Introdução à Filosofia Matemática
Por Bertrand Russell
Prefácio, Nota do Editor e Conteúdos
[20]Capítulo III Finitude e Indução Matemática
Como nós vimos no capítulo I, a série dos números naturais pode se toda definida se nós soubermos o que queremos dizer pelos três termos “0,” “número” e “sucessor.” Mas nós podemos dar um passo além: nós podemos definir todos os números naturais se nós sabemos o que queremos dizer por “0” e “sucessor.” Ajudar-nos-á a entender a diferença entre finito e infinito ver como isso pode ser feito, e porque o método pelo qual isso é feito não pode ser estendido além do finito. Nós ainda não consideraremos como “0” e “sucessor” devem ser definidos: pelo momento, nós assumiremos que sabemos o que esses termos querem dizer, e, a partir daí, mostraremos como todos os outros números naturais podem ser obtidos.
É fácil ver que nós podemos alcançar qualquer número determinado, digamos, 30.000. Primeiro nós definimos “1” como “o sucessor de 0,” então nós definimos “2” como “o sucessor de 1,” e assim por diante. No caso de um número determinado, tal como 30.000, a prova de que nós podemos alcançá-lo procedendo passo a passo dessa maneira pode ser produzida, se nós tivermos paciência, através do experimento efetivo: nós podemos seguir até que efetivamente alcancemos 30.000. Mas embora o método de experimento esteja disponível para cada número natural particular, ele não está disponível para a proposição geral de que todos esses números podem ser alcançados através desse caminho, ou seja, procedendo-se a partir do 0 e de cada número, passo a passo, até o seus sucessores. Há alguma outra maneira através do qual isso pode ser provado?
Consideremos a questão no sentido contrário. Quais os números naturais que podem ser alcançados, dados os termos “0” e [21]“sucessor”? Há alguma maneira pela qual nós possamos definir a classe inteira desse números? Nós podemos alcançar 1, como o sucessor de 0; 2, como o sucessor de 1; 3, como o sucessor de 2; e assim por diante. É este “e assim por diante” que nós desejamos substituir por alguma coisa menos vaga e indefinida. Nós poderíamos ficar tentados a dizer que “e assim por diante” significa que o processo de prosseguir para o sucessor pode ser repetido qualquer número finito de vezes; mas o problema no qual nós estamos envolvidos é o problema de definir “número finito,” e, portanto, nós não temos de usar essa noção na nossa definição. A nossa definição não tem de presumir que nós sabemos o que é um número finito.
A chave para o nosso problema está na indução matemática. Será lembrado que, no capítulo 1, ela foi a quinta das cinco proposições primitivas que nós estabelecemos sobre os números naturais. Foi formulado que qualquer propriedade que pertence ao 0, e ao sucessor de qualquer número que tenha essa propriedade, pertence a todos os números naturais. Naquela altura isso foi apresentado como um princípio, mas agora nós devermos adotá-lo como uma definição. Não é difícil ver que os termos obedecendo a ela são os mesmos que os números que podem ser alcançados a partir do 0 através de passos sucessivos do próximo para o próximo, mas, visto que o ponto é importante, nós demonstraremos a questão em algum detalhe.
Nós deveremos começar bem com algumas definições, as quais também serão úteis em outras conexões.
Uma propriedade é dita ser “hereditária” na série de números naturais se, sempre que ela pertencer a um número n, ela também pertence a n+1, o sucessor de n. Similarmente, uma classe é dita ser “hereditária” se, sempre que n for um membro da classe, assim é n+1. É fácil de ver, embora ainda não seja suposto que nós conheçamos, que dizer que uma propriedade é hereditária é equivalente a dizer que ela pertence a todos os números naturais não menores do que alguns deles, por exemplo, ela tem de pertencer a todos não são menores do que 100, ou todos que são menores do que 1000, ou pode ser que ela pertença a todos que não são menores do que 0, ou seja, a todos, sem exceção.
Uma propriedade é dita ser “indutiva” quando ela é uma [22]propriedade hereditária que pertence ao 0. Similarmente, uma classe é “indutiva” quando ela é uma classe hereditária da qual 0 é um membro.
Dada uma classe hereditária da qual 0 é um membro, segue-se que 1 é um membro dela, porque uma classe hereditária contém os sucessores dos seus membros, e 1 é o sucessor de 0. Similarmente, dada uma classe hereditária da qual 1 é um membro, segue-se que 2 é um membro dela; e assim por diante. Assim nós podemos provar através de um procedimento passo a passo que qualquer que qualquer número natural atribuído, digamos, 30.000, é um membro de toda classe indutiva.
Nós definiremos a “posteridade” de um dado número natural com respeito à relação “predecessor imediato” (a qual é a inversa de “sucessor”) como todos aqueles termos que pertencem a toda classe hereditária à qual o dado número pertence. Novamente, é fácil ver que a posteridade de um número natural consiste em si mesmo e em todos os números naturais maiores; mas também isso nós ainda não conhecemos oficialmente.
Pelas definições acima, a posteridade de 0 consistirá naqueles termos que pertencem a toda classe indutiva.
Agora, não é difícil tornar óbvio que a posteridade de 0 é o mesmo conjunto que aqueles termos que podem ser alcançados a partir de 0 através de passos sucessivos do próximo para o próximo. Pois, em primeiro lugar, 0 pertence a ambos esses conjuntos (no sentido no qual nós definimos os nossos termos); em segundo lugar, se n pertence a ambos os conjuntos, assim o faz n+1. Deve ser observado que nós estamos lidando aqui com o tipo de questão que não admite prova precisa, a saber, a comparação de uma ideia relativamente vaga com uma relativamente precisa. A noção de “aqueles termos que podem ser alcançados a partir de 0 através de passos sucessivos do próximo para o próximo” é vaga, embora pareça como se ela comunicasse um significado definido; por outro lado, “a posteridade de 0” é precisa e explícita, precisamente onde a outra ideia é obscura. Ela pode ser aceita como fornecendo o que nós quisemos dizer quando falamos dos termos que podem ser alcançados a partir de 0 através de passos sucessivos.
Agora nós estabelecemos a seguinte definição:-
Os “números naturais” são a posteridade de 0 com respeito à [23]relação de “predecessor imediato” (a qual é a inversa de “sucessor”).
Dessa maneira nós chegamos a uma definição de uma das três ideias primitivas de Peano nos termos das outras duas. Como um resultado dessa definição, duas das proposições primitivas dele – a saber, aquela afirmando que 0 é um número e aquela afirmando a indução matemática – tornam-se desnecessárias, uma vez que elas resultam da definição. Aquela afirmando que o sucessor de um número natural é um número natural é necessária apenas na forma enfraquecida “todo número natural tem um sucessor.”
É claro, nós podemos facilmente definir “0” e “sucessor” através da definição de número no geral, a qual nós alcançamos no capítulo II. O número 0 é o número de termos em uma classe que não tem membros, ou seja, na classe que é chamada de a “classe-nula.” Pela definição geral de número, o número de termos na classe-nula é o conjunto de todas as classes similares à classe-nula, ou seja (como é facilmente provado) o conjunto consistindo na classe-nula completamente sozinha, ou seja, a classe cujo único membro é a classe-nula. (Isso não é idêntico à classe-nula; ela tem um membro, a saber, a classe-nula, ao passo que a classe-nula mesma não tem membros. Uma classe que tem um membro nunca é idêntica com esse único membro, como nós devermos explicar quando chegarmos à teoria das classes.) Dessa maneira, nós temos a seguinte definição puramente lógica:-
0 é a classe cujo único membro é classe nula.
Resta definir “sucessor.” Dado qualquer número n, que a seja a uma classe que tenha n membros, e seja x um termo que não é membro de a. Então a classe consistindo em a com x acrescentado terá n+1 membros. De maneira nós temos a seguinte definição:-
O sucessor do número de termos na classe a é o número de termos no qual a classe consistindo em a junto com x, onde x é qualquer termo não pertencendo à classe.
Certas sutilezas são requeridas para tornar perfeita essa definição, mas elas não têm de nos preocupar.1 Será lembrado que nós [24]já fornecemos (no capítulo II) uma definição lógica do número de termos em uma classe, a saber, nós definimos isso como o conjunto de todas as classes que são similares à classe dada.
Dessa maneira, nós reduzimos as três ideias primitivas de Peano a ideias da lógica: nós fornecemos definições delas que as tornam definidas, não mais capazes de uma infinidade de significados diferentes, como elas eram quando foram determinadas apenas na extensão de obedecerem aos cinco axiomas de Peano. Nós as removemos do aparato fundamental de termos que têm de necessariamente serem apreendidos e, desse modo, intensificamos a articulação dedutiva da matemática.
Com respeito às cinco proposições primitivas, nós já tivemos sucesso em tornar duas delas demonstráveis através da nossa definição de “número natural.” Como isso se alinha com as três restantes? É muito fácil provar que 0 não é o sucessor de nenhum número, e que o sucessor de qualquer número é um número. Mas há uma dificuldade sobre a proposição primitiva restante, a saber, “nenhum par de números têm o mesmo sucessor.” A dificuldade não surge a menos que o número total de indivíduos no universo seja finito; pois, dados dois números m e n, nenhum dos quais é o número total de indivíduos no universo, é fácil provar que nós não podemos ter m+1=n+1, a menos que nós tenhamos m=n. Mas suponhamos que o número total de indivíduos no universo fosse (digamos) 10; então não haveria nenhuma classe de 11 indivíduos, e o número 11 seria a classe-nula. Assim seria o número 12. Desse modo nós deveríamos ter 11=12; portanto, o sucessor de 10 seria o mesmo que o sucessor de 11, embora 10 não seria o mesmo que 11. Desse modo, nós deveríamos ter dois números diferentes com o mesmo sucessor. Contudo, essa falha do terceiro axioma não pode surgir se o número de indivíduos no mundo não for finito. Nós deveremos retornar a esse tópico em um estágio posterior.2
Assumindo que o número de indivíduos no universo não é finito, nós agora não apenas tivemos sucesso em definir as [25]três ideias primitivas de Peano, mas em ver como provar as cinco proposições primitivas delas, através de ideias e proposições primitivas pertencentes à lógica. Segue-se que toda a matemática pura, na medida que ela é dedutível da teoria dos números naturais, é apenas um prolongamento da lógica. A extensão desse resultado àqueles ramos modernos que não são dedutíveis a partir da teoria dos números naturais não oferece dificuldades de princípio, como nós mostramos em outro lugar.3
O processo da indução matemática, através do qual nós definimos os números naturais, é capaz de generalização. Nós definimos os números naturais como a “posteridade” do 0 com respeito à relação de um número com o seu sucessor imediato. Se nós chamarmos essa relação de N, qualquer número m terá essa relação com m+1. Uma propriedade é “hereditária com respeito a N, ou simplesmente “hereditária-N,” se, sempre que a propriedade pertence a um número m, ela também pertence a m+1, ou seja, ao número com o qual se tem a relação N. E um número n será dito pertencer à “posteridade” de m com respeito à relação N se n tem toda propriedade hereditária-N pertencente a m. Essas definições podem ser aplicadas a qualquer outra relação exatamente tão bem quanto N. Dessa modo, se R é qualquer relação que seja, nós podemos estabelecer as definições seguintes:4-
Uma propriedade é chamada de “hereditária-R” quando, se ela pertence ao termo x, e x tem a relação R com y, então ela pertence a y.
Uma classe é hereditária-R quando a sua propriedade definidora é hereditária-R.
Um termo x é dito ser um “ancestral-R” do termo y se y tem toda propriedade-R que x tem, com a condição de que x seja um termo que tenha a relação R com alguma coisa ou com o qual alguma coisa tem a relação R. (Isso é apenas para excluir casos triviais.)
[26]A “posteridade-R” de x são todos os termos dos quais x é um ancestral-R.
Nós construímos as definições acima de modo que, se um termo é o ancestral de qualquer coisa, ele é o seu próprio ancestral e pertence à sua própria posteridade. Isso é meramente por conveniência.
Será observado que se nós tomarmos por R a relação de “pais,” “ancestral” e “posteridade” terão os significados usuais, exceto que uma pessoa estará incluída entre os seus próprios ancestrais e posteridade. É claro, é imediatamente óbvio que “ancestral” tem de ser capaz de definição nos termos de “pais,” mas até que Frege desenvolvesse sua teoria generalizada da indução, ninguém poderia ter definido “ancestral” precisamente em termos de “pais.” Uma breve consideração desse ponto servirá para mostrar a importância para a teoria. Uma pessoa confrontada pela primeira ver com o problema de definir “ancestral” nos termos de “pais” naturalmente diria que A é um ancestral de Z se, entre A e Z, há um certo número de pessoas, B, C, …, de quem B é um filho de A, cada uma é pai do próximo, até que o último é pai de Z. Mas essa definição não é adequada, a menos que nós acrescentemos que o número de termos intermediários deve ser finito. Por exemplo, tome-se uma série tal como a seguinte:-
-1, -1/2, -1/4, -1/8, … 1/8, ¼, ½, 1.
Aqui nós temos primeiro uma série de frações negativas sem fim, e, em seguida, uma série de frações positivas sem começo. Nós devemos dizer que, nessa série, -1/8 é um ancestral de 1/8? Será isso, de acordo com a definição de iniciante sugerida acima, mas não será assim de acordo com nenhuma definição que fornecerá o tipo de ideia que nós desejamos definir. Para esse propósito é essencial que o número de intermediários deva ser finito. Mas, como nós vimos, “finito” deve ser definido através de indução matemática, e é mais simples definir a relação ancestral de modo geral imediatamente do que defini-la primeiro para o caso da relação de n com n+1, e então estendê-la para outros casos. Aqui, como constantemente em outros lugares, generalidade desde o começo, embora possa [27]requerer mais pensamento no início, será considerado, a longo prazo, economizar pensamento e aumentar poder lógico.
No passado, o uso da indução matemática era um pouco de um mistério. Não parecia haver dúvida razoável de que ela era um método de prova válido, mas ninguém sabia bastante porque ela era válida. Alguns acreditavam que ela era realmente um caso de indução, no sentido no qual essa palavra era usada na lógica. Poincaré5 considerou ser um princípio de máxima importância, através do qual um número infinito de silogismos poderia ser condensado em um argumento. Nós sabemos que todas essas visões estão equivocadas, e que a indução matemática é uma definição, não um princípio. Há alguns números aos quais ela pode ser aplicada, e há outros, (como nós deveremos ver no capítulo VIII) aos quais ela não pode ser aplicada. Nós definimos os “números naturais” como aqueles aos quais as provas da indução matemática podem ser aplicados, ou seja, como aqueles que possuem todas as propriedades indutivas. Segue-se que tais provas podem ser aplicadas aos números naturais, não em virtude de nenhuma intuição ou axioma ou princípio misterioso, mas como uma proposição puramente verbal. Se “quadrúpedes” são definidos como animais tendo quatro pernas, seguir-se-á que animais que têm quatro pernas são quadrúpedes; e o caso dos números que obedecem à indução matemática é exatamente similar.
Nós deveremos usar a frase “números indutivos” para significar o mesmo conjunto que até agora nós estivemos falando como de os “números naturais.” A frase “números indutivos” é preferível visto que proporcionando um lembrete de que a definição desse conjunto de números é obtida a partir de indução matemática.
Mas do que qualquer outra coisa, a indução matemática proporciona a característica essencial pela qual o finito é distinguido do infinito. O princípio da indução matemática poderia ser formulado popularmente de alguma forma tal como “o quê pode ser inferido do próximo para o próximo pode ser inferido do primeiro para o último.” Isso é verdadeiro quando o número de passos intermediários entre o primeiro e o último é finito, não no caso contrário. Qualquer um que alguma vez [28]observou um trem de bens começando a mover-se terá notado como o impulso é comunicado com um puxão de cada vagão para o seguinte, até que finalmente até o último vagão esteja em movimento. Quando o trem é muito longo, é um tempo muito longo antes que o último caminho mova-se. Se o trem fosse infinitamente longo, haveria uma sucessão infinita de puxões e nunca chegaria o momento quando todo o trem estivesse em movimento. Mesmo assim, se houvesse uma série de vagões não mais longa do que a série de números indutivos (a qual, como nós deveremos ver, é uma instância dos menores dos infinitos), cada vagão começaria a mover-se mais cedo ou mais tarde, se o motor dele perseverasse, embora sempre haveria outros vagões mais atrás que ainda não tinham começado a se moverem. Essa imagem ajudará a elucidar o argumento do próximo para o próximo e a sua conexão com a finitude. Quando se chega ao infinito, onde os argumentos a partir da indução matemática não mais serão válidos, as propriedades de tais números ajudarão a tornar claro, por contraste, o uso quase inconsciente que é feito onde se diz respeito a números finitos.
ORIGINAL:
RUSSELL, B. Introduction to Mathematical Philosophy. London: G. Allen & Unwin, 1919. p. 20-28. Disponível em: <https://archive.org/details/introductiontoma00russ/page/20/mode/1up>
TRADUÇÃO:
EderNB do Blog Mathesis
Licença: CC BY-NC-SA 4.0
1[23]Ver Principia Mathematica, vol. ii. * 110.
2[24]Ver capítulo XIII.
3[25]Para a geometria, na medida que ela não é puramente analítica, ver Principles of Mathematics, parte vi; para a dinâmica racional, ibid., parte vii.
4Essas definições, e a teoria generalizada da indução, são devidas a Frege, e foram publicadas há tanto tempo quanto em 1879, no seu Begriffsschrift. A despeito do grande valor dessa obra, eu acredito que fui a primeira pessoa que alguma vez a leu – mais de vinte naos depois da sua publicação.
5[27]Science and Method, cap. iv.
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