Misticismo
e Lógica e Outros Ensaios
Por
Bertrand Russell
Ensaio anterior
[74]V
A Matemática e os Metafísicos
O
século XIX, o qual se orgulha em consequência da invenção do
vapor e da evolução, poderia ter derivado um título mais legítimo
à fama a partir da descoberta da matemática pura. Essa ciência,
como a maioria das outras, foi batizada muito antes que ela tivesse
nascido; e dessa maneira nós encontramos escritores antes do século
XIX aludindo ao que eles chamaram de matemática pura. Mas se tivesse
sido perguntado a eles qual era esse assunto, eles apenas teriam sido
capazes de dizer que ela consistia em aritmética, álgebra,
geometria e assim por diante. Quanto ao que esses assuntos tinham em
comum, e quanto ao que os distinguia da matemática aplicada, nossos
ancestrais estavam completamente no escuro.
A
matemática pura foi descoberta por Boole, em um trabalho que ele
chamou de as Laws
of Thought
(1854). Essa obra abunda em afirmações de que não é matemática,
o fato sendo que Boole foi modesto demais para supor o seu livro o
primeiro alguma vez escrito sobre matemática. Ele também estava
equivocado em supor que ele estava lidando com leis do pensamento: a
questão de como as pessoas efetivamente pensam era bastante
irrelevante para ele, e se o livro dele tivesse realmente contido as
leis do pensamento, era curioso que ninguém nunca tenha pensado de
uma maneira similar antes. De fato, o livro dele estava interessado
em lógica formal, e isso é a mesma coisa que matemática.
[75]A
matemática pura consiste inteiramente em afirmações para o efeito
de que, se uma proposição tal e tal for verdadeira de qualquer
coisa,
então outra proposição tal e tal é verdadeira dessa coisa. É
essencial não discutir se a primeira proposição é realmente
verdadeira, e não mencionar o que a qualquer coisa é, a qual é
suposta ser verdadeira. Ambos esses pontos pertenceriam à matemática
aplicada. Na matemática pura nós partimos de certas regras de
inferência, através das quais nós podemos inferir que, se uma
proposição é verdadeira, então igualmente é alguma outra
proposição. Essas regras de inferência constituem a maior parte
dos princípios da lógica formal. Nós podemos tomar qualquer
hipótese que parece divertida e deduzir as consequências dela. Se
a nossa hipótese é sobre qualquer
coisa,
e não sobre uma ou mais coisas particulares, então as nossas
deduções constituem a matemática. Dessa forma, a matemática pode
ser definida como o assunto no qual nós nunca sabemos sobre o que
nós estamos falando, nem se o que nós estamos dizendo é
verdadeiro. Eu espero que as pessoas que tenham ficado intrigadas
pelos começos da matemática encontrarão conforto nessa definição
e provavelmente concordarão que ela é precisa.
Como
um dos triunfos principais da matemática moderna consiste em ter
descoberto o que realmente é a matemática, mais umas poucas
palavras sobre esse assunto podem não ser um erro. É comum começar
qualquer ramo da matemática – por exemplo, a geometria – com um
certo número de ideias primitivas, supostas incapazes de definição,
e um certo número de proposições primitivas ou axiomas, supostas
incapazes de prova. Agora, o fato é que, embora haja indefiníveis e
indemonstráveis em cada ramo da matemática aplicada, não há
nenhum na matemática pura, exceto tais como pertencentes à lógica
geral. Falando de maneira geral, a lógica é distinguida pelo fato
de que as suas proposições podem ser colocadas em uma forma na qual
elas se aplicam a qualquer coisa que seja. Toda matemática pura –
aritmética, análise [76]e
geometria – é construída por combinações das ideias primitivas
da lógica, e suas proposições são deduzidas a partir dos axiomas
gerais da lógica, tais como o silogismo e as outras regras de
inferência. E isso não mais é um sonho ou uma aspiração. Pelo
contrário, através da parte maior e mais difícil do domínio da
matemática, ele já tem sido alcançado: nós poucos casos
restantes, não há dificuldade especial, e agora está sendo
rapidamente alcançado. Filósofos têm discutido por eras se
semelhante dedução era possível; matemáticos têm sentado e
realizado a dedução. Para os filósofos não há nada restante,
exceto reconhecimentos graciosos.
O
assunto da lógica formal, o qual, dessa maneira, mostrou-se ser
idêntico ao da matemática, foi, como qualquer um sabe, inventado
por Aristóteles, e formou o estudo principal (outro além da
teologia) da Idade Média. Mas Aristóteles nunca foi além do
silogismo, o qual é uma parte muito pequena do assunto, e os
escolásticos nunca foram além de Aristóteles. Se qualquer prova
fosse requerida da nossa superioridade em relação aos doutores
medievais, ela poderia ser encontrada nisso. Por toda a idade média,
quase todos os melhores intelectos dedicaram-se à lógica formal, ao
passo que no século XIX apenas uma proporção infinitesimal do
pensamento do mundo entrava nesse asunto. Mesmo assim, em cada década
desde 1850 mais tem sido feito para avançar esse assunto do que no
inteiro período de Aristóteles a Leibniz. As pessoas descobriram
como tornar o raciocínio simbólico, como é na álgebra, de maneira
que deduções são efetuadas por regras matemáticas, e um novo ramo
da lógica, chamado de lógica dos relativos,
foi inventado para lidar com tópicos que tinham superado
inteiramente os poderes da [77]antiga
lógica, embora eles formem os conteúdos principais da matemática.
Não
é fácil para a mente leiga compreender a importância de simbolismo
na discussão dos fundamentos da matemática, e a explicação talvez
possa parecer estranhamente paradoxal. O fato é que o simbolismo é
útil porque ele torna as coisas difíceis. (Isso não é verdadeiro
das partes avançadas da matemática, mas apenas dos começos). O que
nós desejamos conhecer é o quê pode ser deduzido do quê. Agora,
nos começos, tudo é autoevidente; e é muito difícil ver se uma
proposição autoevidente segue-se ou não a partir de outra. A
obviedade é sempre a inimigo da correção. Consequentemente, nós
inventamos um pouco de simbolismo novo e difícil, no qual nada
parece óbvio. Em seguida, nós estabelecemos certas regras para a
operação sobre os símbolos, e a coisa toda se torna mecânica.
Dessa maneira, nós descobrimos o quê tem de ser tomado como
premissa e o quê pode ser demonstrado ou definido. Por exemplo, o
todo da aritmética e álgebra tem sido mostrado requerer três
noções indefiníveis e cinco proposições indemonstráveis. Mas
sem um simbolismo teria sido muito difícil descobrir isso. É tão
óbvio que dois e dois são quatro, que dificilmente nós podemos
tornar nós mesmos suficientemente céticos para duvidar de se isso
pode ser provado. E o mesmo vale em outros casos onde coisas
autoevidentes devem ser provadas.
Mas,
para o não iniciado, a prova de proposições autoevidentes pode
parecer uma ocupação um pouco frívola. A isso nós poderíamos
responder que frequentemente não é autoevidente de maneira nenhuma
que uma proposição óbvia siga-se a partir de outra proposição
óbvia; de modo que nós estamos realmente descobrindo novas verdades
quando nós provamos o quê é evidente por um método que não é
evidente. Mas uma resposta mais interessante é que, uma vez que as
pessoas têm tentado provar proposições óbvias, elas têm
descoberto que muitas delas são falsas. A [78]autoevidência
é frequentemente um mero fogo-fátuo, o qual é certo de nos
conduzir a erro se nós o aceitarmos como o nosso guia. Por exemplo,
nada é mais evidente do que um todo sempre ter mais termos do que
uma parte, ou que um número é aumentado pela adição de um a ele.
Mas agora essas proposições são reconhecidas serem usualmente
falsas. A maior parte dos números são infinitos, e se um número é
infinito você pode adicionar uns a ele enquanto você desejar, sem o
perturbar no mínimo. Um dos méritos de uma prova é que ela instila
uma certa dúvida quanto ao resultado provado; e quando o que é
óbvio pode ser provado em alguns casos, mas não em outros, torna-se
possível supor que nesses outros casos ele seja falso.
O
grande mestre da arte do raciocínio formal, entre os homens do nosso
próprio dia, é um italiano, o professor Peano, da Universidade de
Turin.
Ele tem reduzido a maior parte da matemática (e, com tempo, ele ou
seus seguidores reduzirão o todo) a estrito simbolismo lógico, no
qual absolutamente não há palavras. Nos livros matemáticos
ordinários, sem dúvida, há menos palavras do que muitos leitores
desejariam. Ainda assim, pequenas frases ocorre, tais como portanto
(therefore),
assumamos
(let
us assume),
considere
(consider),
ou consequentemente
se segue
(hence
it follows).
Contudo, todas essas são eliminadas pelo professor Peano. Por
exemplo, se nós desejamos aprender o todo da aritmética, da
álgebra, o cálculo, e, de fato, tudo que é usualmente chamado de
matemática pura (exceto a geometria), nós temos de começar com um
dicionário de três palavras. Um símbolo representa o zero,
outro, o número,
e um terceiro, próximo
depois.
É necessário conhecer o que essas ideias significam se você deseja
se tornar um aritmético. Mas após símbolos terem sido inventados
para essas três ideias, nenhuma outra palavra é requerida no
inteiro desenvolvimento. Todos os símbolos futuros são explicados
simbolicamente através desses [79]três.
Mesmo esses três símbolos podem ser explicados através das noções
de relação
e classe;
mas isso requer a lógica das relações, à qual Peano nunca se
dedicou. Deve ser admitido que o que o matemático tem de conhecer
para começar não é muito. Há no máximo doze noções a partir
das quais todas as noções em matemática pura (incluindo a
geometria) são compostas. O professor Peano, quem é auxiliado por
uma escola muito hábil de jovens discípulos italianos, tem revelado
como isso pode ser feito; e embora o método que ele inventou seja
capaz de ser estendido muito mais do que ele o tem estendido, a honra
de pioneiro tem de pertencer a ele.
Há
duzentos anos, Leibniz previu a ciência que Peano aperfeiçoou, e
tentou criá-la. Ele foi impedido de ter sucesso por respeito à
autoridade de Aristóteles, a quem ele não pôde acreditar culpado
de falácias formais definidas; mas o assunto que ele desejou criar
agora existe, a despeito do desdém paternalista com o qual os
esquemas deles têm sido tratados por todas as pessoas superiores. A
partir dessa “característica universal,” como ele a chamava, ele
espera uma solução de todos os problemas e um fim para todas as
disputas. “Se controvérsias devessem surgir,” ele diz, “não
haveria maior necessidade de disputa entre dois filósofos do que
entre dois contadores. Pois seria suficiente tomarem suas canetas em
suas mãos, sentarem-se às suas mesas, e dizerem um para o outro
(com um amigo como testemunha, se eles desejassem), ‘Calculemos.’”
Esse otimismo agora parece ser um pouco excessivo; ainda há
problemas cuja solução é duvidosa, e disputas que o cálculo não
pode decidir. Mas sobre um campo enorme do que anteriormente era
controverso, o sonho de Leibniz tornou-se fato sóbrio. Na inteira
filosofia da matemática, a qual [80]costumava
ser tão cheia de dúvida quanto qualquer outra parte da filosofia,
ordem e certeza têm substituído a confusão e hesitação que
reinavam antigamente. É claro, os filósofos ainda não descobriram
esse fato, e continuam a escrever sobre tais assuntos da maneira
antiga. Mas os matemáticos, pelo menos na Itália, agora têm o
poder de tratar os princípios da matemática de uma maneira exata e
magistral, através da qual a certeza da matemática também se
estende à filosofia matemática. Consequentemente, muitos tópicos
que costumavam ser colocados entre os grandes mistérios – por
exemplo, a natureza do infinito, da continuidade, do espaço, tempo e
movimento – agora não estão mais, em qualquer grau, abertos à
dúvida ou discussão. Aqueles que desejam conhecer a natureza dessas
coisas apenas têm de ler os trabalhos de tais homens como Peano ou
Georg Cantor; ali eles encontrarão exposições exatas e
indubitáveis de todos esses mistérios antigos.
Neste
mundo caprichoso, nada é mais caprichoso do que a fama póstuma. Um
dos exemplos mais notáveis da falta de julgamento da posteridade é
o eleata Zenão. Esse homem, quem pode ser considerado como o
fundador da filosofia da infinidade, aparece no Parmenides
de Platão na posição privilegiada de instrutor de Sócrates. Ele
inventou quatro argumentos, todos imensuravelmente sutis e profundos,
para provar que o movimento é impossível, que Aquiles nunca pode
alcançar a tartaruga, e que uma flecha em voo está realmente em
repouso. Após ser refutado por Aristóteles, e por todo filósofo
subsequente, desde aquele dia até o nosso, esses argumentos foram
reformulados, e tornados a base de um renascimento matemático, por
um professor alemão, quem provavelmente nunca sonhou de nenhuma
conexão entre ele mesmo e Zenão. Weierstrass,
ao [81]banir
estritamente o uso dos infinitesimais da matemática, finalmente
mostrou que nós vivemos em um mundo imutável, e que a flecha em seu
voo está verdadeiramente em repouso. O único erro de Zenão está
em inferir (se ele inferiu) que, porque não há tal coisa como um
estado de mudança, portanto o mundo está no mesmo estado em
qualquer momento como em qualquer outro. Essa é uma consequência
que de maneira nenhuma se segue, e, nesse sentido, o matemático
alemão é mais construtivo do que o grego engenhoso. Weierstrass tem
sido capaz, ao corporificar suas visões em matemática, onde
familiaridade com a verdade elimina os prejuízos vulgares do senso
comum, de investir os paradoxos de Zenão com o ar respeitável de
banalidades; e se o resultado é menos agradável para o amante da
razão do que o desafio ousado de Zenão, de qualquer maneira, ele é
mais calculado para agradar a massa da humanidade acadêmica.
Zenão
estava interessado, como uma questão de fato, em três problemas,
cada um apresentado pelo movimento, mas cada um mais abstrato do que
o movimento, e capaz de um tratamento puramente aritmético. Esses
são os problemas do infinitesimal, do infinito e da continuidade.
Formular claramente as dificuldades envolvidas, foi alcançar talvez
a parte mais difícil da tarefa do filósofo. Isso foi feito por
Zenão. Desde ele até o nosso próprio dia, os melhores intelectos
de cada geração, um de cada vez, atacaram os problemas, mas
alcançaram, falando de modo amplo, nada. Contudo, em nossa própria
época, três homens – Weierstrass, Dedekind e Cantor – não
meramente progrediram os três problemas, mas resolveram-nos
completamente. As soluções, para aqueles familiarizados com a
matemática, são tão clara quanto a não mais deixarem a mais leve
dúvida ou dificuldade. Essa realização é provavelmente a maior da
qual a nossa época tem para se vangloriar; e eu não conheço
nenhuma época (exceto talvez a era [82]dourada
da Grécia) a qual tenha uma prova mais convincente para oferecer do
gênio transcendente dos seus grandes homens. Dos três problemas,
aquele do infinitesimal foi resolvido por Weierstrass; a solução
dos outros dois foi iniciada por Dedekind e definitivamente alcançada
por Cantor.
O
infinitesimal desempenhou antigamente um grande papel na matemática.
Ele foi introduzido pelos gregos, quem consideravam um círculo como
diferindo infinitesimalmente de um polígono com um número muito
grande de lados iguais muito pequenos. Isso gradualmente cresceu em
importância, até que, quando Leibniz inventou o cálculo
infinitesimal, ele pareceu tornar-se a noção fundamental de toda a
matemática superior. Carlyle diz, em seu Frederick
the Great,
como Leibniz costumava discursar para a rainha Sophia Charlotte da
Prússia relativo ao infinitamente pequeno, e como ela responderia
que, sobre esse assunto, ela não necessitava de nenhuma instrução
– o comportamento dos cortesões tinha
tornado-a
perfeitamente familiarizada com ela. Mas filósofos e matemáticos –
quem, pela maior parte, tinham menos familiaridade com cortes –
continuaram a discutir esse tópico, embora sem fazer nenhum
progresso. O cálculo requereu a continuidade, e a continuidade era
suposta requerer o infinitamente pequeno; mas ninguém poderia
descobrir o que o infinitamente pequeno poderia ser. Evidentemente,
ele não era exatamente zero, porque um número suficientemente
grande de infinitesimais, adicionados, eram visto formar um todo
finito. Mas ninguém conseguiu identificar nenhuma fração que não
fosse zero e ainda não finita. Dessa forma, havia um impasse. Mas,
finalmente Weierstrass descobriu que o infinitesimal não era
absolutamente necessário, e que tudo poderia ser realizado sem ele.
Dessa forma, não havia mais a necessidade de supor que havia uma tal
coisa. Portanto, hoje em dia, os matemáticos estão mais
dignificados do que Leibniz: em vez de falar sobre o infinitamente
pequeno, eles falam sobre o infinitamente grande – um assunto
[83]que,
por mais que apropriado a monarcas, infelizmente parece lhes
interessar ainda menos do que o infinitamente pequeno interessava aos
monarcas para quem Leibniz discursava.
O
banimento do infinitesimal tem todos os tipos de consequências
estranhas, com as quais alguém tem de se tornar gradualmente
acostumado. Por exemplo, não há tal coisa como o momento seguinte.
O intervalo entre um momento e o próximo teria de ser infinitesimal,
uma vez que, se você toma dois momentos com um intervalo finito
entre eles, sempre há outros momentos no intervalo. Dessa forma, se
não deve haver nenhum infinitesimal, nenhum par de momentos é
exatamente consecutivo, mas sempre há outros momentos entre
quaisquer dois. Consequentemente, tem de haver um número infinito de
momentos entre quaisquer dois; porque se houve um número finito, um
seria o mais perto do primeiro dos dois momentos e, portanto, próximo
a ele. Isso poderia ser considerado ser uma dificuldade; mas, como
uma questão de fato, é aqui que a filosofia do infinito entra e
deixa tudo certo.
O
mesmo tipo de coisa acontece no espaço. Se qualquer pedaço de
matéria for cortado em dois, e em seguida cada parte for cortada em
dois, e assim por diante, os pedaços tornar-se-ão menores e menores
e, teoricamente, podem ser tornados tão menores quanto nós
desejarmos. Por mais que pequenos eles possam ser, eles ainda podem
ser cortados e tornados ainda menores. Mas eles sempre terão algum
tamanho finito, por mais pequeno que ele possa ser. Nós nunca
alcançamos o infinitesimal dessa maneira, e nenhum número finito de
divisões levar-nos-á a pontos. Mesmo assim, há
pontos, apenas que esses não devem ser alcançados por divisões
sucessivas. Novamente aqui, a filosofia do infinito mostra-nos como
isso é possível, e porque pontos não são comprimentos
infinitesimais.
Com
respeito ao movimento e à mudança, nós obtemos resultados
similarmente curiosos. As pessoas costumavam pensar que quando uma
coisa muda, ela tem de estar em um estado de mudança, e que quando
uma coisa [84]se
move, ela está em um estado de movimento. Isso agora é conhecido
ser um erro. Quando um corpo se move, tudo que pode ser dito é que
ele está em um lugar em um momento e em outro lugar em outro. Nós
não temos de dizer que ele estará em um lugar vizinho no próximo
instante, uma vez que não há próximo instante. Filósofos
frequentemente falam que quando um corpo está em movimento, ele muda
a sua posição dentro do instante. A essa visão, Zenão há muito
tempo fez a réplica fatal de que cada corpo sempre está onde ele
está: mas uma réplica tão simples e breve não devia ser o tipo de
coisa à qual os filósofos estão acostumados a dar peso, e eles
continuaram até o nosso próprio dia a repetir as mesmas frases que
excitaram o destrutivo ardor eleata. Foi apenas recentemente que se
tornou possível explicar o movimento em detalhe de acordo com
franqueza de Zenão, e em oposição ao paradoxo do filósofo. Agora
nós podemos nos satisfazer na crença confortável de que um corpo
em movimento está tão verdadeiramente onde ele está quanto um
corpo em repouso. O movimento consiste meramente no fato de que os
corpos às vezes estão em um lugar e algumas vezes em outro, e que
eles estão em lugares intermediários em tempos intermediários.
Apenas aqueles quem têm patinhado através do atoleiro da
especulação filosófica sobre esse assunto podem compreender que
uma liberação dos prejuízos antigos está envolvida nesse
lugar-comum simples e direto.
A
filosofia do infinitesimal, como nós acabamos de ver, é
principalmente negativa. As pessoas costumavam pensar nele, e agora
elas descobriram o seu próprio erro. Por outro lado, a filosofia do
infinito é inteiramente positiva. Antigamente se supunha que números
infinitos, e o infinito matemático, de maneira geral, eram
autocontraditórios. Mas, como era óbvio que havia infinitos – por
exemplo, o número dos números – as contradições do infinito
pareciam inevitáveis, e a filosofia parecia [85]ter
errado para dentro de um “beco sem saída.” Essa dificuldade
conduziu às antinomias de Kant e, consequentemente, mais ou menos
indiretamente, a muito do método dialético de Hegel. Quase toda a
filosofia corrente está desconcertada pelo fato (do qual muitos
poucos filósofos ainda estão cientes) de que todas as contradições
antigas e veneráveis na noção do infinito foram descartadas de uma
vez por todas. O método pelo qual isso foi realizado é o mais
interessante e instrutivo. Em primeiro lugar, embora as pessoas
tenham falado fluentemente sobre infinidade desde os começos do
pensamento grego, ninguém alguma vez pensou em perguntar, O que é
infinidade? Se algum filósofo tivesse sido perguntado por uma
definição de infinidade, ele poderia ter produzido alguma besteira
ininteligível, mas, certamente, ele não teria sido capaz de dar uma
definição que tivesse absolutamente qualquer significado. Há vinte
anos, aproximadamente falando, Dedekind e Cantor fizeram essa
pergunta, e, o que é mais notável, eles responderam-na. Quer dizer,
eles descobriram uma definição perfeitamente precisa de número
infinito ou uma infinita coleção de coisas. Esse foi o primeiro e,
talvez, o maior passo. Então restou examinar as supostas
contradições nessa noção. Aqui Cantor prosseguiu da única
maneira apropriada. Ele pegou pares de proposições contraditórias,
nas quais ambos os lados da contradição seriam usualmente
considerados como demonstráveis, e ele examinou estritamente as
supostas provas. Ele descobriu que todas as provas contrárias à
infinidade envolviam um certo princípio, à primeira vista
obviamente verdadeiro, mas destrutivo, em suas consequências, de
quase toda a matemática. Por outro lado, as provas favoráveis à
infinidades não tinham consequências ruins. Dessa maneira, parecia
como se o senso comum tivesse permitido a si mesmo ser enganado por
uma máxima capciosa e que, uma vez que essa máxima fosse rejeitada,
tudo correu bem.
A
máxima em questão é que, se uma coleção é parte [86]de
outra, a primeira que é uma parte tem menos termos do que aquela da
qual ela é parte. Essa máxima é verdadeira de números finitos.
Por exemplo, ingleses são apenas alguns entre os europeus, e há
menos ingleses do que europeus. Mas quando se chega a números
infinitos, isso não é mais verdadeiro. Essa ruína da máxima
concede-nos a definição precisa de infinidade. Uma coleção de
termos é infinita quando ela contém como partes outras coleções
que têm exatamente tantos termos quanto ela tem. Se você pode
remover alguns dos termos de uma coleção, sem diminuir o número de
termos, então há um número infinito de termos na coleção. Por
exemplo, há exatamente tantos números pares quando há número de
modo geral, uma vez que cada número pode ser dobrado. Isso pode ser
visto colocando-se números ímpares e pares juntos em uma linha, e
apenas números pares em uma linha abaixo:-
1,
2, 3, 4, 5. ad
infinitum.
2,
4, 6, 8, 10. ad
infinitum.
Obviamente,
há exatamente tantos números na linha de baixo quanto na linha de
cima, porque há um abaixo para cada um acima. Essa propriedade, a
qual antigamente foi considerada ser uma contradição, está agora
transformada em uma definição inofensiva de infinidade, e mostra,
no caso acima, que o número de números finitos é infinito.
Mas
o não iniciado pode surpreender-se de como é possível lidar com um
número que não pode ser contado. É impossível contar todos
os números, um por um, porque,
por
mais que nós possamos contar muitos, sempre há mais a seguir. O
fato é que contagem é uma maneira muito vulgar e elementar de
descobrir quantos tempos há em uma coleção. E, em qualquer caso, a
contagem dá-nos o que os matemáticos chamam de o número ordinal
dos nossos termos; quer dizer, ela arranja os nossos termos em uma
ordem ou [87]série,
e o seu resultado conta-nos que tipo de série resulta a partir dessa
arranjo. Em outras palavras, é impossível contar coisas sem contar
algumas primeiro e outras depois, de maneira que a contagem tem a ver
com ordem. Agora, quando há apenas um número finito de termos, nós
podemos contá-los em qualquer ordem que nós quisermos; mas, quando
há um número infinito de termos, o que corresponde à contagem nos
dará resultados bastante diferentes de acordo com a maneira pela
qual nós levamos a operação a cabo. Dessa forma, o número
ordinal, o qual resulta a partir do que, em um sentido geral, pode
ser chamado de contagem, depende não apenas de quantos termos nós
temos, mas também (onde o número de termos é infinito) da maneira
pela qual os termos são arranjados.
Os
números fundamentais infinitos não são ordinais, mas são o que é
chamado de cardinal.
Eles não são obtidos colocando os nossos termos em ordem e
contando-os, mas através de um método diferente, o qual nos conta,
para começar, se duas coleções têm o mesmo número de termos, ou,
se não, qual é a maior.
Ele não nos diz, da maneira que a contagem diz, que número de
termos uma coleção tem; mas se nós definimos um número como o
número de termos em uma coleção tal e tal, então esse método nos
possibilita descobrir se alguma outra coleção que pode ser
mencionada tem mais ou menos termos. Uma ilustração revelará como
isso é feito. Se existisse algum país no qual, por uma razão ou
outra, fosse impossível realizar um censo, mas no qual fosse
conhecido que cada homem tinha uma esposa e cada mulher um marido,
então (com a condição que a poligamia não fosse uma instituição
nacional) nós deveríamos saber, sem contagem, que havia exatamente
tantos homens quanto havia mulheres nesse país, nem mais nem
[88]menos.
Esse método pode ser aplicado de maneira geral. Se há alguma
relação que, como o casamento, conecta as coisas em uma coleção
cada uma com das coisas em outra coleção, e vice-versa, então as
duas coleções têm exatamente o mesmo número de termos. Essa foi a
maneira pela qual nós descobrimos que há tantos números pares
quanto há números. Cada número pode ser duplicado, e cada número
para pode ser dividido por dois, e cada processo dá exatamente um
número correspondente àquele que é dobrado ou dividido por dois. E
dessa maneira nós podemos descobrir qualquer número de coleções,
cada uma das quais tem exatamente tantos termos quanto há números
finitos. Se cada termo de uma coleção pode ser conectado com um
número, e todos os números finitos são usados uma vez, e apenas
uma vez, no processo, então a nossa coleção tem de ter exatamente
tantos termos quanto há número finitos. Esse é o método geral
pelo qual os números coleções são definidos.
Mas
não se deve supor que todos os números infinitos sejam iguais. Pelo
contrário, há infinitamente mais números infinitos do que finitos.
Há mais maneiras de arranjar os números finitos em tipos diferentes
de séries do que há números finitos. Provavelmente há mais pontos
no espaço e mais momentos no tempo do que há números finitos. Há
exatamente tanto frações quanto números inteiros, embora haja um
número infinito de frações entre quaisquer dois números inteiros.
Mas há mais números irracionais do que há números inteiros ou
frações. Provavelmente há tantos pontos no espaço quanto há
números irracionais, e exatamente tantos pontos em um milionésimo
de uma polegada de comprimento quanto no todo do espaço infinito. Há
um maior de todos os números infinitos, o qual é o número de
coisas juntas, de cada classe e tipo. É óbvio que não pode haver
um número maior do que esse, porque, [89]se
tudo tem sido tomado, não há nada restando para acrescentar. Cantor
provou que não há o maior número, e se essa prova fosse válida,
as contradições do infinito reapareceriam em uma forma sublimada.
Mas nesse ponto, o mestre tem sido culpado de uma falácia muito
sútil, a qual eu espero explicar em algum trabalho futuro.
Nós
agora podemos entender porque Zenão acreditava que Aquiles não pode
ultrapassar a tartaruga, e porque, como uma questão de fato, ele não
pode ultrapassá-la. Nós deveremos ver que todas as pessoas que
discordaram de Zenão não tinham nenhum direito para o fazer, porque
todas elas aceitaram premissas a partir das quais a conclusão dele
se seguiu. O argumento é este: Que Aquiles e a tartaruga partam ao
longo de uma estrada ao mesmo tempo, a tartaruga (como apenas é
justo) sendo permitida uma desvantagem. Que Aquiles vá duas vezes
mais rápido do que a tartaruga, ou dez vezes, ou cem vezes mais
rápido. Então ele nunca alcançará a tartaruga. Pois, em cada
momento, a tartaruga está em algum lugar, e Aquiles está em algum
lugar; e nenhum nunca está duas vezes no mesmo lugar enquanto a
corrida está prosseguindo. Dessa maneira, a tartaruga vai para
exatamente tantos lugares quanto Aquiles vai, porque cada um está em
um lugar em um momento, e em outro lugar em outro momento. Mas se
Aquiles devesse alcançar a tartaruga, os lugares onde a tartaruga
teria estado seriam apenas parte dos lugares onde Aquiles teria
estado. Aqui, nós podemos supor, Zenão apelou para a máxima de que
o todo tem mais termos do que a parte.
Dessa maneira, se Aquiles devesse [90]alcançar
a tartaruga, ele teria estado em mais lugares que a tartaruga; mas
nós vimos que, em qualquer período, ele tem de estar exatamente em
tantos lugares quanto a tartaruga. Consequentemente, nós inferimos
que ele nunca pode alcançar a tartaruga. Esse argumento está
estritamente correto, se nós admitirmos o axioma de que o todo tem
mais termos do que a parte. Como a conclusão é absurda, o axioma
tem de ser rejeitado, e, então tudo segue bem. Mas não há boa
palavra a ser dita para os filósofos dos últimos dois mil anos e
mais, todos quem admitiram o axioma e negaram a conclusão.
A
retenção desse axioma leva a contradições absolutas, enquanto que
a sua rejeição leva apenas a estranhezas. Tem de ser confessado que
algumas dessas estranhezas são muito estranhas. Uma delas, a qual eu
chamo de paradoxo de Tristam Shandy, é o inverso do de Aquiles, e
mostra que uma tartaruga, se você der tempo a ela, irá exatamente
tão rápido quanto Aquiles. Como nós sabemos, Tristam Shandy
empregou dois anos na crônica dos dois primeiros dias da vida dele,
e lamentava que, nesse ritmo, o material acumular-se-ia mais rápido
do que ele poderia lidar, de modo que, conforme os anos passavam, ele
estaria mais e mais longe do fim da história dele. Agora, eu
sustento que, se ele tivesse vivido para sempre, e não tivesse se
cansado com a tarefa dele, então, mesmo se a vida dele tivesse
continuado tão eventualmente quanto ela começou, nenhuma parte da
biografia dele teria permanecido não escrita. Pois considere: o
centésimo dia será descrito no centésimo ano, o milésimo no
milésimo ano, e assim por diante. Qualquer dia que nós possamos
escolher, tão longe no que ele não pode ter esperança de o
alcançar, esse dia será descrito no ano correspondente. Dessa
maneira, qualquer dia que possa ser mencionado será escrito mais
cedo ou mais tarde, e, portanto, nenhuma parte da biografia dele
permanecerá permanentemente não escrita. Essa proposição
paradoxal, mas perfeitamente verdadeira, depende do fato [91]de
que o número de dias no todo do tempo não é maior do que o número
de anos.
Dessa
forma, sobre o assunto da infinidade, é impossível evitar
conclusões que, à primeira vista, parecem paradoxais, e essa é a
razão pela qual tantos filósofos têm suposto que havia
contradições inerentes no infinito. Mas um pouco de prática
capacita alguém a apreender os princípios verdadeiros da doutrina
de Cantor, e adquirir novos e melhores instintos quanto ao verdadeiro
e ao falso. Portanto, as estranhezas não se tornam mais estranhas do
que as pessoas nas antípodas, quem costumavam ser consideradas
impossíveis, porque elas considerariam tão inconveniente
erguerem-se sobre as cabeças delas.
A
solução dos problemas relativos à infinidade também possibilitou
a Cantor resolver os problemas da continuidade. Dessa, como da
infinidade, ele deu uma definição perfeitamente precisa, e mostrou
que não há contradições na noção assim definida. Mas esse
assunto é tão técnico que é impossível dar qualquer explicação
dele aqui.
A
noção de continuidade depende daquela de ordem,
uma vez que a continuidade é meramente um tipo particular de ordem.
Em tempos modernos a matemática trouxe a ordem à proeminência
maior e maior. Em dias antigos, era suposto (e filósofos ainda estão
inclinados a supor) que a quantidade era a noção fundamental da
matemática. Mas hoje dia a quantidade está inteiramente banida,
exceto de um pequeno canto da geometria, enquanto que a ordem reina
suprema mais e mais. A investigação dos diferentes tipos de séries
e suas relações é agora uma parte muito grande da matemática, e
tem sido considerado que essa investigação pode ser conduzida sem
nenhuma referência à quantidade, e, pela maior parte, sem nenhuma
referência ao número. Todos os tipos de séries são capazes de
definição formal, e as propriedades delas podem ser deduzidas a
partir dos princípios da lógica simbólica através da álgebra dos
relativos. [92]A
noção de limite, a qual é fundamental na maior parte da matemática
superior, costumava ser definida através da quantidade, como um
termo para o qual os termos de alguma série aproximavam-se tão por
pouco quanto nos agradasse. Mas hoje em dia o limite é definido
bastante diferentemente, e a série que ele limita não se aproxima
dele de qualquer maneira. Esse aperfeiçoamento também é devido a
Cantor, e é um que tem revolucionado a matemática. Agora apenas a
ordem é relevante para os limites. Por exemplo, dessa forma o menor
dos inteiros infinitos é o limite dos inteiros finitos, embora todos
os inteiros finitos estejam a uma distância infinita dele. O estudo
dos diferentes tipos de série é um assunto geral do qual o estudo
dos números ordinais (mencionado acima) é um ramo especial e muito
interessante. Mas as tecnicalidades inevitáveis desse assunto
tornam-no impossível para explicar a qualquer um exceto os
matemáticos declarados.
A
geometria, como a aritmética, têm sido subsumida, em tempos
recentes, sob o estudo geral da ordem. Era anteriormente suposto que
a geometria era o estudo da natureza do espaço no qual nós vivemos,
e, portanto, insistia-se, por aqueles que consideravam que o que
existe apenas pode ser conhecido empiricamente, que a geometria
deveria realmente ser considerada como pertencendo à matemática
aplicada. Mas gradualmente apareceu, através do crescimento dos
sistemas não euclidianos, que a geometria não lança mais luz sobre
a natureza do espaço do que a aritmética lança sobre a população
dos Estados Unidos. A geometria é uma inteira coleção de ciências
dedutivas baseadas em uma coleção correspondente de conjuntos de
axiomas. Um conjunto de axiomas é o de Euclides; outros conjuntos
igualmente bons de axiomas levam a outros resultados. Se os axiomas
de Euclides são verdadeiros é uma questão quanto à qual a
matemática pura é indiferente; e, o que é mais, ela é uma questão
que é teoricamente impossível para responder com certeza na
afirmativa. Possivelmente poderia [93]ser
revelado, através de mensurações cuidadosas, que os axiomas de
Euclides são falsos; mas nenhuma mensuração alguma vez poderia
assegurar-nos (devido aos erros de observação) que elas são
exatamente verdadeiras. Dessa maneira, o geômetra deixa ao homem de
ciência para decidir, como melhor ele puder, que axiomas são mais
quase verdadeiros no mundo atual. O geômetra toma qualquer conjunto
de axiomas que parecem interessantes e deduz suas consequências.
Nesse sentido, o que define a geometria é que os axiomas têm de dar
origem a uma série de mais de uma dimensão. E é dessa maneira que
a geometria se torna um departamento no estudo da ordem.
Na
geometria, como em outras partes da matemática, Peano e os seus
discípulos têm realizado trabalho do maior mérito com respeito aos
princípios. Anteriormente era considerado por filósofos e
matemáticos igualmente que as provas em geometria dependiam da
figura; hoje em dia, isso é conhecido ser falso. Nos melhores
livros, não há figuras de qualquer maneira. O raciocínio prossegue
através das regras estritas da lógica formal, a partir de um
conjunto de axiomas estabelecido com o qual começar. Se uma figura é
utilizada, todos os tipos de coisas parecem obviamente se seguir, o
que nenhum raciocínio formal pode provar a partir de axiomas
explícitos, e o que, como uma questão de fato, são aceitos apenas
porque são óbvios. Banindo-se a figura, torna-se possível
descobrir todos
os axiomas que são necessários; e, dessa maneira, todos os tipos de
possibilidades, as quais, de outra maneira, permaneceriam não
detectadas, são trazidas à luz.
Um
grande avanço, a partir do ponto de vista da correção, foi
realizado através da introdução de pontos conforme eles são
requeridos, e não começando, como era feito antigamente, pela
suposição da totalidade do espaço. Esse método é devido em parte
a Peano, em parte a outro italiano de nome Fano. Para aqueles
desacostumados com isso, ele tem um ar de um pedantismo um pouco
voluntarioso. Dessa maneira, nós começamos com os seguintes
[94]axiomas:
(1) Há uma classe de entidades chamadas de pontos.
(2) Há, pelo menos, um ponto. (3) Se a
for um ponto, há, pelo menos, outro ponto além de a.
Então nós introduzimos a linha reta juntando dois pontos, e
começamos novamente com (4), a saber, sobre a linha reta juntando a
e b,
há, pelo menos, outro ponto além de a
e b.
(5) Há, pelo menos, um ponto não na linha ab.
E assim nós prosseguimos, até que nós tenhamos os meios de obter
tantos pontos quando nós requeremos. Mas a palavra espaço,
como Peano humorosamente observa, é uma para a qual a geometria não
tem absolutamente nenhum uso.
Os
métodos rígidos empregados pelos geômetras modernos depuseram
Euclides do pináculo da correção. Até tempos recentes era
considerado que, como o sir Henry Savile observou em 1621, havia
apenas dois defeitos em Euclides, a teoria das paralelas e a teoria
da proporção. Agora é sabido que esses são quase os únicos
pontos no qual Euclides está livre de defeito. Erros sem conta estão
envolvidos nas primeiras oito proposições dele. Quer dizer, não
apenas é duvidoso se os axiomas dele são verdadeiros, o que é uma
questão comparativamente trivial, mas é certo que as suas
proposições não se seguem a partir dos axiomas que ele enuncia. Um
número vastamente maior de axiomas, os quais Euclides emprega
inconscientemente, é requerido para a prova das proposições dele.
Mesmo na primeira proposição de todas, onde ele constrói um
triângulo equilátero sobre uma base dada, ele usa dois círculos
que são assumidos interseccionarem. Mas nenhum axioma explícito
assegura-nos que eles o fazem, e em alguns tipos de espaços eles nem
sempre interseccionaram. É bastante duvidoso se o nosso espaço
pertence a um desses tipos ou não. Dessa maneira, Euclides falha
inteiramente em provar o ponto dele exatamente na primeira
proposição. Como ele certamente não é um autor fácil, e é
terrivelmente prolixo, ele não tem mais nenhum interesse exceto
histórico. Sob essas circunstâncias, não é nada menos do que um
[95]escândalo
que ele ainda deva ser ensinado a meninos na Inglaterra. Um livro
deveria ter ou inteligibilidade ou correção; combinar os dois é
impossível, mas carecer de ambos é ser indigno de um lugar tão
grande como Euclides tem ocupado na educação.
O
resultado mais notável dos métodos modernos na matemática está na
importância da lógica simbólica do formalismo rígido.
Matemáticos, sob a influência de Weierstrass, têm mostrado nos
tempos modernos um cuidado pela precisão, e uma aversão a
raciocínio desleixado, tal como não tem sido visto entre eles
anterioremente desde o tempo dos gregos. As grandes invenções do
século XVII – geometria analítica e cálculo infinitesimal –
foram tão frutíferas em novos resultados que os matemáticos não
tiveram nem tempo nem inclinação para examinar os fundamentos
delas. Os filósofos, quem deveriam ter assumido a tarefa, tinham
muito pouca habilidade matemática para inventarem os novos ramos da
matemática que agora têm sido considerados necessários. Dessa
maneira, os matemáticos apenas foram despertados do seus “sonos
dogmáticos” quando Weierstrass e seus seguidores mostraram que, em
geral, muitas das proposições mais queridas deles são falsas.
Macaulay, contratando a certeza da matemática com a incerteza da
filosofia, pergunta, quem alguma vez ouviu uma reação contra o
teorema de Taylor? Se ele tivesse vivido agora, ele mesmo poderia ter
ouvido uma semelhante reação, pois esse é precisamente um dos
teoremas que as investigações modernas derrubaram. Tais choques
rudes à fé matemática têm produzido aquele amor ao formalismo que
parece, para os que são ignorantes do seu motivo, ser mero
pedantismo revoltante.
[96]A
prova de que toda a matemática pura, incluindo a geometria, não é
nada senão lógica formal é um golpe fatal para a filosofia
kantiana. Kant, corretamente percebendo que as proposições de
Euclides não poderiam ser deduzidas a partir dos axiomas de Euclides
sem a ajuda das figuras, inventou uma teoria do conhecimento para
explicar esse fato; e explicou-o tão exitosamente que, quando o fato
é mostrado ser um mero defeito de Euclides, e não um resultado da
natureza do raciocínio geométrico, a teoria de Kant também tem de
ser abandonada. A inteira doutrina das intuições a
priori,
pela qual Kant explicava a possibilidade da matemática pura, é
inteiramente inaplicável à matemática em sua forma presente. As
doutrinas aristotélicas dos escolásticos chegam mais perto em
espírito das doutrinas que a matemática moderna inspira; mas os
escolásticos foram embaraçados pelo fato de que a lógica formal
deles era muito deficiente, e que a lógica filosófica baseada no
silogismo revelou uma estreiteza correspondente. O que agora é
requerido é dar o maior desenvolvimento possível à lógica
matemática, permitir a importância completa das relações, e
então, fundar sobre essa base segura, uma nova lógica filosófica,
a qual pode esperar tomar emprestado a exatidão e certeza da sua
fundação matemática. Se isso puder ser exitosamente alcançado, há
toda razão para ter esperança de que o futuro próximo será uma
época tão grande em filosofia pura quanto o passado imediato tem
sido nos princípios da matemática. Grandes triunfos inspiram
grandes esperanças; e o pensamento puro pode alcançar, dentro da
nossa geração, resultados tão grandes que posicionarão a nossa
época, nesse aspecto, em um nível com a maior época da Grécia.
Próximo ensaio
ORIGINAL:
RUSSELL,
B. Mathematics and the Metaphysicians. IN:______. Mysticism
and Logic and Other Essays.
London; Longmans, Green and Co. 1918. pp. 74-96. Disponível em:
<https://archive.org/details/mysticismlogicot00russuoft/page/74/mode/1up>
TRADUÇÃO:
EderNB
do Blog
Mathesis
Licença:
CC
BY-NC-SA 4.0
