esposo(a), e nós desejamos derivar a relação de marido. Marido é o mesmo que esposo masculino ou esposo de uma mulher; desse modo, a relação de marido pode [43]ser derivada a partir de esposo(a) limitando o domínio a homens ou limitando o inverso a mulheres (females). A partir dessa instância, nós percebemos que, quando uma relação simétrica é dada, algumas vezes é possível, sem a ajuda de nenhuma relação adicional, separá-la em duas relações assimétricas. Mas os casos onde isso é possível são raros e excepcionais: eles são casos onde há duas classes mutuamente exclusivas, digamos α e β, de modo que, sempre que a relação vale entre dois termos, um dos termos é um membro de α e o outro é um membro de β – como, no caso de esposo(a), um termo da relação pertence à classe dos homens e um, à classe das mulheres. Em um tal caso, a relação com o seu domínio confinado a α será assimétrica, e assim se confinará a relação com o seu domínio a β. Mas tais casos não são do tipo que ocorrem quando nós estamos lidando com séries de mais de três membros; pois em uma série, todos os termos, exceto o primeiro e o último (se esses existirem), pertencem tanto ao domínio e ao domínio inverso da relação geradora, de modo que uma relação como marido, onde o domínio e o domínio inverso não se sobrepõem, está excluída.

A questão de como nós construímos relações tendo alguma propriedade útil através de operações sobre relações que têm apenas rudimentos da propriedade é uma de importância considerável. Transitividade e conectividade são facilmente construídas em muitos casos onde a relação originalmente dada não as possui: por exemplo, se R é qualquer relação que seja, a relação ancestral derivada a partir de R através de generalização indutiva é transitiva; e se R é uma relação muitos-um, a relação ancestral será conectada, se confinada à posteridade de um termo dado. Mas a assimetria é uma propriedade muito mais difícil de assegurar através de construção. Como nós vimos, o método através do qual nós derivamos marido a partir de esposo(a) não está disponível nos casos mais importantes, tais como maior (greater), antes (before), à direita de (to the right of), onde domínio e domínio inverso sobrepõem-se. Em todos esses casos, nós podemos obter uma relação simétrica combinando a relação dada e a sua inversa, mas nós não podemos passar de volta, a partir dessa relação simétrica, para a relação assimétrica, exceto através da ajuda de alguma relação assimétrica. [44]Por exemplo, tome-se a relação maior: a relação maior ou menor (greater or less) – ou seja, desigual (unequal) – é simétrica, mas não há nada nessa relação para mostrar que ela é a soma de duas relações assimétricas. Tome-se uma relação tal como “diferindo em forma (differing in shape).” Essa não é a soma de uma relação assimétrica e da sua inversa, uma vez que as formas não formam uma única série; mas não há nada para mostrar que ela difere de “diferindo em magnitude (differing in magnitude),” se nós já não soubéssemos que magnitudes têm relações de maior e menor. Isso ilustra o caráter da assimetria como uma propriedade de relações.

A partir do ponto de vista da classificação das relações, ser assimétrico é uma característica muito mais importante do que implicação de diversidade. Relações assimétricas implicam diversidade, mas o inverso não é o caso. Por exemplo, “desigual (unequal)” implica diversidade, mas é simétrica. Amplamente falando, nós podemos dizer que, se nós desejássemos, até onde possível, dispensar proposições relacionais e substituí-las por tais como predicados atribuídos a sujeitos, nós poderíamos suceder nisso enquanto confinássemos a nós mesmos a relações simétricas: aquelas que não implicam diversidade, se elas são transitivas, podem ser consideradas como afirmando um predicado comum, enquanto que aquelas que implicam diversidade podem ser consideradas como afirmando predicados incompatíveis. Por exemplo, considere-se a relação de similaridade entre classes, através da qual nós definimos números. Essa relação é simétrica e transitiva e não implica diversidade. Seria possível, embora menos simples do que o procedimento que nós adotamos, considerar o número de uma coleção como um predicado da coleção: então duas classes similares serão duas que têm o mesmo predicado numérico, enquanto duas que não são similares serão duas que têm predicados numéricos diferentes. Um tal método de substituição de relações por predicados é formalmente possível (embora, frequentemente, muito inconveniente) enquanto as relações interessadas são simétricas; mas isso é formalmente impossível quando as relações são assimétricas, porque tanto a mesmidade quanto a diferença de predicados são simétricas. Nós podemos dizer que relações simétricas são [45]as mais caracteristicamente relacionais das relações e as mais importantes para o filósofo que deseja estudar a natureza lógica última das relações.

Outra classe de relações que é do maior uso é a classe de relações um-muitos, ou seja, relações que, no máximo, um termo pode ter com um termo dado. Tais são pai, mãe, marido (exceto no Tibete), quadrado de (square of), seno de (sine of) e assim por diante. Mas, pais (parent), raiz quadrada (square root) e assim por diante, não são um-muitos. Formalmente é possível substituir todas as relações um-muitos através de um artifício. Tome-se (digamos) a relação menor (less) entre os números indutivos. Dado qualquer número n maior do que 1, não haverá apenas um número tendo a relação menor de n, mas nós podemos formar a inteira classe dos números que são menores do que n. Essa é uma classe, e a sua relação com n não é compartilhada por nenhuma classe. Nós podemos chamar a classe dos números que são menores do que n de a “ancestralidade própria” de n, no sentido no qual nós falamos de ancestralidade e posteridade em conexão com indução matemática. Então “ancestralidade própria” é uma relação um-muitos (um-muitos sempre será usada de modo a incluir um-um), uma vez que cada número determina uma única classe de números como constituindo sua ancestralidade própria. Desse modo, a relação menor do que (less than) pode ser substituída por ser um membro da ancestralidade própria de (being a member of the proper ancestry of). Peano, quem, por alguma razão, sempre concebe instintivamente uma relação como um-muitos, lida dessa maneira com aquelas que não são naturalmente assim. Contudo, a redução a relações um-muitos através desse método, embora possível como uma questão de forma, não representa uma simplificação técnica, e há todo razão para pensar que ela não representa uma análise filosófica, se apenas porque classes têm de ser consideradas como “ficções lógicas.” Portanto, nós deveremos continuar a considerar relações um-muitos como um tipo especial de relações.

Relações um-muitos estão envolvidas em todas as frases da forma “o assim-e-assim de tal-e-tal (the so-and-so of such-and-such).” “O rei da Inglaterra,” [46]“a esposa de Sócrates,” “o pai de John Stuart Mill” e assim por diante, todas descrevem alguma pessoa através de uma relação um-muitos para um dado termo. Uma pessoa não pode ter mais de um pai, portanto “o pai de John Stuart Mill” descreve alguma pessoa única, mesmo se nós não soubéssemos quem. Há muito a dizer sobre o tema das descrições, mas, pelo presente, é com relações que nós estamos ocupados, e descrições são apenas relevantes enquanto exemplificando os usos de relações um-muitos. Deveria ser observado que todas as funções matemáticas resultam a partir de relações um-muitos: o logaritmo de x, o cosseno de x, etc, são, como o pai de x, termos descritos através de uma relação um-muitos (logaritmo, cosseno, etc) com um dado termo (x). A noção de função não necessita estar confinada a números, ou aos usos com os quais os matemáticos têm nos acostumado; ela pode ser estendida a todos os casos de relações um-muitos, e “o pai de x” é exatamente tão legitimamente uma função da qual x é o argumento quando é “o logaritmo de x.” Funções nesse sentido são funções descritivas. Como nós deveremos ver depois, há funções de um tipo ainda mais geral e fundamental, a saber, funções proposicionais; mas, pelo presente, nós devemos confinar a nossa atenção às funções descritivas, ou seja, “o termo tendo a relação R com x,” ou, para resumir, “o R de x,” onde R é qualquer relação um-muitos.

Será observado que se “o R de x” deve descrever um termo definido, x tem de ser um termo com o qual alguma coisa tem a relação R, e não deve haver mais de um termo tendo a relação R com x, uma vez que “o (the),” corretamente usado, tem de implicar unicidade. Desse modo, nós podemos falar de “o pai de x” se x for qualquer ser humano, exceto Adão e Eva; mas nós não podemos falar de “o pai de x” se x é uma mesa ou uma cadeira ou qualquer outra coisa que não tem um pai. Nós deveremos dizer que o R de x “existe” quando há exatamente um termo, e não mais, tendo a relação R com x. Desse modo, se R é uma relação um-muitos, o R de x existe sempre que x pertence ao domínio inverso de R, e não caso contrário. Considerando “o R de x” como uma função no sentido matemático, [47]nós dizemos que x é o “argumento” da função, e se y é o termo que tem a relação R com x, ou seja, se y é o R de x, então y é o “valor” da função para o argumento x. Se R é uma relação um-muitos, a variação de argumentos possíveis para a função é o domínio inverso de R, e variação dos valores é o domínio. Desse modo, a variação dos argumentos possíveis para a função “o pai de x” é tudo que tem pais, ou seja, o domínio inverso da relação pai, enquanto a variação de valores possíveis para a função são todos os pais, ou seja, o domínio da relação.

Muitas das noções mais importantes na lógica das relações são funções descritivas, por exemplo: inverso, domínio, domínio inverso, campo. Outros exemplos ocorrerão conforme nós prosseguimos.

Entre relações um-muitos, relações um-um são uma classe especialmente importante. Nós já tivemos ocasião para falar de relação um-um em conexão com a definição de número, mas é necessários ficarmos familiar com elas, e não meramente conhecermos a sua definição formal. A definição formal pode ser derivada a partir daquela das relações um-muitos: elas podem ser definidas como relações um-muitos que também são as inversas das relações um-muitos, ou seja, como relações que são ambas um-muitos e muitos-um. Relações um-muitos podem ser definidas como relações tais que, se x tem a relação em questão com y, não há outro termo x’ que também tenha a relação com y. Ou, novamente, elas podem ser definidas como se segue: Dados dois termos x e x’, os termos com os quais x tem a relação dada e aqueles com os quais x’ tem não têm nenhum membro em comum. Ou, novamente, eles podem ser definidos como relações tais que o produto relativo de um deles e do seu inverso implica identidade, onde o “produto relativo” de duas relações R e S é aquela relação que vale entre x e z, quando há um termo intermediário y, tal que x tem a relação R com y e y tem a relação S com z. Desse modo, por exemplo, se R é a relação de pai com filho, o produto relativo de R e o seu inverso serão a relação que vale entre x e um homem z quando há uma pessoa y, tal que x é o pai de y e y é o filho de z. É óbvio que x e z têm de ser [48]a mesma pessoa. Se, por outro lado, nós tomarmos a relação de pais (parent) e filhos (child), a qual não é um-muitos, nós não mais podemos argumentar que, se x é um dos pais de y e u é um dos filhos de x, x e z tem de ser a mesma pessoa, porque um pode ser o pai de y e o outro a mãe. Isso ilustra o quê é característico de relações um-muitos quando o produto relativo de uma relação e o seu inverso implicam identidade. No caso de relações um-um isso acontece, e também o produto relativo do inverso e a relação implica identidade. Dada uma relação R, é conveniente, se x tem a relação R com y, pensar y com sendo alcançado a partir de x através de um “passo-R” ou um “vetor-R.” No mesmo caso, x será alcançado a partir de y por um “passo-R para trás.” Desse modo, nós podemos formular que o característico de relações um-muitos com as quais nós temos estado lidando dizendo que um passo-R seguido por um passo-R para trás tem de nos trazer de volta ao nosso ponto de partida. Com outras relações, de maneira nenhuma esse é o caso; por exemplo, se R é a relação de filhos (child) para pais (parent), o produto relativo de R e do seu inverso é a relação “eu mesmo (self) ou irmão ou irmã,” e se R é a relação de netos (grandchild) com avôs (grandparent), o produto relativo de R é o seu inverso é “eu mesmo ou irmão ou irmão ou primo(a).” Será observado que o produto relativo de duas relações não é comutativo no geral, ou seja, o produto relativo de R e S não é no geral a mesma relação que o produto relativo de S e R. Por exemplo, o produto relativo de pais (parent) e irmão é tio (uncle), mas o produto relativo de irmão e pais (parente) é pais (parent).

Relações um-um fornecem uma correlação de duas classes, termo por termo, de modo que cada termo em cada classe tem o seu correlato na outra. Tais correlações são as mais simples de compreender quando as duas classes não têm membros em comum, como a classe dos maridos e a classe das esposas; pois, nesse caso, nós sabemos imediatamente se um termo deve ser considerado como um a partir do qual a relação R correlativa vai, ou com um para o qual ela vai. É conveniente usar a palavra referente para o termo a partir do qual a relação vai e o termo relatum para o termo para o qual ela vai. Desse modo, se x e y são marido e mulher, então, com respeito à relação [49]“marido,” x é referente e y, relatum, mas como respeito à relação “mulher,” y é referente e x, relatum. Nós dizemos que uma relação e a sua inversa têm “sentidos” opostos; desse modo, o “sentido” de uma relação que vai de x para y é o oposto daqueles da relação correspondente de y para x. O fato de que uma relação tem um “sentido” é fundamental, e é parte da razão de porque a ordem pode ser gerada por relações adequadas. Será observado que a classe de todos os refentes possíveis para uma dada relação é o seu domínio, e a classe de todos os relata possíveis é o seu domínio inverso.

Mas muito frequentemente acontece que o domínio e o domínio inverso de uma relação um-um sobreponham-se. Por exemplo, tomem-se os dez primeiros inteiros (excluindo o 0), e acrescente 1 a cada um; desse modo, em vez dos dez primeiros inteiros, nós agora temos os inteiros

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

Esses são os mesmos que nós tínhamos antes, exceto que o 1 foi eliminado do começo e 11 foi acrescentado no fim. Ainda há dez inteiros: eles estão correlacionados com os dez anteriores através da relação de n para n+1, a qual é uma relação um-um. Ou, novamente, em vez de acrescentar 1 a cada um dos nossos dez inteiros originais, nós poderíamos ter dobrado cada um deles, desse modo obtendo os inteiros

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.

Aqui nós ainda temos quatro do nosso conjunto anterior de inteiros, a saber, 2, 4, 6, 8, 10. Nesse caso, a relação de correlação é a relação de um número com o seu dobro, a qual, novamente, é uma relação um-um. Ou nós poderíamos ter substituído cada número pelo seu quadrado, desse modo obtendo o conjunto.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Nessa ocasião, apenas três do nosso conjunto original restam, a saber, 1, 4, 9. Esses processos de correlação podem ser variados sem fim.

O caso mais interessante do tipo acima é o caso onde a nossa relação um-um tem um domínio inverso que é parte, mas [50]não o todo, do domínio. Se, em vez de confinarmos o domínio aos dez primeiros inteiros, nós tivéssemos considerado o todo dos números indutivos, as instâncias acima teriam ilustrado esse caso. Nós podemos posicionar os números interessados em duas linhas, colocando o correlacionado diretamente sob o número de quem ele está correlacionado. Desse modo, quando o correlator é a relação de n para n+1, nós temos as duas linhas:

1, 2, 3, 4, 5, … n …

2, 3, 4, 5, 6, … n+1 …

Quando o correlator é a relação de um número para o seu dobro, nós temos as duas linhas:

1, 2, 3, 4, 5, … n …

2, 4, 6, 8, 10, … 2n …

Quando o correlator é a relação de um número para o seu quadrado, as linhas são:

1, 2, 3, 4, 5, … n …

1, 2, 9, 16, 25,… n² …

Em todos esses casos, todos os números indutivos ocorrem na linha do topo, e apenas alguns na linha de baixo.

Casos desse tipo, onde o domínio inverso é uma “parte própria” do domínio (ou seja, uma parte, não o todo), ocupar-nos-ão quando chegarmos para lidar com infinidade. Pelo presente, nós desejamos apenas notar que eles existem e demandam consideração.

Outra classe de correlações que frequentemente são importantes é classe chamada de “permutações,” onde o domínio e o domínio inverso são idênticos. Por exemplo, considere os seis arranjos possíveis das três letras:

a, b, c

a, c, b

b, c, a

b, a, c

c, a, b

c, b, a

[51]Cada um desses pode ser obtido a partir de qualquer um dos outros através de uma correlação. Por exemplo, tomem-se o primeiro e o último, (a, b, c) e (c, b, a). Aqui a está correlacionado com c, b consigo mesmo, e c com a. É óbvio que a combinação de duas permutações é novamente uma permutação, ou seja, as permutações de uma classe dada forma o que é chamado de um “grupo.”

Esses vários tipos de correlações têm importância em várias conexões, algumas para um propósito, outras, para outro. A noção geral de correlações um-um tem importância sem fim na filosofia da matemática, como nós já vimos em parte, mas deverá ver-se muito mais conforme nós prosseguimos. Um dos seus usos ocupar-nos-á no próximo capítulo

Próximo capítulo

ORIGINAL:

RUSSELL, B. Introduction to Mathematical Philosophy. London: G. Allen & Unwin, 1919. p. 42-51. Disponível em: <https://archive.org/details/introductiontoma00russ/page/42/mode/1up>

TRADUÇÃO:

EderNB do Blog Mathesis

Licença: CC BY-NC-SA 4.0