Introdução à Filosofia Matemática
Por Bertrand Russell
Prefácio, Nota do Editor e Conteúdos
[1]Capítulo I A Série dos Números Naturais
A matemática é um estudo que, quando nós começamos a partir das suas porções mais familiares, pode ser perseguido em qualquer uma de duas direções opostas. A direção mais familiar é construtiva, na direção de complexidade gradualmente crescente: de inteiros a frações, números reais, números complexos; de adição e multiplicação a diferenciação e integração, e para matemática superior. A outra direção, a qual é menos familiar, prossegue, através de análise, para abstração e simplicidade lógica cada vez maiores; em vez de perguntarmos o que pode ser definido e deduzido a partir do que é assumido para se começar, nós perguntamos que ideias e princípios mais gerais podem ser encontrados, em termos dos quais o que foi o nosso ponto de partida pode ser definido ou deduzido. É o fato de perseguir essa direção oposta que caracteriza a filosofia matemática enquanto oposta à matemática ordinária. Mas deveria ser entendido que a distinção não é algo no assunto, mas no estado de mente do investigador. Os antigos geômetras gregos, passando das regras empíricas da agrimensura (land-surveying) egípcia para proposições gerais pelas quais aquelas regras foram consideradas serem justificáveis, e, a partir dai, para os axiomas e postulados de Euclides, estavam engajados em filosofia matemática, de acordo com a definição acima; mas quando, uma vez que os axiomas e postulados tenham sido alcançados, o emprego dedutivo deles, como nós encontramos em Euclides, pertenceu à matemática no [2]sentido ordinário. A distinção entre matemática e filosofia matemática é uma que depende do interesse inspirando a pesquisa, e do estágio que a pesquisa alcançou; não das proposições com as quais a pesquisa está preocupada.
Nós podemos formular a mesma distinção na outra direção. As coisas mais óbvias e simples na matemática não são aquelas que vêm logicamente no começo; elas são coisas que, a partir do ponto de vista da dedução lógica, vêm em qualquer parte do meio. Exatamente como os corpos mais fáceis de enxergar são aqueles que não estão nem muito próximos, nem muito longe, nem são muito pequenos, nem muito grandes, assim as concepções mais fáceis de apreender são aquelas que não são nem muito complexas, nem muito simples (usando “simples” em um sentido lógico). E como nós necessitamos de dois tipos de instrumentos, o telescópio e o microscópio, para o alargamento dos nossos poderes visuais, assim nós necessitamos de dois tipos de instrumentos para o alargamento dos nossos poderes lógicos, um para nos levar adiante até a matemática superior, o outro para nos levar para trás para os fundamentos lógicos das coisas que nós estamos inclinados a aceitar como certas na matemática. Nós deveremos descobrir que, através da análise das nossas noções matemáticas ordinárias, nós adquirimos intuição nova, novos poderes e os meios de alcançar temas matemáticos inteiramente novos ao adotarmos linhas de avanço segundo a nossa jornada para trás. É o propósito deste livro explicar filosofia matemática de maneira simples e não técnica, sem alargar aquelas porções que sejam tão duvidosas ou difíceis que um tratamento elementar escassamente seja possível. Um tratamento completo será encontrado em Principia Mathematica;1 o tratamento no presente é intencionado meramente como uma introdução.
Para a pessoa média educada do presente, o óbvio ponto de partida da matemática seria a série de números inteiros,
1, 2, 3, 4, … etc.
[3]Provavelmente, apenas uma pessoa com algum conhecimento matemático pensaria em começar com 0 em vez de 1, mas nós presumiremos esse grau de conhecimento; nós tomaremos como nosso ponto de partida a série:
0, 1, 2, 3, … n, n+1, …
e é essa série que nós deveremos intencionar quando nós falarmos em “série dos números naturais.”
É apenas em um elevado estágio de civilização que nós poderíamos tomar essa série como nosso ponto de partida. Tem de ter requerido muitas eras para descobrir que um par de faisões e um par de dias eram ambos instâncias do número 2: o grau de abstração envolvido está longe do fácil. E a descoberta de que 1 é um número tem de ter sido difícil. Quanto ao 0, ele é de uma adição muito recente; os gregos e romanos não tinham um tal dígito. Se nós fôssemos embarcar em filosofia matemática em dias antigos, nós deveríamos ter de começar com alguma coisa menos abstrata do que a série dos números naturais, a qual nós deveríamos alcançar como um estágio em nossa viagem para trás. Quando os fundamentos lógicos da matemática tornaram-se mais familiares, nós deveremos ser capazes de começar mais atrás, no quê agora é o estágio final da nossa análise. Mas, pelo momento, os números naturais parecem representar o quê é mais fácil e mais familiar na matemática.
Mas embora familiares, eles não são entendidos. Muito poucas pessoas estão preparadas com uma definição do que é significado por “número” ou “0” ou “1.” Não é muito difícil ver que, começando a partir do 0, qualquer outro número natural pode ser alcançado através de adições repetidas de 1, mas nós deveremos ter de definir o que nós queremos dizer por “adição 1,” e o que nós queremos dizer por “repetidas.” Essas questões não são de maneira nenhuma fáceis de responder. Acreditou-se até recentemente que, pelo menos, algumas dessas noções iniciais da aritmética tem de ser aceitas como simples e primitivas demais para serem definidas. Uma vez que todos os termos que são definidos através de outros temos, está claro que o conhecimento humano sempre tem de se contentar em aceitar alguns termos como inteligíveis sem definição, a fim de [4]ter um ponto de partida para as suas definições. Não é claro que tenham de haver temos que sejam incapazes de definição: é possível que, por mais que nós retrocedamos longe na definição, nós sempre poderíamos ir ainda mais longe. Por outro lado, é também possível que, quando a análise tenha sido impulsionada suficientemente longe, nós possamos alcançar termos que sejam realmente simples e, portanto, logicamente incapazes do tipo de definição que consiste em analisar. Essa é uma questão que não é necessária para nos decidirmos; para os nossos propósitos, é suficiente observamos que, uma vez que os poderes humanos são finitos, as definições conhecidas por nós sempre têm de começar em algum lugar, com termos indefinidos pelo momento, embora, talvez, não permanentemente.
Toda a matemática pura tradicional, incluindo a geometria analítica, pode ser considerada como consistindo inteiramente em proposições sobre os números naturais. Isso quer dizer que os temos que ocorrem podem ser definidos através dos números naturais, e as proposições podem ser deduzidas a partir das propriedades dos números naturais – com a adição, em cada caso, das ideias e proposições da lógica pura.
Que toda a matemática pura tradicional pode ser derivada a partir dos números naturais é uma descoberta bastante recente, embora há muito isso tenha sido suspeitado. Pitágoras, quem acreditava que não apenas a matemática, mas tudo o mais poderia ser deduzido a partir dos números, foi o descobridor do mais sério obstáculo no caminho do que é chamado de “aritmetização” da matemática. Foi Pitágoras que descobriu a existência dos incomensuráveis, e, em particular, a incomensurabilidade do lado de um quadrado e a diagonal. Se o comprimento do lado é 1 polegada, o número de polegadas na diagonal é a raiz quadrada de 2, a qual absolutamente não pareceu ser um número. O problema levantado dessa maneira apenas foi resolvido em nossos dias, e apenas foi completamente resolvido através da redução da aritmética à lógica, o que será explicado nos capítulos seguintes. Pelo presente, nós devemos aceitar como certa a aritmetização da matemática, embora esse seja um feito da maior importância.
[5]Tendo reduzido toda a matemática tradicional pura à teoria dos números naturais, o próximo passo na análise lógica foi reduzir essa teoria mesma ao menor conjunto de premissas e termos indefinidos a partir dos quais ela poderia ser derivada. Esse trabalho foi realizado por Peano. Ele mostrou que a inteira teoria dos números naturais poderia ser derivada a partir de três ideias primitivas e cinco proposições primitivas em adição àquelas da lógica pura. Dessa forma, essas três ideias e cinco proposições tornaram-se, por assim dizer, penhores para a inteira matemática pura tradicional. Se elas pudessem ser definidas e provadas em termos de outras, assim poderia toda a matemática pura. O “peso” lógico delas, se alguém pode usar uma tal expressão, é igual àquele da inteira série de ciências que foram deduzidas a partir da teoria dos números naturais; a verdade dessa série inteira está assegurada se a verdade das cinco proposições primitivas estiver garantida, é claro, com a condição de que não haja nada errôneo no aparato puramente lógico que também está envolvido. O trabalho de analisar a matemática é extraordinariamente facilitado por esse trabalho de Peano.
As três ideias primitivas na aritmética de Peano são:
0, número, sucessor.
Por “sucessor” ele quer dizer o próximo número na ordem natural. Quer dizer, o sucessor de 0 é 1, o sucessor de 1 é 2, e assim por diante. Por “número” ele quer dizer, nessa conexão, a classe dos números naturais.2 Ele não está assumindo que nós conheçamos todos os membros dessa classe, mas apenas que sabemos quando dizemos isto ou aquilo é um número, exatamente como nós sabemos o que queremos dizer quando dizemos “Jones é um homem,” embora nós não conhecemos todos os homens individualmente.
As cinco proposições primitivas que Peano assume são:
0 é um número.
O sucessor de qualquer número é um número.
Nenhuma dupla de números têm o mesmo sucessor.
[6]0 não é o sucessor de nenhum número.
Qualquer propriedade que pertença a 0, e também ao sucessor de cada número que tenha a propriedade, pertence a todos os números.
O último desses é o princípio da indução matemática. Nós deveremos ter muito a dizer sobre a indução matemática na sequência; pelo presente, nós estamos interessados nela apenas enquanto ela ocorre na análise da aritmética por Peano.
Consideremos brevemente o tipo de caminho através do qual a teoria dos números naturais resulta dessas três ideias e cinco proposições. Para começar, nós definimos 1 como “o sucessor de 0,” 2 como “o sucessor de 1,” e assim por diante. Obviamente, nós podemos prosseguir com essas definições enquanto nós desejarmos, uma vez que, em virtude de (2), todo número que alcançamos tem um sucessor, e, em virtude de (3), esse não pode ser nenhum dos números já definidos, porque, se fosse, dois números diferentes teriam o mesmo sucessor; e, em virtude de (4), nenhum dos números que nós alcançamos na série de sucessores pode ser 0. Dessa maneira, a série de sucessores concede-nos uma série sem fim de números continuamente novos. Em virtude de (5), todos os números entram nessa série, a qual começa com 0 e percorre sucessores sucessivos: pois (a) 0 pertence a essa série, e (b) se um número n pertence a ela, assim o faz o sucessor dele, pois, por indução matemática, todo número pertence à série.
Suponha que nós desejemos definir a soma de dois números. Tomando-se qualquer número m, nós definimos m+0 como m, e m+(n+1) como o sucessor de m+n. Em virtude de (5), isso nos concede uma definição da soma de m+n, qualquer que o número n possa ser. Similarmente, nós podemos definir o produto de quaisquer dois números. Facilmente o leitor pode convencer a si mesmo de que qualquer proposição elementar ordinária da aritmética pode ser provada através das nossas cinco premissas, e se ele tiver qualquer dificuldade, ele pode encontrar a prova em Peano.
Agora é hora de nos voltarmos para as considerações que tornam necessário avançar além do ponto de partida de Peano, quem [7]representa a perfeição última da “aritmetização” da matemática, para aquele de Frege, quem primeiro teve sucesso na “logicização” da matemática, ou seja, na redução à lógica das noções aritméticas que os seus predecessores tinham mostrado serem suficientes para a matemática. Neste capítulo nós não deveremos realmente fornecer a definição de número e de números particulares por Frege, mas nós devemos fornecer algumas das razões de porque o tratamento de Peano é menos final do que ele parece ser.
Em primeiro lugar, as três ideias primitivas de Peano – a saber, “0,” “número” e “sucessor” – são capazes de um número infinito de interpretações diferentes, todas as quais satisfarão as cinco proposições primitivas. Nós daremos alguns exemplos.
(1) Que “0” seja aceito significar 100, e que “número” seja aceito significar os números de 100 adiante na série de números naturais. Então todas as nossas proposições primitivas são satisfeitas, até a quarta, pois, embora 100 seja o sucessor de 99, 99 não é um “número” no sentido que nós agora estamos concedendo à palavra “número.” É óbvio que qualquer número pode ser substituído por 100 nesse exemplo.
(2) Que “0” tenha o seu significa usual, mas que “número” signifique o que nós usualmente chamamos de “números pares,” e que o “sucessor” de um número seja o que resulta a partir da adição de dois a ele. Então “1” representará o número dois, “2” representará o número quatro, e assim por diante; a série dos “número” será agora:
0, dois, quatro, seis, oito ….
Todas as cinco premissas de Peano ainda estão satisfeitas.
(3) Que “0” signifique o número um, que “número” signifique o conjunto
1, ½, ¼, 1/8, 1/16, ….
e que “sucessor” signifique “metade.” Então todos os cinco axiomas de Peano serão verdadeiros desse conjunto.
É claro que tais exemplos poderiam ser multiplicador indefinidamente. De fato, dada qualquer série
x0, x1, x2, x3, … xn, …
[8]a qual é sem fim, não contém repetições, tem um começo, e não tem termos que não possam ser alcançados a partir do começo em um número finito de passos, nós temos um conjunto de termos verificando os axiomas de Peano. Isso é facilmente percebido, embora a prova formal seja um pouco longa. Que “0” signifique x0, que “número” signifique o inteiro conjunto de termos, e que o “sucessor” de xn signifique xn+1. Então
“0 é um número,” ou seja, x0 é um membro do conjunto.
“O sucessor de qualquer número é um número,” ou seja, tomando-se qualquer temo xn no conjunto, xn+1 também está no conjunto.
“Nenhuma dupla de números têm o mesmo sucessor,” ou seja, se xm e xn são dois números diferentes do conjunto, xm+1 e xn+1 são diferentes; isso resulta a partir do fato de que (por hipótese) não há repetições no conjunto.
“O não é o sucessor de nenhum número,” ou seja, nenhum temo no conjunto vem antes de x0.
Isso se torna: qualquer propriedade que pertença a x0, e pertença a xn+1, com a condição de que ela pertença a xn, pertence a todos os x’s.
Isso se segue a partir da propriedade correspondente para os números.
Uma série da forma
x0, x1, x2, … xn, …
na qual há um primeiro termo, um sucessor de cada termo (de modo que não há nenhum último termo), nenhuma repetição, e cada termo pode ser alcançado desde o começo em um conjunto finito de passos, é chamada de uma progressão. Progressões são de grande importância nos princípios da matemática. Como nós vimos há pouco, toda progressão verifica os cinco axiomas de Peano. Inversamente, pode ser provado que toda série que verifique os cinco axiomas de Peano é uma progressão. Consequentemente, esses cinco axiomas podem ser usados para definir a classe das progressões: “progressões” são “aquelas séries que verificam esses cinco axiomas.” Qualquer progressão pode ser tomada como a base da matemática pura: nós podemos conceder o nome “0” ao seu primeiro termo, o nome “número” ao conjunto inteiro dos seus termos e o nome “sucessor” ao próximo na progressão. A progressão não tem de ser composta por números: ela pode ser [9]composta de pontos no espaço, ou momentos de tempo, ou quaisquer outros termos do quais haja um suprimento infinito. Cada progressão diferentes dá origem a uma interpretação diferente de todas as proposições da matemática pura tradicional; todas essas interpretações possíveis serão igualmente verdadeiras.
No sistema de Peano, não há nada que nos capacite a distinguir entre essas interpretações diferentes das suas ideias primitivas. Assume-se que nós saibamos o que se quis dizer por “0,” e que nós não devemos supor que esse símbolo signifique 100 ou Agulha de Cleópatra, ou quaisquer das outras coisas que ele poderia significar.
Esse ponto, que “0” e “número” e “sucessor” não podem ser definidos pelos cinco axiomas de Peano, mas têm de ser independentemente entendidos, é importante. Nós queremos que nossos números não meramente verifiquem fórmulas matemáticas, mas que se apliquem da maneira correta a objetos comuns. Nós queremos ter dez dedos e dois olhos e um nariz. Um sistema no qual “1” significasse 100 e “2” significasse 101, e assim por diante, poderia estar tudo bem para a matemática pura, mas não se adequaria à vida cotidiana. Nós queremos que “0” e “número” e “sucessor” tenham significados que nos darão o número correto de dedos e olhos e narizes. Nós já temos algum conhecimento (embora não suficientemente articulado ou analítico) do que nós queremos dizer por “1” e “2” e assim por diante, e nosso uso de números na aritmética tem de se conformar com esse conhecimento. Nós não podemos assegurar que esse deverá ser o caso pelo método de Peano: tudo que nós podemos fazer, se nós adotarmos o método dele, é dizer “nós sabemos o que nós queremos dizer por ‘0’ e ‘número’ e ‘sucessor,’ embora nós não possamos explicar em termos de outros conceitos mais simples.” É bastante legítimo dizer isso quando nós devemos, e, em algum ponto, todos nós devemos; mas é o objetivo da filosofia matemática retardar dizer isso enquanto for possível. Através da teoria lógica da aritmética, nós somos capazes de retardar isso por um tempo muito longo.
Poderia ser sugerido que, em vez de estabelecer “0” e “número” e “sucessor” como termos dos quais nós conhecemos o significado, embora nós não possamos os definir, nós poderíamos deixá-los [10]representar quaisquer três termos que verifiquem os cinco axiomas de Peano. Portanto, eles não mais seriam termos que têm um significado que é definitivo embora indefinido: eles serão “variáveis,” termos dizendo respeito ao quê nós fazemos certas hipóteses, a saber, aquelas formuladas nos cinco axiomas, mas que são, de outra maneira, indeterminadas. Se nós adotarmos esse plano, os nossos teoremas não serão provados em relação a um conjunto de termos chamados de “os números naturais,” mas relativos a todos os conjuntos de termos tendo certas propriedades. Um tal procedimento não é falacioso; de fato, para certos propósitos ele representar uma generalização valiosa. Mas, a partir de dois pontos de vista, ele falha em fornecer uma base adequada para a aritmética. Em primeiro lugar, ele não nos capacita a saber se há quaisquer dois conjuntos de termos verificando os axiomas de Peano; ele nem mesmo fornece a mais fraca sugestão da maneira de descobrir se tais conjuntos existem. Em segundo lugar, como já observado, nós queremos que nossos números sejam tais que possam ser usados para a contagem de objetos comuns, e isso requer que nossos números devam ter um significado definitivo, não meramente que eles devam ter certas propriedades formais. Esse significado definitivo é definido através da teoria lógica da aritmética.
ORIGINAL:
RUSSELL, B. Introduction to Mathematical Philosophy. London: G. Allen & Unwin, 1919. p. 1-10. Disponível em: <https://archive.org/details/introductiontoma00russ/page/1/mode/1up>
TRADUÇÃO:
EderNB do Blog Mathesis
Licença: CC BY-NC-SA 4.0
1[2]Cambridge University Press, vol. i, 1910; vol. ii, 1911; vol. iii, 1913. Por Whitehead e Russell.
2[5]Nós deveremos usar “número” nesse sentido no presente capítulo. Depois a palavra será usada em um sentido mais geral.
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