Caminhos: Por que a Vida está Preenchida com tantos Desvios?
Por József Biró, András Gulyás e Zalán Heszberger
[11]Capítulo 3 A Floresta de Escolhas Alternativas
Observa o caminho dos teus pés e todos os teus caminhos serão estabelecidos.
– Provérbios 4:26
Em geral, um caminho pode ser considerado como uma sequência, uma sequência temporalmente ordenada de eventos ou escolhas consecutivas que podem nos levar longe do ponto de partida.
Seguir um caminho significa que nós escolhemos uma sequência específica de passos a partir de um estoque de possibilidades ou escolhas alternativas. Então, como um estoque como esse se parece? Bem, algumas vezes ele é pequeno, concreto e bem definido, enquanto que, em outras vezes, é aparentemente infinito e pode ser obscuro e intrincado. Para ilustrar, consideremos um estoque muito famoso e clássico secular europeu.
No século XVIII, a cidade de Könisberg, a Prússia era suficientemente rica para ter sete pontes através do rio Pregel. As sete pontes conectavam quatro partes de terras separadas pelas ramificações do rio. Essa situação é mostrada na fig. 3.1, onde as letras A, B, C, D denotam as terras e a caligrafia correspondente (terminando com as abreviações B. e Br.) marca as localizações das pontes. Esse cenário inspirou a fantasia dos habitantes ociosos de Könisberg que faziam um playground virtual a partir das pontes e terras. O jogo favorito deles era pensar sobre um caminho possível ao redor de pontes e terras, no qual eles cruzavam cada ponte uma vez e apenas uma vez. Ninguém conseguiu pensar em um caminho tão fantasioso e ninguém conseguiu provar que esse caminho era impossível, até que Leonard Euler, o famoso matemático, deu uma olhada no problema. Euler rapidamente observou que, a partir da perspectiva do problema, a maioria dos detalhes do mapa mostrado na fig. 3.1 poderia ser omitida e uma figura muito mais simples poderia ser desenhada, focando-se mais no problema (ver fig. 3.2).
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[12]Fig. 3.1 A fig. 1 de Euler para o problema das sete pontes de Könisberg, a partir de ‘Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis,’ Eneström 53 [fonte: MAA Euler Archive: http://eulerarchive.maa.org/docs/originals/E053.pdf]
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[12]Fig. 3.2 A ideia de Euler da abstração da rede subjacente ao problema das Sete Pontes de Könisberg. |
Essa nova representação contém apenas “nós (nodes),” marcados com as letras A, B, C, D em círculos que representam as terras, e “arestas (edges),” desenhados com linhas curvas entre os nós, representando as pontes. Por exemplo, a sequência A → E1 → C → E3 → D → E4 → A representa um caminho começando a partir da terra A que procede até a terra C via a ponte E1, então para a terra D via a ponte E3 e, finalmente, de volta a terra A via a ponte E4. Usando apenas nós e arestas, todos os tipos de caminhos podem ser criados. De fato, todas os caminhos possíveis [12]que alguém pode imaginar por todas as pontes e terras são apreendidos por essa representação simples. A coleção de nós e arestas, chamada de uma rede N(n, e) revelou-se ser tão poderosa na modelagem de problemas do mundo real que todo um novo ramo da matemática, chamado de teoria dos grafos,1 foi definido baseado neles.
[13]Nós podemos observar que os caminhos ao redor das terras e pontes nada mais são do que sequências ordenadas de eventos consecutivos (cruzamentos de pontes) em Könisberg. Esses caminhos são muito similares aos nossos caminhos e a rede N(n, e) parece efetivamente conter todos os caminhos possíveis que podem ser tomados, ou seja, os caminhos2 que podem ser diferenciados por uma sequência de travessias de ponte em Könisberg. Assim, uma rede pode ser uma boa representação dos estoques a partir dos quais os caminhos podem tomar forma. A rede no caso das pontes de Könisberg é muito pequena e bem definida (contém quatro nós e sete pontes); contudo, o número de caminhos possíveis que as pessoas podem tomar nessa rede é teoricamente infinito, visto que o comprimento dos caminhos não é limitado. Na prática, o estoque de todos os caminhos possíveis é muito menor, visto que as pessoas se cansam ou entediam depois de umas poucas horas de caminhada. Mesmo se nós removermos E2 e E3, e for permitido a nós cruzarmos um máximo de dez pontes durante o caminho, ainda há 2330 caminhos a partir dos quais escolhermos. As pessoas geralmente teriam uma preferência quando escolhendo sua caminhada à tarde? Elas escolherão aleatoriamente a partir de todas as possibilidades? Ou há uma ordem oculta afetando as escolhas delas? Essas questões tornam-se ainda mais complicadas quando, como em muitas situações da vida real, mais algumas ordens de magnitude de escolha estão à mão. Em prol de estendermos o nosso escopo para outros sistemas conectados, tomemos uma rede levemente mais abstrata a partir das ciências sociais.
Os experimentos de mundo pequeno (small world) conduzidos por Stanley Milgram, um famoso psicólogo social, nos anos de 1960, tinham como objetivo entenderem a rede de contatos humanos em sociedade. O objetivo principal foi estudar a conectividade das pessoas formada pelas familiaridades delas. Nos experimentos, pediu-se a várias pessoas aleatórias para enviarem independentemente uma carta (cartão postal) para um alvo comum aleatoriamente escolhido. Pediu-se a qualquer um que não conhecesse pessoalmente o alvo para enviar a carta para um amigo que possivelmente o conhecesse. Então, subsequentemente se pediu aos amigos selecionados para agirem da mesma maneira até que a mensagem chegasse. De uma tal maneira, as pessoas eram os nós, e as amizades formavam as arestas da rede, enquanto que o viajante era a carta. Embora muitas das mensagens nunca chegassem, aquelas que o fizeram encontraram um caminho surpreendentemente curto na sequência de familiaridades. Em muitos casos, mesmo dois ou três intermediários foram exatamente suficientes para a carta chegar (o comprimento médio do caminho caiu para perto de 6), a despeito do fato de que os pontos finais da sequência foram cuidadosamente escolhidos para estarem suficientemente distantes um do outro ou geograficamente ou socialmente. O assim chamado de fenômeno do mundo pequeno é bastante impressionante em si mesmo, a forma do caminho que é formada no grafo social também é fascinante. O árbitro por traz do errante nesse caso não é uma única entidade, mas várias independentes, dessa maneira, a rota estabelecida é um fenômeno coletivo. Há qualquer similaridade entre os caminhos tomados por indivíduos ou pelos membros de uma comunidade tendo uma percepção parcialmente divergente do ambiente deles? Eles são melhores descobrindo os caminhos mais curtos? Ou eles também requerem alguns passos laterais supérfluos?
Nós seremos capazes de responder a essas questões em breve, mas, por agora, fiquemos satisfeitos em considerar as redes como boas representativas de todos caminhos imagináveis pertencentes [14]a uma situação específica, porque nós as usaremos por todo este livro. Assim, nós temos redes sobre as quais alguém pode tomar caminhos atravessando nós e arestas em uma sequência particular. Mas quem ou o quê tomará os caminhos? Bem, algumas vezes são pessoas, como no problema das Pontes de Könisberg, algumas vezes uma carta controlada por uma pequena comunidade, como nos experimentos de Milgram. Mas, em um escopo mais amplo, podem haver muitas coisas que podem tomar caminhos. Fofoca (Gossip), estilos de moda, memes e todos os tipos de informação parecem viajar através de redes sociais. Se olharmos dentro do cérebro humano, nós podemos identificar os neurônios como nós e os axônios como arestas. O que viaja através dessa rede? Todos os tipos de informação codificada nos específicos padrões de disparo das células neuronais. Similarmente às redes (as quais podem representar todos os tipos de caminhos), nós temos de descobrir um nome para a alguma coisa que viaja através da rede. A partir de agora, nós chamaremos esses viajantes de “pacotes (packets).” Redes e pacotes serão tudo do que nós necessitaremos para discutir caminhos no escopo mais amplo. Agora, discutamos uma rede muito mais intrincada, através da qual de fato haverá “pacotes” viajantes: pacotes.
A Internet é a maior rede que o homem alguma vez construiu. Começando a partir de uma pequena rede de pesquisa fundada pelo governo dos EUA, ela tornou-se uma imensa interconexão de redes de milhares de computadores por todo o mundo. Em sua fase inicial, a Internet foi similar em tamanho à rede por trás do problema das pontes de Könisberg. Ela tinha tão poucos nós e arestas que alguém poderiam desenhar o seu mapa em um único pedaço de papel (ver fig. 3.3). Após a abertura da rede para o resto do mundo, tornando possível para quase todo mundo se conectar, um jogo interessante começou, o qual ainda está em curso hoje em dia. [15]Nós começaram a juntarem-se à rede de uma forma descoordenada, o que significava que nós e arestas poderiam aparecer quase em qualquer lugar na rede. Como um resultado desse processo, a Internet evoluiu para uma rede grande, complexa, a topologia da qual muda intensamente diariamente. Até desenhar um mapa contemporâneo aproximado foi um grande desafio para pesquisadores de redes e a sua visualização necessitou de algoritmos recentemente desenvolvidos. A despeito dos melhores esforços dos pesquisadores, tais mapas foram capazes de apreender apenas um subconjunto limitado das arestas presentes na Internet. Acima dessa rede grande e em evolução, nossos e-mails, textos de chat, páginas web e vídeos viajam através diariamente. Todos esses dados, convertidos em pequenos pacotes de informação, são transmitidos através de caminhos determinados pelo assim chamado de sistema de “roteamento (routing)” da Internet. Esse sistema de roteamento não tem nenhuma autoridade central que poderia computar os caminhos para cada pacote único. Muito pelo contrário, o sistema de roteamento da Internet é altamente descentralizado, significando que os caminhos são determinados através das interações complexas de milhares de nós. Que tipos de caminhos surgem a partir de um tal processo? Nós sabemos que latência é essencial para serviços de Internet. Nada é mais irritante do que um site da Web que é lento para responder, uma conferência em vídeo atrasando (lagging) ou um vídeo game congelado. Assim é natural que nós esperemos provisionamento para caminhos de baixa latência. Mas isso significa que nós teremos o caminho mais curto entre o nosso computador e o serviço desejado? Lembrar do nosso exemplo dos usuários asiáticos do sistema de proxy aberto pode deixar-nos suspeitos. Como usual, a verdade estará entre os dois extremos. Mas o que são exatamente esses caminhos mais curtos? Agora é a agora de se familiarizar com eles.
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[14]Fig. 3.3 Mapa lógico da ARPANET (a ancestral da Internet) de 1977 [fonte: The Computer History Museum: https://computerhistory.org/]
ORIGINAL:
BIRÓ, J.; GULYÁS, A.; HESZBERGER, Z. Paths: Why is life filled with so many detours? Birkhäuser Cham, 2021. p. 11-15. Disponível em: <https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-030-47545-1>
TRADUÇÃO:
EderNB do Blog Mathesis
Licença: CC BY 4.0
1[12]Na primeira argumentação grafo-teorética alguma vez criada, Euler mostrou que para encontrar um caminho cruzando cada ponte uma vez e apenas uma vez requer que a rede subjacente contenha apenas dois nós com um número ímpar de arestas. Na fig. 3.2, qualquer um pode ver que todos os nós têm um número ímpar de arestas (A tem cinco, enquanto B, C e D têm três), o que torna o problema insolúvel nessa rede.
2[13]Observe que a palavra caminho (path) como usada neste livro corresponde a caminhos (walks) na terminologia da teoria dos grafos.
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