Um Ensaio sobre os Fundamentos da Geometria - Introdução. Nosso Problema definido por sua Relação com Lógica, a Psicologia e Matemática

Um Ensaio sobre os Fundamentos da Geometria

Por Bertrand Russell

Prefácio & Índice

[1]Introdução. Nosso Problema definido por sua Relação com Lógica, a Psicologia e Matemática

1. A geometria, pelos séculos XVII e XVIII inteiros, permaneceu em guerra contra o empirismo, uma fortaleza inexpugnável dos idealistas. Aqueles que sustentam – como era geralmente sustentado no continente – que certo conhecimento independente da experiência era possível sobre o mundo real, tinham apenas de apontar para a geometria: ninguém, exceto um louco, eles diziam, lançaria dúvida sobre a validade dela, e ninguém, exceto um tolo, negaria sua referência objetiva. Portanto, nessa questão, os empiristas ingleses tiveram uma tarefa um pouco difícil; ou eles tinham de ignorar o problema, ou se, como Hume e Mill, eles ousassem o assalto, eles eram levados à afirmação aparentemente paradoxal de que a geometria, no fundo, não tinha certeza de um tipo diferente daquela da mecânica – apenas a presença perceptiva, eles diziam, tornava a nossa experiência da verdade dos axiomas tão ampla quanto a parecer certeza absoluta.

Contudo, aqui, como em muitas outras instâncias, a lógica implacável impeliu esses filósofos, quer eles desejassem ou não, para uma oposição flagrante ao senso comum da época deles. Foi apenas através de Kant, o criador da epistemologia moderna, que o problema geométrico recebeu uma forma moderna. Ele reduziu a questão às seguintes hipóteses: Se a geometria tem certeza apodítica, a sua matéria, ou seja, o espaço, tem de ser a priori, e, como tal, tem de ser puramente subjetiva; e inversamente, se o espaço é puramente subjetivo, a geometria tem de ter certeza apodítica. A hipótese posterior tem mais peso com Kant, de fato, ela está inerradicavelmente vinculada com toda a epistemologia dele; mesmo assim, eu penso que ela tem muito menos força do que a primeira. No entanto, [2]aceitemos pelo momento a formulação kantiana e tentemos conceder precisão aos termos a priori e subjetivo.

2. Uma das grandes dificuldades, por toda essa controvérsia, é o uso extremamente variável no qual essas palavras, assim como a palavra empírico, são colocadas por autores diferentes. Para Kant, quem não era nada de um psicólogo, a priori e subjetivo eram quase termos intercambiáveis¹; no todo, no uso moderno, há uma tendência para confinar a palavra subjetivo à psicologia, deixando o a priori para servir à epistemologia. Se aceitarmos essa diferenciação, nós podemos estabelecer, correspondendo aos problemas dessas duas ciências, as seguintes definições provisórias: a priori aplica-se a qualquer porção de conhecimento que, embora talvez provocado pela experiência, é logicamente pressuposto na experiência: subjetivo aplica-se a qualquer estado mental cuja causa esteja não no mundo exterior, mas dentro dos limites do sujeito. É claro, a segunda definição é estruturada exclusivamente para a psicologia; a partir do ponto de vista da ciência física todos os estados mentais são subjetivos. Mas para uma ciência cuja matéria, estritamente falando, são apenas estados mentais, nós requeremos, se nós devemos usar a palavra para qualquer propósito, algumas diferenças entre estados mentais, como uma marca de uma subjetividade mais especial da parte daqueles aos quais esse termo é aplicado.

Agora, os únicos estados mentais cujas causas imediatas estão no mundo exterior são as sensações. É claro, uma sensação pura é uma abstração impossível – nós nunca somos inteiramente passivos sob a ação de um estímulo externo – mas, para os propósitos da psicologia, ela é algo útil. Então, o que quer que não seja sensação, nós devemos chamar, na psicologia, de subjetivo. É apenas na sensação que nós somos diretamente afetados pelo mundo exterior, e apenas aqui ela nos concede informação direta sobre si mesma.

3. Consideremos a questão epistemológica quanto ao tipo de conhecimento que pode ser chamado de a priori. Aqui nós não temos nada a fazer – no primeiro caso, de qualquer maneira – com a causa ou gênese de uma porção de conhecimento; nós aceitamos o conhecimento como um dado a ser analisado e classificado. Essa análise revelará um elemento formal e um material no [3]conhecimento. O elemento formal consistirá em postulados que são requeridos para tornar o conhecimento possível de qualquer maneira, e de tudo que pode ser deduzido a partir desses postulados; por outro lado, o elemento material consistirá em tudo que vem para preencher a forma dada pelos postulados formais – tudo que é contingente ou dependente da experiência, tudo que poderia ter sido de outra maneira sem tornar o conhecimento impossível. Então nós deveremos chamar o elemento formal de a priori, o elemento material, de empírico.

4. Agora, qual é a conexão entre o subjetivo e o a priori? Obviamente, é uma conexão – se de qualquer maneira ela existe – a partir do exterior, ou seja, não diretamente dedutível a partir da natureza de nenhum dos dois, mas provável – se ela pode ser provada – apenas a partir de uma visão geral das condições de ambos. A questão, o que é conhecimento a priori, na definição acima, tem de depender de uma análise lógica do conhecimento, através da qual as condições da experiência possível podem ser reveladas; mas a questão, quais elementos de um estado cognitivo são subjetivos, deve ser investigada pela psicologia pura, a qual tem de determinar o que, em nossas percepções, pertence à sensação, e o que é obra do pensamento ou de associação. Então, uma vez que essas duas questões pertencem a ciências diferentes e podem ser resolvidas independentemente, não será mais sábio conduzir as duas investigações separadamente? Decretar que o a priori sempre deverá ser subjetivo parece perigoso, quando nós refletimos que uma tal visão coloca os nossos resultados sobre o a priori à mercê da psicologia empírica. Quão sério é esse perigo, a controvérsia quanto à intuição pura por Kant mostra suficientemente.

5. Portanto, do começo ao fim do presente Ensaio, eu deverei usar o termo a priori sem nenhuma implicação psicológica. Meu teste de aprioridade será puramente lógico: a experiência seria impossível, se um certo axioma ou postulado fosse negado? Ou, em um sentido mais restrito, o que concede aprioridade apenas dentro de uma ciência particular: a experiência quando à área dessa ciência é impossível, sem um certo axioma ou postulado? Portanto, meus resultados serão puramente lógicos. Se a psicologia declara que algumas coisas, as quais eu tenho declarado a priori, são não subjetivas, então, falhando em um erro de detalhe em minhas provas, a conexão do a priori e o subjetivo, [4]até onde se diz respeito àquelas coisas, tem de ser abandonada. Portanto, não haverá discussão, do começo ao fim deste Ensaio, da relação do a priori com o subjetivo – uma relação que não pode determinar que porções de conhecimento são a priori, mas antes depende dessa determinação e pertence, em qualquer caso, antes à metafísica do que à epistemologia.

6. Como me aventurei a usar o termo a priori em um sentido levemente não convencional, eu fornecerei algumas poucas observações elucidativas de uma natureza geral.

O a priori, desde Kant, de qualquer maneira, geralmente tem equivalido ao elemento necessário ou apodítico no conhecimento. Mas a lógica moderna mostrou que proposições necessárias são sempre, em um aspecto, pelo menos, hipotéticas. Pode haver, e usualmente há, uma implicação de que a conexão, da qual a necessidade é predicada, tem alguma existência, mas ainda, a necessidade sempre aponta além de si mesma para um fundamento de necessidade, e afirma esse fundamento antes que a conexão atual. Como Bradley assinala, “o arsênico envenena” permanece verdade, mesmo se ele não envenena ninguém. Portanto, se o a priori no conhecimento for primariamente o necessário, ele tem de ser o necessário em alguma hipótese, e o fundamento de necessidade tem de ser incluído como a priori. Mas, até onde a conexão necessária na questão pode mostrar, o fundamento de necessidade é um mero fato, um julgamento meramente categorial. Consequentemente, apenas a necessidade é um critério insuficiente de aprioridade.

Para suplementar esse critério, nós temos de suprir a hipótese ou o fundamento sobre o qual a apenas o necessário vale, e esse fundamento variará de uma ciência para outra, e mesmo, com o progresso do conhecimento, na mesma ciência em épocas diferentes. Pois, conforme o conhecimento se torna mais desenvolvido e articulado, mais e mais conexões necessárias são percebidas, e as verdades meramente categoriais, embora elas permaneçam o fundamento dos julgamentos apodíticos, diminuem em número relativo. Mesmo assim, em uma ciência bastante avançada como a geometria, nós podemos, eu penso, muito completamente suprir o fundamento apropriado e estabelecer, dentro dos limites da ciência isolada, a distinção entre o necessário e o meramente assertórico.

7. Eu considero que haja dois fundamentos sobre os quais a necessidade pode ser buscada dentro de qualquer ciência. Esses podem ser (muito aproximadamente) distinguidos como o fundamento que Kant busca nos [5]Prolegomena, e aquele que ele busca na Pure Reason. Nós podemos começar a partir da existência da nossa ciência como um fato e analisar o raciocínio empregado com uma visão para descobrir o postulado fundamental do qual a sua possibilidade lógica depende; nesse caso, o postulado, e tudo que se segue apenas a partir dele, será a priori. Ou, nós podemos aceitar a existência do objeto da nossa ciência como a nossa base de fato, e deduzir dogmaticamente sejam quais forem os princípios que nós possamos a partir da natureza essencial desse objeto. Ainda assim, nesse último caso, não é a inteira natureza empírica do objeto, como revelado pelas pesquisas subsequentes da nossa ciência, que forma o nosso fundamento; pois se fosse assim, é claro, a ciência inteira seria a priori. Antes é aquele elemento no objeto que torna possível o ramo da experiência tratado pela ciência em questão². A importância dessa distinção aparecerá mais claramente conforme nós prosseguimos³.

8. Em última análise, esses dois fundamentos de necessidade tornam-se idênticos. Os métodos de investigação nos dois casos diferem amplamente, mas os resultados não podem diferir. Pois, no primeiro caso, através da análise da ciência, nós descobrimos o postulado sobre o qual apenas os raciocínios dela são possíveis. Agora, se o raciocínio na ciência é impossível sem algum postulado, esse postulado tem de ser essencial ao objeto da ciência, e, dessa maneira, nós obtemos o segundo fundamento. Mesmo assim, os dois métodos são úteis enquanto suplementando um ao outro, e o primeiro, enquanto partindo da ciência atual, é o mais seguro e mais fácil método de investigação, embora o segundo pareça o mais convincente para exposição.

9. Portanto, o curso do meu argumento será o seguinte: no primeiro capítulo, como uma preliminar à análise lógica da geometria, eu deverei fornecer uma breve história do surgimento e desenvolvimento dos sistemas não euclidianos. O segundo capítulo preparará o fundamento para uma teoria construtiva da geometria, através de uma crítica de algumas visões filosóficas prévias; nesse capítulo, eu deverei [6]tentar exibir essas visões como parcialmente verdadeiras, parcialmente falsas, e assim estabelecer, através de polêmicas preliminares, a verdade de tais partes da minha própria teoria que devem ser encontradas em escritores anteriores. Ainda assim, uma grande parte dessa teoria não pode ser introduzida assim, uma vez que o campo inteiro da geometria projetiva, até onde eu estou ciente, tem estado até agora desconhecido pelos filósofos. Passando da crítica à construção, no terceiro capítulo, eu deverei lidar primeiro com a geometria projetiva. Eu deverei sustentar que essa é necessariamente verdadeira de qualquer forma de externalidade, e é, uma vez que alguma forma similar é necessária para a experiência, completamente a priori. Ainda assim, na geometria métrica, a qual eu deverei considerar em seguida, os axiomas classificar-se-ão em duas classes: (1) Aqueles comuns aos espaços euclidiano e não euclidiano. Esse serão considerados, por um lado, essenciais para a possibilidade de mensuração em qualquer continuum, e, por outro lado, propriedades necessárias de qualquer forma de externalidade com mais do que uma dimensão. Portanto, eles serão declarados a priori. (2) Aqueles axiomas que distinguem os espaços euclidiano do não euclidiano. Esses serão considerados como inteiramente empíricos. Ainda assim, o axioma de que o número de dimensões é três, embora empírico, será declarado, uma vez que pequenos erros são aqui impossíveis, exatamente e certamente verdadeiros do nosso mundo atual; enquanto os dois axiomas remanescentes, os quais determinam o valor da constante-espaço, serão considerados como aproximadamente conhecidos, e certos apenas dentro dos erros de observação⁴. Finalmente, o quarto capítulo, tentará provar o que foi assumido no capítulo III, que alguma forma de externalidade é necessária para a experiência, e concluirá através da exibição da impossibilidade lógica, se o conhecimento de uma tal forma deve ser liberado de contradições, de inteiramente abstrair esse conhecimento de toda referência à matéria contida na forma.

Eu deverei esperar ter tocado em todos os pontos relativos aos Fundamentos da Geometria com essa discussão.

Capítulo I

ORIGINAL:

RUSSELL, B. An Essay on the Foundations of Geometry. Cambridge: At the University Press, 1897. p. 1-6. Disponível em: <https://archive.org/details/essayonfoundatio1897russ/page/1/mode/1up>

TRADUÇÃO:

EderNB do Blog Mathesis

Licença: CC BY-NC-SA 4.0

1[2]Cf. Erdmann, Axiome der Geometrie, p.111: “Für Kant sind Apriorität und ausschliessliche Subjectivität allerdings Wechselbegriffe.”

2[5]Aqui eu uso “experiência” no sentido mais amplo possível, o sentido no qual a palavra é usada por Bradley.

3Onde o ramo da experiência em questão for essencial para toda experiência, a aprioridade resultante pode ser considerada como absoluta; onde ela for necessária apenas para alguma ciência especial, como relativa àquela ciência.

4[6]Eu não forneci nenhuma explicação dessas provas empíricas, visto que elas parecem ser constituídas pelo corpo inteiro da ciência física. Tudo na ciência física, desde a lei da gravitação à construção de pontes, desde o espectroscópio à arte da navegação seria profundamente modificado por qualquer imprecisão considerável na hipótese de que o nosso espaço atual é euclidiano. Portanto, a verdade observada da ciência física constitui evidência empírica esmagadora de que essa hipótese é muito aproximadamente correta, mesmo se não for rigidamente correta.