Introdução à Filosofia Matemática
Por Bertrand Russell
Prefácio, Nota do Editor e Conteúdos
[11]Capítulo II Definição de Número
A questão “O que é um número?” é uma que frequentemente tem sido perguntada, mas apenas foi corretamente respondida na nossa época. A resposta foi dada por Frege em 1884, nos seus Grundlagen der Arithmetik.1 Embora esse livro seja bastante curto, não difícil, e da mais alta importância, ele atraiu quase nenhuma atenção, e a definição de número que ele contém permaneceu praticamente desconhecida até que ela foi redescoberta pelo presente autor em 1901.
Ao buscar uma definição de número, a primeira coisa sobre a qual ser claro é o que nós podemos chamar de a gramática da nossa investigação. Muitos filósofos, quando tentando definir, estão realmente começando a trabalhar para definir a pluralidade, a qual é uma coisa muito diferente. Número é o quê é característico de número, como homem é o quê é característico de homens. Uma pluralidade não é uma instância de número, mas de algum número particular. Por exemplo, um trio de homens é uma instância do número 3, e o número 3 é uma instância de número; mas o trio não é uma instância de número. Esse ponto parece elementar e escassamente digno de menção; contudo, ele tem se provado sútil demais para os filósofos, com poucas exceções.
Um número particular não é idêntico a nenhuma coleção de termos tendo esse número: o número e não é idêntico [12]ao trio consistindo em Brown, Jones e Robinson. O número 3 é alguma coisa que todos os trios têm em comum, e que os distingue de todas as outras coleções. Um número é alguma coisa que caracteriza certas coleções, a saber, aquelas que têm esse número.
Como uma regra, em vez de falarmos de uma “coleção,” nós devemos falar de uma “classe” ou, algumas vezes de um “conjunto.” Outras palavras usadas na matemática para a mesma coisa são “agregado” e “múltiplo (manifold).” Depois nós deveremos ter muito a dizer sobre classes. Pelo presente, nós diremos tão pouco quanto possível. Mas há algumas observações que têm de ser feitas imediatamente.
Uma classe ou coleção pode ser definida de duas maneiras que, à primeira vista, parecem bastante distintas. Nós podemos enumerar seus números, como quando nós dizemos, “A coleção que eu quero dizer é Brown, Jones e Robinson.” Ou nós podemos mencionar uma definição de propriedade, como quando nós falamos em “humanidade” ou “os habitantes de Londres.” A definição que enumera é chamada de uma definição por “extensão,” e aquela que menciona uma propriedade definidora é chamada de uma definição por “intenção.” Desses dois tipos de definição, aquela que é por intenção é logicamente mais fundamental. Isso é revelado por duas considerações: (1) que a definição extensional sempre pode ser reduzida a uma intencional; (2) que a intencional frequentemente não pode, nem mesmo teoricamente, ser reduzida à extensional. Cada um desses pontos necessita de uma palavra de explicação.
(1) Brown, Jones e Robinson, todos eles possuem uma certa propriedade que não é possuída por nada mais no universo inteiro, a saber, a propriedade de serem ou Brown, ou Jones ou Robinson. Essa propriedade pode ser usada para dar uma definição por intenção da classe consistindo em Brown e Jones e Robinson. Considere uma fórmula tal como “x é Brown ou x é Jones ou x é Robinson.” Essa fórmula será verdadeira para exatamente os três x, a saber, Brown e Jones e Robinson. Nesse aspecto, ela assemelha-se a uma equação cúbica com suas três raízes. Ela pode ser tomada como atribuindo uma propriedade comum aos membros da classe consistindo nesses três [13]homens, e peculiar a eles. Um tratamento similar obviamente pode ser aplicado a qualquer outra classe dada em extensão.
(2) É óbvio que na prática nós frequentemente podemos conhecer muito sobre uma classe sem sermos capazes de enumerar os membros dela. Ninguém poderia efetivamente enumerar todos os homens, ou mesmo todos os habitantes de Londres, contudo, bastante é conhecido sobre cada uma dessas classes. Isso é suficiente para mostrar que a definição por extensão não é necessária para o conhecimento sobre uma classe. Mas quando nós chegamos a considerar classes infinitas, nós descobrimos que a enumeração nem mesmo é teoricamente possível para seres que apenas vivem por um tempo finito. Nós não podemos enumerar todos os números naturais: eles são 0, 1, 2, 3, e assim por diante. Em algum ponto nós temos de nos contentar com “e assim por diante.” Nós não podemos enumerar todas as frações ou todos os números irracionais, ou todos de qualquer outra coleção infinita. Dessa maneira, o nosso conhecimento com respeito a tais coleções apenas pode ser derivado a partir de uma definição por intenção.
Essas observações são relevantes, quando nós estamos buscando uma definição de número, de três maneiras diferentes. Em primeiro lugar, os números mesmo formam uma coleção infinita e, portanto, não podem ser definidos por enumeração. Em segundo lugar, as coleções mesmas tendo um dado número de termos presumivelmente formam uma coleção infinita: por exemplo, deve ser presumido que há uma coleção infinita de trios no mundo, pois se esse não fosse o caso, o número total de coisas no mundo seria finito, o que, embora possível, parece improvável. Em terceiro lugar, nós desejamos definir “número” de uma maneira tal que números infinitos possam ser possíveis; dessa maneira, nós temos de ser capazes de falar do número de termos de uma coleção infinita, e uma tal coleção tem de ser definida por intenção, ou seja, por uma propriedade comum a todos os seu números e peculiar a eles.
Para muitos propósitos, uma classe e uma característica definidora são praticamente intercambiáveis. A diferença vital entre as duas consiste no fato de que apenas há uma classe tendo um dado conjunto de membros, ao passo que sempre há muitas características diferentes pelas quais uma dada classe pode ser definida. Homens [14]podem ser definidos como bípedes implumes, ou como animais racionais, ou (mais corretamente) pelos traços através dos quais Swift delineia os yahoos. É esse fato de que uma característica definidora nunca é única que torna úteis as classes; de outra maneira, nós poderíamos ficar contente com as propriedades comuns e peculiares aos seus membros.2 Qualquer uma dessas propriedades pode ser usada no lugar da classe sempre que a unicidade não for importante.
Retornando agora à definição de número, é claro que número é uma maneira de juntar certas coleções, a saber, aquelas que têm um dado número de termos. Nós podemos supor todos as duplas (couples) em um pacote (bundle), todos os trios em outro, e assim por diante. Dessa maneira, nós podemos obter vários pacotes de coleções que têm um certo número de termos. Cada pacote é uma classe cujos membros são coleções, ou seja, classes; dessa maneira, cada um é uma classe de classes. O pacote consistindo em todas as duplas, por exemplo é uma classe de classes: cada dupla é uma classe com dois membros, e o pacote inteiro de duplas é uma classe com um número infinito de membros, cada um dos quais é uma classe de dois membros.
Como nós deveremos decidir se duas coleções devem pertencer ao mesmo pacote? A resposta que sugere a si mesma é: “Descubra quantos membros cada uma tem, e coloque-os no mesmo pacote se eles tiverem o mesmo número de membros.” Mas isso pressupõe que nós tenhamos definido os números, e que nós saibamos como descobrir quantos termos uma coleção tem. Nós estamos tão acostumados com a operação de contagem que uma tal pressuposição facilmente pode passar despercebida. Contudo, de fato, a contagem, embora familiar, é logicamente uma operação muito complexa; além disso, ela está disponível, como um meio de descobrir quantos termos uma coleção tem, quando a coleção é finita. A nossa definição de número não tem de assumir antecipadamente que todos os números são finitos; e, em qualquer caso, nós não podemos, sem um círculo vicioso, [15]usar a contagem para definir números, porque os números são usados na contagem. Portanto, nós necessitamos de algum outro método para decidir quando duas coleções têm o mesmo número de termos.
De fato, é logicamente mais simples descobrir se duas coleções têm o mesmo número de termos do que é definir qual é esse número. Uma ilustração tornará isso mais claro. Se não houvesse poligamia ou poliandria em nenhum lugar do mundo, é claro que o número de esposos vivos em qualquer momento seria exatamente o mesmo que o número de esposas. Nós não necessitamos de um censo para nos assegurar disso, nem nós necessitamos saber qual é o número atual de esposos e de esposas. Nós sabemos que o número tem de ser o mesmo em ambas coleções, porque cada esposo tem uma esposa e cada esposa tem um esposo. A relação de esposo e esposa é o que é chamado de “um-um.”
Uma relação é dita ser “um-um (one-one)” quando, se x tem a relação em questão com y, nenhum outro termo x’ tem a mesma relação com y, e x não tem a mesma relação com nenhum termo y’ além de y. Quando apenas a primeira dessas duas condições é satisfeita, a relação é chamada de “um-muitos”; quando apenas a segunda é satisfeita, ela é chamada de “muitos-um.” Deveria ser observado que o número um não é usado nessas definições.
Em países cristãos, a relação de esposo para esposa é um-um; em países islâmicos ela é um-muitos; no Tibete, ela é muitos-um. A relação de pai para filho é de um-muitos; aquela de filho para pai é de muitos-um, mas aquela de filho mais velho para pai é de um-um. Se n for qualquer número, a relação de n para n+1 é um-um; assim é a relação de n para 2n ou 3n. Quando nós estamos considerando apenas números positivos, a relação de n para n2 é um-um; mas quando números negativos são admitidos, ela torna-se de dois-um, uma vez que n e -n têm o mesmo quadrado. Essas instâncias devem ser suficientes para tornar claras as noções das relações um-um, um-muitos e muitos-um, as quais desempenham uma grande parte nos princípios das matemáticas, não apenas em relação à definição de números, mas em muitas outras conexões.
Duas classes são ditas serem “similares” quando há uma relação um-um [16]que correlaciona os termos de uma classe com os termos da outra classe, da mesma maneira na qual a relação de casamento correlaciona esposos com esposas. Umas poucas definições preliminares ajudar-nos-ão a formular essa definição mais precisamente. A classe daqueles termos que têm uma relação dada com alguma coisa ou outra é chamada de o domínio dessa relação: desse modo, os pais são o domínio da relação de pai para filhos, esposos o domínio da relação de esposo para esposa, esposas são o domínio da relação de esposa para esposo, e esposos e esposas juntos são o domínio para a relação de casamento. A relação de esposa para esposo é chamada de a reversa da relação de esposo para esposa. Semelhantemente, menor é a reversa de maior, depois é a reversa de antes, e assim por diante. De modo geral, a reversa de uma dada relação é aquela relação que vale entre y e x sempre que a relação dada vale entre x e y. O domínio reverso de uma relação é o domínio da sua reversa: dessa maneira, a classe de esposas é o domínio reverso da relação de esposos para esposa. Nós agora podemos formular a nossa definição de similaridade domo se segue:-
Uma classe é dita ser “similar” a outra quando há uma relação um-um da qual uma classe é o domínio enquanto que a outra é o domínio reverso.
É fácil provar (1) que toda classe é similar a si mesma, (2) que, se uma classe α é similar a uma classe β, então β é similar a α, (3) que se α é similar a β e β é similar a γ, então a é similar a γ. uma relação é dita se reflexiva quando ela possui a primeira dessas propriedades, simétrica quando ela possui a segunda e transitiva quando ela possui a terceira. É óbvio que uma relação que seja simétrica e transitiva tem de ser reflexiva por todo o seu domínio. Relações que possuem essas propriedades são de um tipo importante, e é digno de nota observar que a similaridade é uma desse tipo de relações.
É óbvio para o senso comum que duas classes finitas têm o mesmo número de termos se elas são similares, mas não caso contrário. O ato da contagem consiste no estabelecimento de uma correlação um-um [17]entre o conjunto de objetos contados e os números naturais (excluindo o 0) que são usados no processo. Portanto, o senso comum conclui que há tantos números no conjunto a ser contado quanto há números até o último número usado na contagem. E nós também sabemos que, enquanto nos confinarmos a números finitos, há exatamente n números, de 1 até n. Consequentemente, segue-se que o último número usado na contagem de uma coleção é o número de termos na coleção, com a condição de que a coleção seja finita. Mas esse resultado, além de ser aplicável apenas a coleções finitas, depende de e assume o fato de que duas classes que são similares têm o mesmo número de termos; pelo que (digamos) o que nós fazemos quando contamos 10 objetos é mostrar que o conjunto desses objetos é similar ao conjunto dos números de 1 a 10. A noção de similaridade é logicamente pressuposta na operação de contagem e é logicamente mais simples, embora menos familiar. Na contagem, é necessário tomar os objetos contados em uma certa ordem, como primeiro, segundo, terceiro, etc, mas a ordem não é da essência do número: é uma adição irrelevante, uma complicação desnecessária a partir do ponto de vista lógico. A noção de similaridade não demanda uma ordem: por exemplo, nós vimos que o número de esposos é o mesmo que o número de esposas, sem ter de estabelecer uma ordem de precedência ente eles. A noção de similaridade também não requer que as classes que são similares devam ser finitas. Por exemplo, tomem-se os números naturais (excluindo o 0), por um lado, e as frações que têm 1 como seu numerador, pelo outro: é óbvio que nós podemos correlacionas 2 com ½, 3 com 1/3 e assim por diante, provando, dessa maneira, que as duas classes são similares.
Dessa maneira, nós podemos usar a noção de “similaridade” para decidir se duas coleções devem pertencer ao mesmo pacote, no sentido no qual nós estivemos perguntando essa questão mais cedo neste capítulo. Nós queremos criar um pacote contendo a classe que não tem números: esse será o número 0. Então nós queremos um pacote de todas as classes que têm um número: esse será o número 1. Então, para o número 2, nós queremos um pacote consistindo em todas duplas; então um [18]de todos os trios; e assim por diante. Dada qualquer coleção, nós podemos definir o pacote ao qual ela pertence como sendo a classe de todas as coleções que são “similares” a ela. É muito fácil ver que (por exemplo) uma coleção tem três membros, a classe de todas aquelas coleções que são similares a ela serão a classe de trios. E qualquer número de termos que uma coleção possa ter, aquelas coleções que são “similares” a ela terá o mesmo número de termos. Nós podemos tomar isso como uma definição de “ter o mesmo número de termos.” É óbvio que isso dá resultados conformáveis ao uso, enquanto nos contivermos a coleções finitas.
Até agora, nós não sugerimos nada no mínimo grau paradoxal. Mas quando se chega à definição atual de números, nós não podemos evitar o que, à primeira vista, tem de parecer um paradoxo, embora logo essa impressão desaparecerá. Nós naturalmente pensamos que a classe de duplas (por exemplo) é alguma coisa diferente do número 2. Mas não há dúvida sobre a classe de duplas: ela é indubitável e não difícil de definir, ao passo que o número 2, em qualquer outro sentido, é uma entidade metafísica sobre a qual nós nunca podemos nos sentir seguros que ela existe ou que nós a localizamos. Portanto, é mais prudente contentar a nós mesmos com a classe de duplas, da qual nós estamos certos, do que caçar um problemático número 2 que sempre tem de permanecer elusivo. Portanto, nós estabelecemos a seguinte definição:-
O número de uma classe é a classe de todas aquelas classes que são similares a ela.
Dessa forma, o número de uma dupla será a classe de todas as duplas. De fato, a classe de todas as duplas será o número 2, de acordo com a nossa definição. Ao custo de uma pequena estranheza, essa definição assegura definitividade e indubitabilidade; e não é difícil provar que números assim definidos têm todas as propriedades que nós esperamos que os números tenham.
Agora nós podemos prosseguir para definir números em geral como qualquer um dos pacotes no qual a similaridade coleta classes. Um número será um conjunto de classes tais que quaisquer duas sejam similares uma a [19]outra, e nenhuma fora do conjunto seja similar com qualquer uma dentro do conjunto. Em outras palavras, um número (em geral) é qualquer coleção que é o número de um dos seus membros; ou, mais simplesmente ainda:
Um número é qualquer coisa que é o número de alguma classe.
Uma tal definição tem a aparência verbal de ser circular, mas, de fato, ela não é. Nós definimos “o número de uma dada classe” sem usar a noção de número em geral; portanto, nós podemos definir o número em geral nos termos de “o número de uma dada classe” sem cometermos nenhum erro lógico.
De fato, definições desse tipo são muito comuns. Por exemplo, a classe de pais teria de ser definida inicialmente definindo o que é ser o pai de alguém; então a classe de pais será todos aqueles que são pais de alguém. Similarmente, se nós queremos (digamos) definir números quadrados, nós primeiramente temos de definir o que nós queremos dize dizendo que um número é o quadrado do outro, e então definirmos números quadrados como aqueles que são os quadrados de outros números. Esse tipo de procedimento é muito comum, e é importante compreender que ele é legítimos e até frequentemente necessário.
Nós agora demos uma definição de números que servirá para coleções finitas. Resta a ser visto como ela servirá para coleções infinitas. Mas, primeiro, nós temos de decidir o que nós queremos dizer por “finito” e “infinito,” o que não pode ser feito dentro dos limites do capítulo presente.
ORIGINAL:
RUSSELL, B. Introduction to Mathematical Philosophy. London: G. Allen & Unwin, 1919. p. 11-19. Disponível em: <https://archive.org/details/introductiontoma00russ/page/11/mode/1up>
TRADUÇÃO:
EderNB do Blog Mathesis
Licença: CC BY-NC-SA 4.0
1[11]A mesma resposta é dada mais completamente e com mais desenvolvimento nos seus Grundgesetze der Arithmetik, vol. i, 1893.
2[14]Como será explicado posteriormente, classes podem ser consideradas como ficções lógicas, manufaturadas a partir de características definidoras. Mas, pelo presente, simplificará nossa exposição tratar classes como se elas fossem reais.
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