Misticismo e Lógica e Outros Ensaios
Por Bertrand Russell
[74]V A Matemática e os Metafísicos
O século XIX, o qual se orgulha em consequência da invenção do vapor e da evolução, poderia ter derivado um título mais legítimo à fama a partir da descoberta da matemática pura. Essa ciência, como a maioria das outras, foi batizada muito antes que ela tivesse nascido; e dessa maneira nós encontramos escritores antes do século XIX aludindo ao que eles chamaram de matemática pura. Mas se tivesse sido perguntado a eles qual era esse assunto, eles apenas teriam sido capazes de dizer que ela consistia em aritmética, álgebra, geometria e assim por diante. Quanto ao que esses assuntos tinham em comum, e quanto ao que os distinguia da matemática aplicada, nossos ancestrais estavam completamente no escuro.
A matemática pura foi descoberta por Boole, em um trabalho que ele chamou de as Laws of Thought (1854). Essa obra abunda em afirmações de que não é matemática, o fato sendo que Boole foi modesto demais para supor o seu livro o primeiro alguma vez escrito sobre matemática. Ele também estava equivocado em supor que ele estava lidando com leis do pensamento: a questão de como as pessoas efetivamente pensam era bastante irrelevante para ele, e se o livro dele tivesse realmente contido as leis do pensamento, era curioso que ninguém nunca tenha pensado de uma maneira similar antes. De fato, o livro dele estava interessado em lógica formal, e isso é a mesma coisa que matemática.
[75]A matemática pura consiste inteiramente em afirmações para o efeito de que, se uma proposição tal e tal for verdadeira de qualquer coisa, então outra proposição tal e tal é verdadeira dessa coisa. É essencial não discutir se a primeira proposição é realmente verdadeira, e não mencionar o que a qualquer coisa é, a qual é suposta ser verdadeira. Ambos esses pontos pertenceriam à matemática aplicada. Na matemática pura nós partimos de certas regras de inferência, através das quais nós podemos inferir que, se uma proposição é verdadeira, então igualmente é alguma outra proposição. Essas regras de inferência constituem a maior parte dos princípios da lógica formal. Nós podemos tomar qualquer hipótese que parece divertida e deduzir as consequências dela. Se a nossa hipótese é sobre qualquer coisa, e não sobre uma ou mais coisas particulares, então as nossas deduções constituem a matemática. Dessa forma, a matemática pode ser definida como o assunto no qual nós nunca sabemos sobre o que nós estamos falando, nem se o que nós estamos dizendo é verdadeiro. Eu espero que as pessoas que tenham ficado intrigadas pelos começos da matemática encontrarão conforto nessa definição e provavelmente concordarão que ela é precisa.
Como um dos triunfos principais da matemática moderna consiste em ter descoberto o que realmente é a matemática, mais umas poucas palavras sobre esse assunto podem não ser um erro. É comum começar qualquer ramo da matemática – por exemplo, a geometria – com um certo número de ideias primitivas, supostas incapazes de definição, e um certo número de proposições primitivas ou axiomas, supostas incapazes de prova. Agora, o fato é que, embora haja indefiníveis e indemonstráveis em cada ramo da matemática aplicada, não há nenhum na matemática pura, exceto tais como pertencentes à lógica geral. Falando de maneira geral, a lógica é distinguida pelo fato de que as suas proposições podem ser colocadas em uma forma na qual elas se aplicam a qualquer coisa que seja. Toda matemática pura – aritmética, análise [76]e geometria – é construída por combinações das ideias primitivas da lógica, e suas proposições são deduzidas a partir dos axiomas gerais da lógica, tais como o silogismo e as outras regras de inferência. E isso não mais é um sonho ou uma aspiração. Pelo contrário, através da parte maior e mais difícil do domínio da matemática, ele já tem sido alcançado: nós poucos casos restantes, não há dificuldade especial, e agora está sendo rapidamente alcançado. Filósofos têm discutido por eras se semelhante dedução era possível; matemáticos têm sentado e realizado a dedução. Para os filósofos não há nada restante, exceto reconhecimentos graciosos.
O assunto da lógica formal, o qual, dessa maneira, mostrou-se ser idêntico ao da matemática, foi, como qualquer um sabe, inventado por Aristóteles, e formou o estudo principal (outro além da teologia) da Idade Média. Mas Aristóteles nunca foi além do silogismo, o qual é uma parte muito pequena do assunto, e os escolásticos nunca foram além de Aristóteles. Se qualquer prova fosse requerida da nossa superioridade em relação aos doutores medievais, ela poderia ser encontrada nisso. Por toda a idade média, quase todos os melhores intelectos dedicaram-se à lógica formal, ao passo que no século XIX apenas uma proporção infinitesimal do pensamento do mundo entrava nesse asunto. Mesmo assim, em cada década desde 1850 mais tem sido feito para avançar esse assunto do que no inteiro período de Aristóteles a Leibniz. As pessoas descobriram como tornar o raciocínio simbólico, como é na álgebra, de maneira que deduções são efetuadas por regras matemáticas, e um novo ramo da lógica, chamado de lógica dos relativos,1 foi inventado para lidar com tópicos que tinham superado inteiramente os poderes da [77]antiga lógica, embora eles formem os conteúdos principais da matemática.
Não é fácil para a mente leiga compreender a importância de simbolismo na discussão dos fundamentos da matemática, e a explicação talvez possa parecer estranhamente paradoxal. O fato é que o simbolismo é útil porque ele torna as coisas difíceis. (Isso não é verdadeiro das partes avançadas da matemática, mas apenas dos começos). O que nós desejamos conhecer é o quê pode ser deduzido do quê. Agora, nos começos, tudo é autoevidente; e é muito difícil ver se uma proposição autoevidente segue-se ou não a partir de outra. A obviedade é sempre a inimigo da correção. Consequentemente, nós inventamos um pouco de simbolismo novo e difícil, no qual nada parece óbvio. Em seguida, nós estabelecemos certas regras para a operação sobre os símbolos, e a coisa toda se torna mecânica. Dessa maneira, nós descobrimos o quê tem de ser tomado como premissa e o quê pode ser demonstrado ou definido. Por exemplo, o todo da aritmética e álgebra tem sido mostrado requerer três noções indefiníveis e cinco proposições indemonstráveis. Mas sem um simbolismo teria sido muito difícil descobrir isso. É tão óbvio que dois e dois são quatro, que dificilmente nós podemos tornar nós mesmos suficientemente céticos para duvidar de se isso pode ser provado. E o mesmo vale em outros casos onde coisas autoevidentes devem ser provadas.
Mas, para o não iniciado, a prova de proposições autoevidentes pode parecer uma ocupação um pouco frívola. A isso nós poderíamos responder que frequentemente não é autoevidente de maneira nenhuma que uma proposição óbvia siga-se a partir de outra proposição óbvia; de modo que nós estamos realmente descobrindo novas verdades quando nós provamos o quê é evidente por um método que não é evidente. Mas uma resposta mais interessante é que, uma vez que as pessoas têm tentado provar proposições óbvias, elas têm descoberto que muitas delas são falsas. A [78]autoevidência é frequentemente um mero fogo-fátuo, o qual é certo de nos conduzir a erro se nós o aceitarmos como o nosso guia. Por exemplo, nada é mais evidente do que um todo sempre ter mais termos do que uma parte, ou que um número é aumentado pela adição de um a ele. Mas agora essas proposições são reconhecidas serem usualmente falsas. A maior parte dos números são infinitos, e se um número é infinito você pode adicionar uns a ele enquanto você desejar, sem o perturbar no mínimo. Um dos méritos de uma prova é que ela instila uma certa dúvida quanto ao resultado provado; e quando o que é óbvio pode ser provado em alguns casos, mas não em outros, torna-se possível supor que nesses outros casos ele seja falso.
O grande mestre da arte do raciocínio formal, entre os homens do nosso próprio dia, é um italiano, o professor Peano, da Universidade de Turin.2 Ele tem reduzido a maior parte da matemática (e, com tempo, ele ou seus seguidores reduzirão o todo) a estrito simbolismo lógico, no qual absolutamente não há palavras. Nos livros matemáticos ordinários, sem dúvida, há menos palavras do que muitos leitores desejariam. Ainda assim, pequenas frases ocorre, tais como portanto (therefore), assumamos (let us assume), considere (consider), ou consequentemente se segue (hence it follows). Contudo, todas essas são eliminadas pelo professor Peano. Por exemplo, se nós desejamos aprender o todo da aritmética, da álgebra, o cálculo, e, de fato, tudo que é usualmente chamado de matemática pura (exceto a geometria), nós temos de começar com um dicionário de três palavras. Um símbolo representa o zero, outro, o número, e um terceiro, próximo depois. É necessário conhecer o que essas ideias significam se você deseja se tornar um aritmético. Mas após símbolos terem sido inventados para essas três ideias, nenhuma outra palavra é requerida no inteiro desenvolvimento. Todos os símbolos futuros são explicados simbolicamente através desses [79]três. Mesmo esses três símbolos podem ser explicados através das noções de relação e classe; mas isso requer a lógica das relações, à qual Peano nunca se dedicou. Deve ser admitido que o que o matemático tem de conhecer para começar não é muito. Há no máximo doze noções a partir das quais todas as noções em matemática pura (incluindo a geometria) são compostas. O professor Peano, quem é auxiliado por uma escola muito hábil de jovens discípulos italianos, tem revelado como isso pode ser feito; e embora o método que ele inventou seja capaz de ser estendido muito mais do que ele o tem estendido, a honra de pioneiro tem de pertencer a ele.
Há duzentos anos, Leibniz previu a ciência que Peano aperfeiçoou, e tentou criá-la. Ele foi impedido de ter sucesso por respeito à autoridade de Aristóteles, a quem ele não pôde acreditar culpado de falácias formais definidas; mas o assunto que ele desejou criar agora existe, a despeito do desdém paternalista com o qual os esquemas deles têm sido tratados por todas as pessoas superiores. A partir dessa “característica universal,” como ele a chamava, ele espera uma solução de todos os problemas e um fim para todas as disputas. “Se controvérsias devessem surgir,” ele diz, “não haveria maior necessidade de disputa entre dois filósofos do que entre dois contadores. Pois seria suficiente tomarem suas canetas em suas mãos, sentarem-se às suas mesas, e dizerem um para o outro (com um amigo como testemunha, se eles desejassem), ‘Calculemos.’” Esse otimismo agora parece ser um pouco excessivo; ainda há problemas cuja solução é duvidosa, e disputas que o cálculo não pode decidir. Mas sobre um campo enorme do que anteriormente era controverso, o sonho de Leibniz tornou-se fato sóbrio. Na inteira filosofia da matemática, a qual [80]costumava ser tão cheia de dúvida quanto qualquer outra parte da filosofia, ordem e certeza têm substituído a confusão e hesitação que reinavam antigamente. É claro, os filósofos ainda não descobriram esse fato, e continuam a escrever sobre tais assuntos da maneira antiga. Mas os matemáticos, pelo menos na Itália, agora têm o poder de tratar os princípios da matemática de uma maneira exata e magistral, através da qual a certeza da matemática também se estende à filosofia matemática. Consequentemente, muitos tópicos que costumavam ser colocados entre os grandes mistérios – por exemplo, a natureza do infinito, da continuidade, do espaço, tempo e movimento – agora não estão mais, em qualquer grau, abertos à dúvida ou discussão. Aqueles que desejam conhecer a natureza dessas coisas apenas têm de ler os trabalhos de tais homens como Peano ou Georg Cantor; ali eles encontrarão exposições exatas e indubitáveis de todos esses mistérios antigos.
Neste mundo caprichoso, nada é mais caprichoso do que a fama póstuma. Um dos exemplos mais notáveis da falta de julgamento da posteridade é o eleata Zenão. Esse homem, quem pode ser considerado como o fundador da filosofia da infinidade, aparece no Parmenides de Platão na posição privilegiada de instrutor de Sócrates. Ele inventou quatro argumentos, todos imensuravelmente sutis e profundos, para provar que o movimento é impossível, que Aquiles nunca pode alcançar a tartaruga, e que uma flecha em voo está realmente em repouso. Após ser refutado por Aristóteles, e por todo filósofo subsequente, desde aquele dia até o nosso, esses argumentos foram reformulados, e tornados a base de um renascimento matemático, por um professor alemão, quem provavelmente nunca sonhou de nenhuma conexão entre ele mesmo e Zenão. Weierstrass,3 ao [81]banir estritamente o uso dos infinitesimais da matemática, finalmente mostrou que nós vivemos em um mundo imutável, e que a flecha em seu voo está verdadeiramente em repouso. O único erro de Zenão está em inferir (se ele inferiu) que, porque não há tal coisa como um estado de mudança, portanto o mundo está no mesmo estado em qualquer momento como em qualquer outro. Essa é uma consequência que de maneira nenhuma se segue, e, nesse sentido, o matemático alemão é mais construtivo do que o grego engenhoso. Weierstrass tem sido capaz, ao corporificar suas visões em matemática, onde familiaridade com a verdade elimina os prejuízos vulgares do senso comum, de investir os paradoxos de Zenão com o ar respeitável de banalidades; e se o resultado é menos agradável para o amante da razão do que o desafio ousado de Zenão, de qualquer maneira, ele é mais calculado para agradar a massa da humanidade acadêmica.
Zenão estava interessado, como uma questão de fato, em três problemas, cada um apresentado pelo movimento, mas cada um mais abstrato do que o movimento, e capaz de um tratamento puramente aritmético. Esses são os problemas do infinitesimal, do infinito e da continuidade. Formular claramente as dificuldades envolvidas, foi alcançar talvez a parte mais difícil da tarefa do filósofo. Isso foi feito por Zenão. Desde ele até o nosso próprio dia, os melhores intelectos de cada geração, um de cada vez, atacaram os problemas, mas alcançaram, falando de modo amplo, nada. Contudo, em nossa própria época, três homens – Weierstrass, Dedekind e Cantor – não meramente progrediram os três problemas, mas resolveram-nos completamente. As soluções, para aqueles familiarizados com a matemática, são tão clara quanto a não mais deixarem a mais leve dúvida ou dificuldade. Essa realização é provavelmente a maior da qual a nossa época tem para se vangloriar; e eu não conheço nenhuma época (exceto talvez a era [82]dourada da Grécia) a qual tenha uma prova mais convincente para oferecer do gênio transcendente dos seus grandes homens. Dos três problemas, aquele do infinitesimal foi resolvido por Weierstrass; a solução dos outros dois foi iniciada por Dedekind e definitivamente alcançada por Cantor.
O infinitesimal desempenhou antigamente um grande papel na matemática. Ele foi introduzido pelos gregos, quem consideravam um círculo como diferindo infinitesimalmente de um polígono com um número muito grande de lados iguais muito pequenos. Isso gradualmente cresceu em importância, até que, quando Leibniz inventou o cálculo infinitesimal, ele pareceu tornar-se a noção fundamental de toda a matemática superior. Carlyle diz, em seu Frederick the Great, como Leibniz costumava discursar para a rainha Sophia Charlotte da Prússia relativo ao infinitamente pequeno, e como ela responderia que, sobre esse assunto, ela não necessitava de nenhuma instrução – o comportamento dos cortesões tinha tornado-a perfeitamente familiarizada com ela. Mas filósofos e matemáticos – quem, pela maior parte, tinham menos familiaridade com cortes – continuaram a discutir esse tópico, embora sem fazer nenhum progresso. O cálculo requereu a continuidade, e a continuidade era suposta requerer o infinitamente pequeno; mas ninguém poderia descobrir o que o infinitamente pequeno poderia ser. Evidentemente, ele não era exatamente zero, porque um número suficientemente grande de infinitesimais, adicionados, eram visto formar um todo finito. Mas ninguém conseguiu identificar nenhuma fração que não fosse zero e ainda não finita. Dessa forma, havia um impasse. Mas, finalmente Weierstrass descobriu que o infinitesimal não era absolutamente necessário, e que tudo poderia ser realizado sem ele. Dessa forma, não havia mais a necessidade de supor que havia uma tal coisa. Portanto, hoje em dia, os matemáticos estão mais dignificados do que Leibniz: em vez de falar sobre o infinitamente pequeno, eles falam sobre o infinitamente grande – um assunto [83]que, por mais que apropriado a monarcas, infelizmente parece lhes interessar ainda menos do que o infinitamente pequeno interessava aos monarcas para quem Leibniz discursava.
O banimento do infinitesimal tem todos os tipos de consequências estranhas, com as quais alguém tem de se tornar gradualmente acostumado. Por exemplo, não há tal coisa como o momento seguinte. O intervalo entre um momento e o próximo teria de ser infinitesimal, uma vez que, se você toma dois momentos com um intervalo finito entre eles, sempre há outros momentos no intervalo. Dessa forma, se não deve haver nenhum infinitesimal, nenhum par de momentos é exatamente consecutivo, mas sempre há outros momentos entre quaisquer dois. Consequentemente, tem de haver um número infinito de momentos entre quaisquer dois; porque se houve um número finito, um seria o mais perto do primeiro dos dois momentos e, portanto, próximo a ele. Isso poderia ser considerado ser uma dificuldade; mas, como uma questão de fato, é aqui que a filosofia do infinito entra e deixa tudo certo.
O mesmo tipo de coisa acontece no espaço. Se qualquer pedaço de matéria for cortado em dois, e em seguida cada parte for cortada em dois, e assim por diante, os pedaços tornar-se-ão menores e menores e, teoricamente, podem ser tornados tão menores quanto nós desejarmos. Por mais que pequenos eles possam ser, eles ainda podem ser cortados e tornados ainda menores. Mas eles sempre terão algum tamanho finito, por mais pequeno que ele possa ser. Nós nunca alcançamos o infinitesimal dessa maneira, e nenhum número finito de divisões levar-nos-á a pontos. Mesmo assim, há pontos, apenas que esses não devem ser alcançados por divisões sucessivas. Novamente aqui, a filosofia do infinito mostra-nos como isso é possível, e porque pontos não são comprimentos infinitesimais.
Com respeito ao movimento e à mudança, nós obtemos resultados similarmente curiosos. As pessoas costumavam pensar que quando uma coisa muda, ela tem de estar em um estado de mudança, e que quando uma coisa [84]se move, ela está em um estado de movimento. Isso agora é conhecido ser um erro. Quando um corpo se move, tudo que pode ser dito é que ele está em um lugar em um momento e em outro lugar em outro. Nós não temos de dizer que ele estará em um lugar vizinho no próximo instante, uma vez que não há próximo instante. Filósofos frequentemente falam que quando um corpo está em movimento, ele muda a sua posição dentro do instante. A essa visão, Zenão há muito tempo fez a réplica fatal de que cada corpo sempre está onde ele está: mas uma réplica tão simples e breve não devia ser o tipo de coisa à qual os filósofos estão acostumados a dar peso, e eles continuaram até o nosso próprio dia a repetir as mesmas frases que excitaram o destrutivo ardor eleata. Foi apenas recentemente que se tornou possível explicar o movimento em detalhe de acordo com franqueza de Zenão, e em oposição ao paradoxo do filósofo. Agora nós podemos nos satisfazer na crença confortável de que um corpo em movimento está tão verdadeiramente onde ele está quanto um corpo em repouso. O movimento consiste meramente no fato de que os corpos às vezes estão em um lugar e algumas vezes em outro, e que eles estão em lugares intermediários em tempos intermediários. Apenas aqueles quem têm patinhado através do atoleiro da especulação filosófica sobre esse assunto podem compreender que uma liberação dos prejuízos antigos está envolvida nesse lugar-comum simples e direto.
A filosofia do infinitesimal, como nós acabamos de ver, é principalmente negativa. As pessoas costumavam pensar nele, e agora elas descobriram o seu próprio erro. Por outro lado, a filosofia do infinito é inteiramente positiva. Antigamente se supunha que números infinitos, e o infinito matemático, de maneira geral, eram autocontraditórios. Mas, como era óbvio que havia infinitos – por exemplo, o número dos números – as contradições do infinito pareciam inevitáveis, e a filosofia parecia [85]ter errado para dentro de um “beco sem saída.” Essa dificuldade conduziu às antinomias de Kant e, consequentemente, mais ou menos indiretamente, a muito do método dialético de Hegel. Quase toda a filosofia corrente está desconcertada pelo fato (do qual muitos poucos filósofos ainda estão cientes) de que todas as contradições antigas e veneráveis na noção do infinito foram descartadas de uma vez por todas. O método pelo qual isso foi realizado é o mais interessante e instrutivo. Em primeiro lugar, embora as pessoas tenham falado fluentemente sobre infinidade desde os começos do pensamento grego, ninguém alguma vez pensou em perguntar, O que é infinidade? Se algum filósofo tivesse sido perguntado por uma definição de infinidade, ele poderia ter produzido alguma besteira ininteligível, mas, certamente, ele não teria sido capaz de dar uma definição que tivesse absolutamente qualquer significado. Há vinte anos, aproximadamente falando, Dedekind e Cantor fizeram essa pergunta, e, o que é mais notável, eles responderam-na. Quer dizer, eles descobriram uma definição perfeitamente precisa de número infinito ou uma infinita coleção de coisas. Esse foi o primeiro e, talvez, o maior passo. Então restou examinar as supostas contradições nessa noção. Aqui Cantor prosseguiu da única maneira apropriada. Ele pegou pares de proposições contraditórias, nas quais ambos os lados da contradição seriam usualmente considerados como demonstráveis, e ele examinou estritamente as supostas provas. Ele descobriu que todas as provas contrárias à infinidade envolviam um certo princípio, à primeira vista obviamente verdadeiro, mas destrutivo, em suas consequências, de quase toda a matemática. Por outro lado, as provas favoráveis à infinidades não tinham consequências ruins. Dessa maneira, parecia como se o senso comum tivesse permitido a si mesmo ser enganado por uma máxima capciosa e que, uma vez que essa máxima fosse rejeitada, tudo correu bem.
A máxima em questão é que, se uma coleção é parte [86]de outra, a primeira que é uma parte tem menos termos do que aquela da qual ela é parte. Essa máxima é verdadeira de números finitos. Por exemplo, ingleses são apenas alguns entre os europeus, e há menos ingleses do que europeus. Mas quando se chega a números infinitos, isso não é mais verdadeiro. Essa ruína da máxima concede-nos a definição precisa de infinidade. Uma coleção de termos é infinita quando ela contém como partes outras coleções que têm exatamente tantos termos quanto ela tem. Se você pode remover alguns dos termos de uma coleção, sem diminuir o número de termos, então há um número infinito de termos na coleção. Por exemplo, há exatamente tantos números pares quando há número de modo geral, uma vez que cada número pode ser dobrado. Isso pode ser visto colocando-se números ímpares e pares juntos em uma linha, e apenas números pares em uma linha abaixo:-
1, 2, 3, 4, 5. ad infinitum.
2, 4, 6, 8, 10. ad infinitum.
Obviamente, há exatamente tantos números na linha de baixo quanto na linha de cima, porque há um abaixo para cada um acima. Essa propriedade, a qual antigamente foi considerada ser uma contradição, está agora transformada em uma definição inofensiva de infinidade, e mostra, no caso acima, que o número de números finitos é infinito.
Mas o não iniciado pode surpreender-se de como é possível lidar com um número que não pode ser contado. É impossível contar todos os números, um por um, porque, por mais que nós possamos contar muitos, sempre há mais a seguir. O fato é que contagem é uma maneira muito vulgar e elementar de descobrir quantos tempos há em uma coleção. E, em qualquer caso, a contagem dá-nos o que os matemáticos chamam de o número ordinal dos nossos termos; quer dizer, ela arranja os nossos termos em uma ordem ou [87]série, e o seu resultado conta-nos que tipo de série resulta a partir dessa arranjo. Em outras palavras, é impossível contar coisas sem contar algumas primeiro e outras depois, de maneira que a contagem tem a ver com ordem. Agora, quando há apenas um número finito de termos, nós podemos contá-los em qualquer ordem que nós quisermos; mas, quando há um número infinito de termos, o que corresponde à contagem nos dará resultados bastante diferentes de acordo com a maneira pela qual nós levamos a operação a cabo. Dessa forma, o número ordinal, o qual resulta a partir do que, em um sentido geral, pode ser chamado de contagem, depende não apenas de quantos termos nós temos, mas também (onde o número de termos é infinito) da maneira pela qual os termos são arranjados.
Os números fundamentais infinitos não são ordinais, mas são o que é chamado de cardinal. Eles não são obtidos colocando os nossos termos em ordem e contando-os, mas através de um método diferente, o qual nos conta, para começar, se duas coleções têm o mesmo número de termos, ou, se não, qual é a maior.4 Ele não nos diz, da maneira que a contagem diz, que número de termos uma coleção tem; mas se nós definimos um número como o número de termos em uma coleção tal e tal, então esse método nos possibilita descobrir se alguma outra coleção que pode ser mencionada tem mais ou menos termos. Uma ilustração revelará como isso é feito. Se existisse algum país no qual, por uma razão ou outra, fosse impossível realizar um censo, mas no qual fosse conhecido que cada homem tinha uma esposa e cada mulher um marido, então (com a condição que a poligamia não fosse uma instituição nacional) nós deveríamos saber, sem contagem, que havia exatamente tantos homens quanto havia mulheres nesse país, nem mais nem [88]menos. Esse método pode ser aplicado de maneira geral. Se há alguma relação que, como o casamento, conecta as coisas em uma coleção cada uma com das coisas em outra coleção, e vice-versa, então as duas coleções têm exatamente o mesmo número de termos. Essa foi a maneira pela qual nós descobrimos que há tantos números pares quanto há números. Cada número pode ser duplicado, e cada número para pode ser dividido por dois, e cada processo dá exatamente um número correspondente àquele que é dobrado ou dividido por dois. E dessa maneira nós podemos descobrir qualquer número de coleções, cada uma das quais tem exatamente tantos termos quanto há números finitos. Se cada termo de uma coleção pode ser conectado com um número, e todos os números finitos são usados uma vez, e apenas uma vez, no processo, então a nossa coleção tem de ter exatamente tantos termos quanto há número finitos. Esse é o método geral pelo qual os números coleções são definidos.
Mas não se deve supor que todos os números infinitos sejam iguais. Pelo contrário, há infinitamente mais números infinitos do que finitos. Há mais maneiras de arranjar os números finitos em tipos diferentes de séries do que há números finitos. Provavelmente há mais pontos no espaço e mais momentos no tempo do que há números finitos. Há exatamente tanto frações quanto números inteiros, embora haja um número infinito de frações entre quaisquer dois números inteiros. Mas há mais números irracionais do que há números inteiros ou frações. Provavelmente há tantos pontos no espaço quanto há números irracionais, e exatamente tantos pontos em um milionésimo de uma polegada de comprimento quanto no todo do espaço infinito. Há um maior de todos os números infinitos, o qual é o número de coisas juntas, de cada classe e tipo. É óbvio que não pode haver um número maior do que esse, porque, [89]se tudo tem sido tomado, não há nada restando para acrescentar. Cantor provou que não há o maior número, e se essa prova fosse válida, as contradições do infinito reapareceriam em uma forma sublimada. Mas nesse ponto, o mestre tem sido culpado de uma falácia muito sútil, a qual eu espero explicar em algum trabalho futuro.5
Nós agora podemos entender porque Zenão acreditava que Aquiles não pode ultrapassar a tartaruga, e porque, como uma questão de fato, ele não pode ultrapassá-la. Nós deveremos ver que todas as pessoas que discordaram de Zenão não tinham nenhum direito para o fazer, porque todas elas aceitaram premissas a partir das quais a conclusão dele se seguiu. O argumento é este: Que Aquiles e a tartaruga partam ao longo de uma estrada ao mesmo tempo, a tartaruga (como apenas é justo) sendo permitida uma desvantagem. Que Aquiles vá duas vezes mais rápido do que a tartaruga, ou dez vezes, ou cem vezes mais rápido. Então ele nunca alcançará a tartaruga. Pois, em cada momento, a tartaruga está em algum lugar, e Aquiles está em algum lugar; e nenhum nunca está duas vezes no mesmo lugar enquanto a corrida está prosseguindo. Dessa maneira, a tartaruga vai para exatamente tantos lugares quanto Aquiles vai, porque cada um está em um lugar em um momento, e em outro lugar em outro momento. Mas se Aquiles devesse alcançar a tartaruga, os lugares onde a tartaruga teria estado seriam apenas parte dos lugares onde Aquiles teria estado. Aqui, nós podemos supor, Zenão apelou para a máxima de que o todo tem mais termos do que a parte.6 Dessa maneira, se Aquiles devesse [90]alcançar a tartaruga, ele teria estado em mais lugares que a tartaruga; mas nós vimos que, em qualquer período, ele tem de estar exatamente em tantos lugares quanto a tartaruga. Consequentemente, nós inferimos que ele nunca pode alcançar a tartaruga. Esse argumento está estritamente correto, se nós admitirmos o axioma de que o todo tem mais termos do que a parte. Como a conclusão é absurda, o axioma tem de ser rejeitado, e, então tudo segue bem. Mas não há boa palavra a ser dita para os filósofos dos últimos dois mil anos e mais, todos quem admitiram o axioma e negaram a conclusão.
A retenção desse axioma leva a contradições absolutas, enquanto que a sua rejeição leva apenas a estranhezas. Tem de ser confessado que algumas dessas estranhezas são muito estranhas. Uma delas, a qual eu chamo de paradoxo de Tristam Shandy, é o inverso do de Aquiles, e mostra que uma tartaruga, se você der tempo a ela, irá exatamente tão rápido quanto Aquiles. Como nós sabemos, Tristam Shandy empregou dois anos na crônica dos dois primeiros dias da vida dele, e lamentava que, nesse ritmo, o material acumular-se-ia mais rápido do que ele poderia lidar, de modo que, conforme os anos passavam, ele estaria mais e mais longe do fim da história dele. Agora, eu sustento que, se ele tivesse vivido para sempre, e não tivesse se cansado com a tarefa dele, então, mesmo se a vida dele tivesse continuado tão eventualmente quanto ela começou, nenhuma parte da biografia dele teria permanecido não escrita. Pois considere: o centésimo dia será descrito no centésimo ano, o milésimo no milésimo ano, e assim por diante. Qualquer dia que nós possamos escolher, tão longe no que ele não pode ter esperança de o alcançar, esse dia será descrito no ano correspondente. Dessa maneira, qualquer dia que possa ser mencionado será escrito mais cedo ou mais tarde, e, portanto, nenhuma parte da biografia dele permanecerá permanentemente não escrita. Essa proposição paradoxal, mas perfeitamente verdadeira, depende do fato [91]de que o número de dias no todo do tempo não é maior do que o número de anos.
Dessa forma, sobre o assunto da infinidade, é impossível evitar conclusões que, à primeira vista, parecem paradoxais, e essa é a razão pela qual tantos filósofos têm suposto que havia contradições inerentes no infinito. Mas um pouco de prática capacita alguém a apreender os princípios verdadeiros da doutrina de Cantor, e adquirir novos e melhores instintos quanto ao verdadeiro e ao falso. Portanto, as estranhezas não se tornam mais estranhas do que as pessoas nas antípodas, quem costumavam ser consideradas impossíveis, porque elas considerariam tão inconveniente erguerem-se sobre as cabeças delas.
A solução dos problemas relativos à infinidade também possibilitou a Cantor resolver os problemas da continuidade. Dessa, como da infinidade, ele deu uma definição perfeitamente precisa, e mostrou que não há contradições na noção assim definida. Mas esse assunto é tão técnico que é impossível dar qualquer explicação dele aqui.
A noção de continuidade depende daquela de ordem, uma vez que a continuidade é meramente um tipo particular de ordem. Em tempos modernos a matemática trouxe a ordem à proeminência maior e maior. Em dias antigos, era suposto (e filósofos ainda estão inclinados a supor) que a quantidade era a noção fundamental da matemática. Mas hoje dia a quantidade está inteiramente banida, exceto de um pequeno canto da geometria, enquanto que a ordem reina suprema mais e mais. A investigação dos diferentes tipos de séries e suas relações é agora uma parte muito grande da matemática, e tem sido considerado que essa investigação pode ser conduzida sem nenhuma referência à quantidade, e, pela maior parte, sem nenhuma referência ao número. Todos os tipos de séries são capazes de definição formal, e as propriedades delas podem ser deduzidas a partir dos princípios da lógica simbólica através da álgebra dos relativos. [92]A noção de limite, a qual é fundamental na maior parte da matemática superior, costumava ser definida através da quantidade, como um termo para o qual os termos de alguma série aproximavam-se tão por pouco quanto nos agradasse. Mas hoje em dia o limite é definido bastante diferentemente, e a série que ele limita não se aproxima dele de qualquer maneira. Esse aperfeiçoamento também é devido a Cantor, e é um que tem revolucionado a matemática. Agora apenas a ordem é relevante para os limites. Por exemplo, dessa forma o menor dos inteiros infinitos é o limite dos inteiros finitos, embora todos os inteiros finitos estejam a uma distância infinita dele. O estudo dos diferentes tipos de série é um assunto geral do qual o estudo dos números ordinais (mencionado acima) é um ramo especial e muito interessante. Mas as tecnicalidades inevitáveis desse assunto tornam-no impossível para explicar a qualquer um exceto os matemáticos declarados.
A geometria, como a aritmética, têm sido subsumida, em tempos recentes, sob o estudo geral da ordem. Era anteriormente suposto que a geometria era o estudo da natureza do espaço no qual nós vivemos, e, portanto, insistia-se, por aqueles que consideravam que o que existe apenas pode ser conhecido empiricamente, que a geometria deveria realmente ser considerada como pertencendo à matemática aplicada. Mas gradualmente apareceu, através do crescimento dos sistemas não euclidianos, que a geometria não lança mais luz sobre a natureza do espaço do que a aritmética lança sobre a população dos Estados Unidos. A geometria é uma inteira coleção de ciências dedutivas baseadas em uma coleção correspondente de conjuntos de axiomas. Um conjunto de axiomas é o de Euclides; outros conjuntos igualmente bons de axiomas levam a outros resultados. Se os axiomas de Euclides são verdadeiros é uma questão quanto à qual a matemática pura é indiferente; e, o que é mais, ela é uma questão que é teoricamente impossível para responder com certeza na afirmativa. Possivelmente poderia [93]ser revelado, através de mensurações cuidadosas, que os axiomas de Euclides são falsos; mas nenhuma mensuração alguma vez poderia assegurar-nos (devido aos erros de observação) que elas são exatamente verdadeiras. Dessa maneira, o geômetra deixa ao homem de ciência para decidir, como melhor ele puder, que axiomas são mais quase verdadeiros no mundo atual. O geômetra toma qualquer conjunto de axiomas que parecem interessantes e deduz suas consequências. Nesse sentido, o que define a geometria é que os axiomas têm de dar origem a uma série de mais de uma dimensão. E é dessa maneira que a geometria se torna um departamento no estudo da ordem.
Na geometria, como em outras partes da matemática, Peano e os seus discípulos têm realizado trabalho do maior mérito com respeito aos princípios. Anteriormente era considerado por filósofos e matemáticos igualmente que as provas em geometria dependiam da figura; hoje em dia, isso é conhecido ser falso. Nos melhores livros, não há figuras de qualquer maneira. O raciocínio prossegue através das regras estritas da lógica formal, a partir de um conjunto de axiomas estabelecido com o qual começar. Se uma figura é utilizada, todos os tipos de coisas parecem obviamente se seguir, o que nenhum raciocínio formal pode provar a partir de axiomas explícitos, e o que, como uma questão de fato, são aceitos apenas porque são óbvios. Banindo-se a figura, torna-se possível descobrir todos os axiomas que são necessários; e, dessa maneira, todos os tipos de possibilidades, as quais, de outra maneira, permaneceriam não detectadas, são trazidas à luz.
Um grande avanço, a partir do ponto de vista da correção, foi realizado através da introdução de pontos conforme eles são requeridos, e não começando, como era feito antigamente, pela suposição da totalidade do espaço. Esse método é devido em parte a Peano, em parte a outro italiano de nome Fano. Para aqueles desacostumados com isso, ele tem um ar de um pedantismo um pouco voluntarioso. Dessa maneira, nós começamos com os seguintes [94]axiomas: (1) Há uma classe de entidades chamadas de pontos. (2) Há, pelo menos, um ponto. (3) Se a for um ponto, há, pelo menos, outro ponto além de a. Então nós introduzimos a linha reta juntando dois pontos, e começamos novamente com (4), a saber, sobre a linha reta juntando a e b, há, pelo menos, outro ponto além de a e b. (5) Há, pelo menos, um ponto não na linha ab. E assim nós prosseguimos, até que nós tenhamos os meios de obter tantos pontos quando nós requeremos. Mas a palavra espaço, como Peano humorosamente observa, é uma para a qual a geometria não tem absolutamente nenhum uso.
Os métodos rígidos empregados pelos geômetras modernos depuseram Euclides do pináculo da correção. Até tempos recentes era considerado que, como o sir Henry Savile observou em 1621, havia apenas dois defeitos em Euclides, a teoria das paralelas e a teoria da proporção. Agora é sabido que esses são quase os únicos pontos no qual Euclides está livre de defeito. Erros sem conta estão envolvidos nas primeiras oito proposições dele. Quer dizer, não apenas é duvidoso se os axiomas dele são verdadeiros, o que é uma questão comparativamente trivial, mas é certo que as suas proposições não se seguem a partir dos axiomas que ele enuncia. Um número vastamente maior de axiomas, os quais Euclides emprega inconscientemente, é requerido para a prova das proposições dele. Mesmo na primeira proposição de todas, onde ele constrói um triângulo equilátero sobre uma base dada, ele usa dois círculos que são assumidos interseccionarem. Mas nenhum axioma explícito assegura-nos que eles o fazem, e em alguns tipos de espaços eles nem sempre interseccionaram. É bastante duvidoso se o nosso espaço pertence a um desses tipos ou não. Dessa maneira, Euclides falha inteiramente em provar o ponto dele exatamente na primeira proposição. Como ele certamente não é um autor fácil, e é terrivelmente prolixo, ele não tem mais nenhum interesse exceto histórico. Sob essas circunstâncias, não é nada menos do que um [95]escândalo que ele ainda deva ser ensinado a meninos na Inglaterra. Um livro deveria ter ou inteligibilidade ou correção; combinar os dois é impossível, mas carecer de ambos é ser indigno de um lugar tão grande como Euclides tem ocupado na educação.
O resultado mais notável dos métodos modernos na matemática está na importância da lógica simbólica do formalismo rígido. Matemáticos, sob a influência de Weierstrass, têm mostrado nos tempos modernos um cuidado pela precisão, e uma aversão a raciocínio desleixado, tal como não tem sido visto entre eles anterioremente desde o tempo dos gregos. As grandes invenções do século XVII – geometria analítica e cálculo infinitesimal – foram tão frutíferas em novos resultados que os matemáticos não tiveram nem tempo nem inclinação para examinar os fundamentos delas. Os filósofos, quem deveriam ter assumido a tarefa, tinham muito pouca habilidade matemática para inventarem os novos ramos da matemática que agora têm sido considerados necessários. Dessa maneira, os matemáticos apenas foram despertados do seus “sonos dogmáticos” quando Weierstrass e seus seguidores mostraram que, em geral, muitas das proposições mais queridas deles são falsas. Macaulay, contratando a certeza da matemática com a incerteza da filosofia, pergunta, quem alguma vez ouviu uma reação contra o teorema de Taylor? Se ele tivesse vivido agora, ele mesmo poderia ter ouvido uma semelhante reação, pois esse é precisamente um dos teoremas que as investigações modernas derrubaram. Tais choques rudes à fé matemática têm produzido aquele amor ao formalismo que parece, para os que são ignorantes do seu motivo, ser mero pedantismo revoltante.
[96]A prova de que toda a matemática pura, incluindo a geometria, não é nada senão lógica formal é um golpe fatal para a filosofia kantiana. Kant, corretamente percebendo que as proposições de Euclides não poderiam ser deduzidas a partir dos axiomas de Euclides sem a ajuda das figuras, inventou uma teoria do conhecimento para explicar esse fato; e explicou-o tão exitosamente que, quando o fato é mostrado ser um mero defeito de Euclides, e não um resultado da natureza do raciocínio geométrico, a teoria de Kant também tem de ser abandonada. A inteira doutrina das intuições a priori, pela qual Kant explicava a possibilidade da matemática pura, é inteiramente inaplicável à matemática em sua forma presente. As doutrinas aristotélicas dos escolásticos chegam mais perto em espírito das doutrinas que a matemática moderna inspira; mas os escolásticos foram embaraçados pelo fato de que a lógica formal deles era muito deficiente, e que a lógica filosófica baseada no silogismo revelou uma estreiteza correspondente. O que agora é requerido é dar o maior desenvolvimento possível à lógica matemática, permitir a importância completa das relações, e então, fundar sobre essa base segura, uma nova lógica filosófica, a qual pode esperar tomar emprestado a exatidão e certeza da sua fundação matemática. Se isso puder ser exitosamente alcançado, há toda razão para ter esperança de que o futuro próximo será uma época tão grande em filosofia pura quanto o passado imediato tem sido nos princípios da matemática. Grandes triunfos inspiram grandes esperanças; e o pensamento puro pode alcançar, dentro da nossa geração, resultados tão grandes que posicionarão a nossa época, nesse aspecto, em um nível com a maior época da Grécia.7
ORIGINAL:
RUSSELL, B. Mathematics and the Metaphysicians. IN:______. Mysticism and Logic and Other Essays. London; Longmans, Green and Co. 1918. pp. 74-96. Disponível em: <https://archive.org/details/mysticismlogicot00russuoft/page/74/mode/1up>
TRADUÇÃO:
EderNB do Blog Mathesis
Licença: CC BY-NC-SA 4.0
1[76]No principal, esse assunto é devido ao sr. C. S. Peirce.
2[78]Eu devia ter acrescentado Frege, mas os escritos dele eram desconhecidos para mim quando este artigo foi escrito. [Nota acrescentada em 1917.]
3[80]Professor de matemática na Universidade de Berlin. Ele morreu em 1897.
4[87][Nota acrescentada em 1917.] Embora alguns números infinitos sejam maiores do que alguns outros, não pode ser provado que de quaisquer dois números infinitos um tenha de ser maior.
5[89]Cantor não é culpado de uma falácia neste ponto. A prova dele de que não há o maior número é válida. A solução do quebra-cabeça é complicada e depende da teoria dos tipos, a qual é explicada em Principia Mathematica, vol. I (Camb. Univ. Press, 1910). [Nota acrescentada em 1917].
6Isso não deve ser considerado como uma explicação historicamente correta do que Zenão efetivamente teve em mente. É um novo argumento para a conclusão dele, não o argumento que o influenciou. Sobre esse ponto, ver, por exemplo, C. D. Broad, “Note on Achilles and the Tortoise,” Mind, N.S., Vol. XXII, pp. 318-19. Trabalho muito valioso sobre a interpretação de Zenão tem sido realizado desde que esse artigo foi escrito. [Nota acrescentada e 1917.]
7[97]A maior época da Grécia foi trazida a um fim pela Guerra do Peloponeso. [Nota acrescentada em 1917.]
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