Introdução à Filosofia Matemática
Por Bertrand Russell
Prefácio, Nota do Editor e Conteúdos
[29]Capítulo IV A Definição de Ordem
Agora nós levamos a nossa análise da série dos números naturais ao ponto onde obtivemos definições lógicas dos membros dessa série, de toda classe dos seus membros e da relação de um número com o seu sucessor imediato. Agora nós temos de considerar o caráter serial dos números naturais na ordem 0, 1, 2, 3, …. Ordinariamente nós pensamos nos números como nessa ordem, e é parte essencial do trabalho de análise dos nossos dados buscarmos uma definição de “ordem” ou “série” em termos lógicos.
A noção de ordem é uma que tem enorme importância na matemática. Não apenas para inteiros, mas também frações racionais e todos os números reais têm uma ordem de magnitude, e essa é essencial para a maioria das propriedades matemáticas deles. A ordem dos pontos sobre uma linha é essencial para a geometria; assim é a ordem levemente mais complicada das linhas através de um ponto em um plano, ou dos planos através de uma linha. Em geometria, as dimensões são um desenvolvimento da ordem. A concepção de um limite, a qual subjaz a toda a matemática superior, é uma concepção serial. Há partes da matemática que não dependem da noção de ordem, mas elas são muito poucas em comparação com as partes nas quais essa noção está envolvida.
Ao procurar uma definição de ordem, a primeira coisa a compreender é que nenhum conjunto de termos tem exatamente uma ordem à exclusão das outras. Um conjunto de termos tem todas as ordens das quais ele é capaz. Algumas vezes, uma ordem é tão muito mais familiar e natural para os nossos [30]pensamentos que nós ficamos inclinados a considerá-la como a ordem daquele conjunto de termos; mas isso é um equívoco. Os números naturais – ou os números “indutivos,” como nós também devemos chamá-los – ocorrem-nos mais prontamente em ordem de magnitude; mas eles são capazes de um número infinto de outros arranjos. Por exemplo, nós poderíamos considerar primeiro todos os números ímpares e então todos os números pares; ou primeiro o 1, então todos os números pares, então todos os ímpares múltiplos do 3, então todos os múltiplos do 5 mas não do 2 ou 3, então todos os múltiplos do 7, mas não do 2 ou 3 ou 5, e assim prosseguir através da série inteira dos números primos. Quando nós dissemos que “arranjamos” os números nessas várias séries, isso é uma expressão imprecisa: o que nós realmente fazemos é voltarmos a nossa atenção para certas relações entre os números naturais, as quais em si mesmas geram um arranjo tal e tal. Nós não mais podemos “arranjar” os números naturais do que podemos arranjar os céus estrelados; mas, exatamente como nós podemos notar entre as estrelas fixas ou a sua ordem de brilho ou a sua distribuição no céu, assim há várias relações entre os números que podem ser observadas, e as quais dão origem a várias ordens diferentes entre os números, todas igualmente legitimas. E o que é verdadeiro dos números é igualmente verdadeiro dos pontos em uma linha ou dos momento do tempo: uma ordem é mais familiar, mas as outras são igualmente válidas. Por exemplo, nós poderíamos tomar primeiro, em uma linha, todos os pontos que têm coordenadas integrais, então todos aqueles que têm coordenadas racionais não integradas, então todos aqueles que têm coordenadas não racionais não algébricas e assim por diante, através de qualquer conjunto de complicações que nós desejarmos. A ordem resultante será uma que os pontos da linha certamente têm, quer nós escolhemos notá-la ou não; a única coisa que é arbitrária sobre as várias ordens de um conjunto de termos é a nossa atenção, pois os termos mesmos sempre têm todas as ordens das quais eles são capazes.
Um importante resultado dessa consideração é que nós não temos de procurar pela definição de ordem na natureza do conjunto de termos a serem ordenados, uma vez que um conjunto de termos tem muitas ordens. A ordem está não na classe dos termos, mas em uma relação entre [31]os membros da classe, com respeito à qual alguns aparecem mais cedo e alguns, mais tarde. O fato de que uma classe pode ter muitas ordens é devido ao fato de que podem haver muitas relações valendo entre os membros de uma única classe. Que propriedades uma relação tem de ter para dar origem a uma ordem?
A característica essencial de uma relação que dá origem à ordem pode ser descoberta através da consideração de que, com respeito a uma tal relação, nós temos de ser capazes de dizer, de quaisquer dois termos na classe que deve ser ordenada, que um “precede” e o outro “segue.” Agora, para que nós possamos ser capazes de usar essas palavras na maneira pela qual naturalmente deveríamos entendê-las, nós requeremos que a relação ordenadora deveria ter três propriedades:
(1) Se x precede y, y também tem de não preceder x. Isso é uma característica óbvia do tipo de relações que levam a séries. Se x é menor do que y, também y não é menor do que x. Se x é anterior no tempo a y, também y não é anterior no tempo a x. Se x está à esquerda de y, y não está à esquerda de x. Por outro lado, relações que não dão origem a séries frequentemente não têm está propriedade. Se x é um irmão ou uma irmã de y, y é um irmão ou uma irmã de x. Se x é do mesmo peso que y, y é do mesmo peso que x. Se x é de um peso diferente de y, y é de um peso diferente de x. Em todos esses casos, quando a relação vale entre x e y, ela também vale entre y e x. Mas com relações seriais uma tal coisa não pode acontecer. Uma relação tendo esta primeira propriedade é chamada de assimétrica.
(2) Se x precede y e y precede z, x tem de preceder z. Isso pode ser ilustrado pelas mesmas instâncias que antes: menor (less), antes (earlier), esquerda de (left of). Mas como as instâncias de relações que não têm essa propriedade, apenas duas das nossas três instâncias anteriores servirão. Se x é irmão ou irmã de y, e y de z, x não pode ser irmão ou irmã de z, uma vez que x e z podem ser a mesma pessoa. O mesmo se aplica à diferença de altura, mas não à mesmidade de altura, a qual tem a nossa segunda propriedade, mas não a primeira. Por outro lado, a relação “pai” tem a nossa primeira propriedade, mas não [32]a nossa segunda. Uma relação tendo a nossa segunda propriedade é chamada de transitiva.
(3) Dados quaisquer dois números da classe que deve ser ordenada, tem de haver um que precede e o outro que segue. Por exemplo, de dois inteiros, ou frações, ou números reais, um é menor e o outro, maior; mas de quaisquer dois números complexos isso não é verdadeiro. De dois momentos no tempo, um tem de ser anterior ao outro; mas de eventos, os quais podem ser simultâneos, isso não pode ser dito. De dois pontos em uma linha, um tem de estar a esquerda do outro. Uma relação tendo essa terceira propriedade é chamada de conectada.
Quando uma relação possui essas três propriedades, ela é do tipo que dá origem a uma ordem entre os termos entre os quais ela vale; e sempre que uma ordem existe, alguma relação tendo essas três propriedades pode ser encontrada gerando-a.
Antes de ilustrarmos essa tese, nós introduziremos umas poucas definições.
(1) Uma relação é dita ser uma aliorelativa,1 ou estar contida em ou implicar diversidade, se nenhum termo tem essa relação consigo mesmo. Dessa forma, por exemplo, “maior,” “diferente em tamanho,” “irmão,” “esposo,” “pai” são alioterativas; mas “igual,” “nascido dos mesmos pais,” “querido amigo,” não são.
(2) O quadrado de uma relação é aquela relação que vale entre dois termos x e z quando há um termo imediato y tal que a relação dada vale entre x e y e entre y e z. Dessa forma, “avô parteno” é o quadrado de “pai,” “maior por 2” é o quadrado de “maior por 1,” e assim por diante.
(3) O domínio de uma relação consiste em todos aqueles termos que têm a relação com alguma ou outra coisa, e o domínio oposto consiste em todos aqueles termos com os quais alguma ou outra coisa têm a relação. Essas palavras já foram definidas, mas são lembradas aqui por causa da seguinte definição:-
(4) O campo de uma relação consiste no seu domínio e domínio oposto juntos.
[33](5) Uma relação é dita conter ou ser implicada por outra se ela valer sempre que a outra valer.
Será visto que uma relação assimétrica é a mesma coisa que uma relação cujo quadrado é aliorelativo. Frequentemente acontece que uma relação é aliorelativa sem ser assimétrica, embora uma relação assimétrica sempre seja uma aliorelativa. Por exemplo, “esposo(a)” é uma aliorelativa, mas é simétrica, uma vez que se x é o(a) esposo(a) de y, y é o(a) esposo(a) de x. mas entre as relações transitivas, todas as aliorelativas são assimétricas assim como vice-versa.
A partir das definições será visto que uma relação transitiva é uma que está implicada pelo seu quadrado, ou, como nós também podemos dizer, “contém” o seu quadrado. Dessa maneira, “ancestral” é transitiva, porque o ancestral de um ancestral é um ancestral; mas “pai” não é transitiva, porque um pai de um pai não é um pai. Uma aliorelativa transitiva é uma que contém o seu quadrado e é contida em diversidade; ou, o que vem a ser a mesma coisa, uma cujo quadrado implica tanto ela quanto diversidade – porque, quando uma relação é transitiva, assimetria é equivalente a ser uma aliorelativa.
Uma relação é conectada quando, dados quaisquer dois termos do seu campo, a relação vale entre o primeiro e o segundo, ou entre o segundo e o primeiro (não excluindo a possibilidade de que ambos possam acontecer, embora ambos não possam acontecer se a relação for assimétrica).
Por exemplo, será visto que a relação “ancestral” é uma aliorelativa e transitiva, mas não conectada; é porque ela não conectada que não é suficiente arranjar a raça humana em uma série.
Entre números, a relação “menor do que ou igual a (less than or equal to)” é transitiva e conectada, mas não assimétrica ou uma aliorelativa.
A relação “maior ou menor (greater or less)” entre números é uma aliorelativa e está conectada, mas não é transitiva, pois, se x é maior ou menor do que y, e y é maior ou menor do que z, pode acontecer que x e z sejam o mesmo número.
Dessa maneira, as três propriedades de ser (1) uma aliorelativa, (2) [34]transitiva e (3) conectada, são mutuamente independentes, uma vez que uma relação pode ter quaisquer duas sem ter a terceira.
Nós podemos estabelecer a seguinte definição:-
Uma relação é serial quando ela é uma aliorelativa, transitiva e conectada; ou, o que é equivalente, quando ela é assimétrica, transitiva e conectada.
Uma série é a mesma coisa que uma relação serial.
Poderia ter sido pensado que uma série deveria ser o campo de uma relação serial, não a relação serial mesma. Mas isso seria um erro. Por exemplo,
1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 3, 1; 2, 1, 3; 3, 1, 2; 3, 2, 1
São seis séries diferentes que têm todas o mesmo campo. Se o campo fosse a série, apenas poderia haver uma série com um dado campo. O que distingue as seis séries acima é simplesmente as diferentes relações de ordenação nos seis casos. Dada a relação de ordenação, o campo e a ordem são ambos determinados. Desse modo, a relação de ordenação pode ser aproveitada para ser a série, mas o campo não pode ser aproveitado.
Dada qualquer relação serial, digamos P, nós devemos dizer que, com respeito a essa relação, x “precede” y se x tem a relação P com y, a qual nós devemos escrever “xPy” para resumir. As três características que P tem de ter para ser serial são:
(1) Nós nunca devemos ter xPx, ou seja, nenhum termo deve preceder a si mesmo.
(2) P2 tem de implicar P, ou seja, se x precede y e y precede z, x tem de preceder z.
(3) Se x e y são dois termos diferentes no campo de P, nós devemos ter xPy ou yPx, ou seja, uma das duas tem de preceder a outra.
O leitor pode facilmente convencer a si mesmo de que, onde essas três propriedades são encontradas em uma relação de ordenação, as características que nós esperamos de séries também serão encontradas, e vice-versa. Portanto, nós estamos justificados em aproveitar o acima como uma definição de ordem [35]ou série. E será observado que a definição é efetuada em termos puramente lógicos.
Embora uma relação conectada assimétrica transitiva sempre existe sempre que existe uma série, ela nem sempre é a relação que mais naturalmente seria considerada como gerando a série. A série dos números naturais pode servir como uma ilustração. A relação que nós assumimos na consideração dos números naturais foi a relação de sucessão imediata, ou seja, a relação entre inteiros consecutivos. Essa relação é assimétrica, mas não transitiva ou conectada. Contudo, nós podemos derivar a partir dela, através do método de indução matemática, a relação de “ancestral,” a qual nós consideramos no capítulo precedente. Essa relação será a mesma que “menor do que ou igual a (less than or equal to)” entre os inteiros indutivos. Para propósitos da geração da série dos números naturais, nós queremos a relação “menor do que (less than),” excluindo “igual a (equal to)” Essa é a relação de m para n quando m é um ancestral de n mas não idêntico a n, ou (o que vem a ser a mesma coisa) quando o sucessor de m é um antecessor de n no sentido no qual um número é o seu próprio antecessor. Quer dizer, nós devemos estabelecer a seguinte definição:-
Um número indutivo m é dito ser menor do que (less than) outro número n quando n possui toda propriedade hereditária possuída pelo sucessor de m.
É fácil ver, e não difícil de provar, que a relação “menor do que,” assim definida, é assimétrica, e tem os números indutivos como o seu campo. Desse modo, através dessa relação os números indutivos adquirem uma ordem no sentido no qual nós definimos o termo “ordem,” e essa ordem é assim chamada de ordem “natural,” ou ordem de magnitude.
A geração de séries através de relações mais ou menos se assemelhando àquela de n para n+1 é muito comum. Por exemplo, a série dos reis da Inglaterra é gerada através das relações de cada um com seu sucessor. Provavelmente essa é a maneira mais fácil, onde ela for aplicável, de conceber a geração de uma série. Nesse método, nós passamos de cada termo para o seu próximo, enquanto houver [36]um próximo, ou de volta para um antes, enquanto houver um antes. Esse método sempre requer a forma generalizada da indução matemática para nos possibilitar a definir “mais cedo (earlier)” e “mais tarde (later)” em uma série assim generalizada. Em analogias às “frações próprias,” vamos dar o nome de “posteridade própria de x com respeito a R” à classe daqueles termos que pertencem à posteridade-R de algum termo com o qual x tem a relação R, no sentido que nós demos antes para “posteridade,” o qual inclui um termo na sua própria posteridade. Revertendo às definições fundamentais, nós descobrimos que a “posteridade própria” pode ser definida como se segue:-
A “posteridade própria” de x com respeito a R consiste em todos os termos que possuem toda propriedade hereditária-R possuída por cada termo com o qual x tem a relação R.
Deve ser observado que essa definição tem de ser assim construída de modo a ser aplicável não apenas quando há apenas um termo com o qual x tem a relação R, mas também em casos (como, por exemplo, aquele de pai e filho) onde pode haver muitos termos com os quais x tem a relação R. Nós definimos mais:
Um termo x é um “ancestral próprio” de y com respeito a R se y pertence à posteridade própria de x com respeito a R.
Para resumir, nós deveremos falar de “posteridade-R” e “ancestrais-R” quando esses termos parecerem mais convenientes.
Revertendo agora à geração de séries através da relação R entre termos consecutivos, nós vemos que, se esse método deve ser possível, a relação “ancestral-R próprio” tem de ser aliorelativa, transitiva e conectada. Sob quais circunstâncias isso ocorrerá? Ela sempre será transitiva: não importa que tipo de relação R possa ser, “ancestral-R” e “ancestral-R próprio” sempre serão ambas transitivas. Mas é apenas sob certas circunstâncias que ela será uma aliorelativa ou conectada. Por exemplo, considere a relação de vizinho à esquerda de alguém em uma mesa de jantar redonda onde há doze pessoas. Se nós chamarmos essa relação de R, a posteridade-R própria de uma pessoa consiste em todos que podem ser alcançados ao circular-se a mesa da direita para a esquerda. Isso inclui todos à mesa, incluindo a pessoa mesma, uma vez que [37]doze passos nos trazem de volta do nosso ponto de partida. Desse modo, em um tal caso, embora a relação de “ancestral-R próprio” seja conectada, e embora R mesmo seja uma aliorelativa, nós não obtemos uma série porque “ancestral-R própria” não é uma aliorelativa. É por essa razão que nós não podemos dizer que uma pessoa vem antes de outra com respeito à relação “direita de” ou a sua derivativa ancestral.
O acima foi uma instância na qual a relação ancestral estava conectada com, mas não contida, em diversidade. Uma instância onde ela está contida em diversidade mas não conectada com é derivada a partir do sentido ordinário da palavra “ancestral.” Se x é um ancestral próprio de y, x e y não podem ser a mesma pessoa; mas não é verdadeiro que de quaisquer duas pessoas uma tenha de ser um ancestral da outra.
A questão das circunstâncias sob as quais séries podem ser geradas através de relações ancestrais derivadas a partir de relação de consecutividade é frequentemente importante. Alguns dos casos mais importantes são os seguintes: Seja R uma relação muitos-um, e confinemos a nossa atenção à posteridade de algum termo x. Quando assim confinada, a relação “ancestral-R próprio” tem de ser conectada; portanto, tudo que resta a assegurar o seu ser serial é que ela deva estar contida em diversidade. Essa é uma generalização da instância da mesa de jantar. Outra generalização consiste em aceitar R ser uma relação um-um, e incluindo a ancestralidade de x assim como a posteridade. Novamente aqui, a única condição requerida para assegurar a geração de uma série é que a relação “ancestral-R próprio” deva estar contida em diversidade.
A geração de ordem através de relações de consecutividade, embora importante na sua própria esfera, é menos geral do que o método que usa uma relação transitiva para definir a ordem. Ela frequentemente ocorre em uma série na qual há um número infinito de termos intermediários entre quaisquer dois que possam ser selecionados, por mais próximos que eles possam estar. Por exemplo, tomem-se frações em ordem de magnitude. Entre quaisquer duas frações há outras – por exemplo, a média aritmética das duas. Consequentemente, não há tal coisa como um par de frações consecutivas. Se dependêssemos [38]de consecutividade para definirmos ordem, nós não deveríamos ser capazes de definir a ordem de magnitude entre frações. Mas de fato, as relações de maior e menor entre frações não demandam geração de relações de consecutividade, e as relações de maior e menor entre frações têm as três características que nós necessitamos para definir relações seriais. Em todos esses casos, a ordem tem de ser definida através de uma relação transitiva, uma vez que apenas uma tal relação é capaz de saltar sobre um número infinito de termos intermediários. O método de consecutividade, como aquele de contagem para a descoberta do número de uma coleção, é apropriado para o finito; ele pode ser estendido para certas séries infinitas, a saber, aquelas nas quais, embora o número total de termos seja infinito, o número de termos entre quaisquer dois é sempre finito; mas isso não pode ser considerado como geral. Não apenas isso, mas cuidado deve ser tomado para erradicar da imaginação todos os hábitos de pensamento supondo-a geral. Se isso não for feito, séries nas quais não haja termos consecutivos permanecerão difíceis e enigmático. E essas séries são de importância vital para o entendimento de continuidade, espaço, tempo e movimento.
Há muitas maneiras pelas quais séries podem ser geradas, mas todas dependem de encontrar ou construir uma relação conectada, transitiva, assimétrica. Algumas dessas maneiras têm importância considerável. Nós podemos tomar como ilustrativa a geração de séries através de uma relação de trés termos que nós podemos chamar de “entre (between).” Esse método é muito útil em geometria e pode servir como uma introdução às relações tendo mais de dois termos; ele é melhor introduzido em conexão com geometria elementar.
Dados quaisquer três pontos sobre uma linha reta em espaço ordinário, tem de haver um deles que esteja entre os outros dois. Esse não será o caso com os pontos em um círculo ou qualquer outra curva fechada, porque, dadas quaisquer três pontos sobre um círculo, nós podemos viajar de qualquer um para qualquer outro sem passarmos através do terceiro. De fato, a noção de “entre” é característica de séries abertas – ou séries no sentido estrito – enquanto opostas ao que podem ser chamadas de [39]séries “cíclicas,” onde, como com as pessoas à mesa de jantar, uma jornada suficiente traz-nos de volta ao nosso ponto de partida. Essa noção de “entre” pode ser escolhida como a noção fundamental da geometria ordinária; mas pelo presente nós apenas consideraremos a sua aplicação a uma única linha reta e à ordenação dos pontos sobre uma linha reta.2 Tomando-se quaisquer dois pontos a, b, a linha (a, b) consiste de três partes (além de a e b mesmos):
(1) Pontos entre a e b.
(2) Pontos x, tais que a está entre x e b.
(3) Pontos y, tais que b está entre y e a.
Dessa maneira, a linha (ab) pode ser definida em termos da relação “entre.”
Para que essa relação “entre” possa arranjar os pontos da linha em uma ordem da esquerda para a direita, nós necessitamos de certas suposições, a saber, as seguintes:-
(1) Se qualquer coisa está entre a e b, a e b não são idênticos.
(2) Qualquer coisa entre a e b também está entre b e a.
(3) Qualquer coisa entre a e b não é idêntica a a (nem, consequentemente, a b, em virtude de (2)).
(4) Se x está entre a e b, qualquer coisa entre a e x também está entre a e b.
(5) Se x está entre a e b, e b está entre x e y, então b está entre a e y.
(6) Se x e y estão entre a e b, então, ou x e y são idênticos, ou x está entre a e y, ou x está entre y e b.
(7) Se b está entre a e x e também entre a e y, então, ou x e y são idênticos, ou x está entre b e y, ou y está entre b e x.
Essas sete propriedades são obviamente verificadas no caso dos pontos em uma linha reta no espaço ordinário. Qualquer relação de três termos que as verifique dá origem a séries, como pode ser visto a partir das definições seguintes. Em prol de definitividade, assumamos [40]que a está à esquerda de b. Então os pontos da linha (ab) são (1) aqueles entre os quais b, a estão – esses nós chamaremos para a esquerda de a; (2) o a mesmo; (3) aqueles entre a e b; (4) o b mesmo; (5) aqueles entre os quais e a está b – esses nós chamaremos para a direita de b. Agora nós podemos definir de modo geral que de dois pontos x, y, sobre a linha (ab), nós deveremos dizer que x está “a esquerda de” y em qualquer um dos seguintes casos:-
(1) Quando x e y estão ambos à esquerda de a, e y está entre x e a;
(2) Quando x está à esquerda de a, e y é a ou b, ou está entre a e b ou à direita de b;
(3) Quando x é a, e y está entre a e b, ou é b, ou está à direita de b;
(4) Quando x e y estão ambos entre a e b, e y está entre x e b;
(5) Quando x está entre a e b, e y é b ou está à direita de b;
(6) Quando x é b, e y está à direita de b;
(7) Quando x e y estão ambos à direita de b, e x está entre b e y.
Será considerado que, a partir das sete propriedades que nós atribuímos à relação “entre,” pode ser deduzido que a relação “à esquerda de (to the left of),” como acima definida, é uma relação serial como nós definimos esse termo. É importante notar que nada nessas definições ou no argumento depende do nosso significado para “entre,” a relação atual desse nome que ocorre no espaço empírico: qualquer relação de três termos tendo as sete propriedades puramente formais acima servirá igualmente para o propósito do argumento.
A ordem cíclica, tal como aquela dos pontos em um círculo, não pode ser gerada através da relação de três-termos “entre.” Nós necessitamos de uma relação de quatro termos, a qual pode ser chamada de “separação de duplas.” O ponto pode ser ilustrado considerando-se uma jornada ao redor do mundo. Alguém pode ir da Inglaterra para a Nova Zelândia através de Suez ou através de São Francisco; nós não podemos [41]dizer definitivamente que qualquer um desses dois lugares esteja “entre” a Inglaterra e a Nova Zelândia. Mas, se um homem escolhe aquela rota para circular o mundo, seja qual for o caminho ao redor pelo qual ele vá, suas vezes na Inglaterra e na Nova Zelândia são separadas uma da outra por suas vezes em Suez e São Francisco, e inversamente. Generalizando, se nós aceitarmos quaisquer quatro pontos em um círculo, nós podemos separá-los em duas duplas, digamos, a e b, e x e y, de modo que, para ir de a até b, alguém tem de passar através ou de x ou de y, e para de x até y, alguém tem de passar através ou de a ou de b. Sob essas circunstâncias, nós podemos dizer que a dupla (a, b) é “separada” pela dupla (x, y). A partir dessa relação, uma ordem cíclica pode ser gerada, de um modo assemelhando-se àquele na qual nós geramos uma ordem aberta a partir de “entre,” mas um pouco mais complicado.3
O propósito da segunda metade deste capítulo foi sugerir o que alguém poderia chamar de “geração de relações seriais.” Quando essas relações forem definidas, a geração delas a partir de outras relações possuindo apenas algumas das propriedades requeridas para séries torna-se muito importante, especialmente na filosofia da geometria e da física. Mas, dentro dos limites do volume presente, nós não podemos fazer mais do que tornar o leitor ciente de um tal assunto existe.
ORIGINAL:
RUSSELL, B. Introduction to Mathematical Philosophy. London: G. Allen & Unwin, 1919. p. 29-41. Disponível em: <https://archive.org/details/introductiontoma00russ/page/29/mode/1up>
TRADUÇÃO:
EderNB do Blog Mathesis
Licença: CC BY-NC-SA 4.0
1[32]Este termo é devido a C. S. Peirce.
2[39]Cf. Rivista di Matematica, iv. pp. 55 ff.; Principles of Mathematics, p. 394 (§375).
3[41]Cf. Principles of Mathematics, p. 205 (§ 194), e referências ali dadas.
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