Introdução à Filosofia Matemática VIII Números Cardinais Infinitos

Introdução à Filosofia Matemática

Por Bertrand Russell

Prefácio, Nota do Editor e Conteúdos

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[77]Capítulo VIII Números Cardinais Infinitos

A definição de números cardinais que nós fornecemos no capítulo II foi aplicada, no capítulo III, aos números finitos, ou seja, aos números naturais ordinários. A esses nós demos o nome de “números indutivos,” porque nós descobrimos que eles devem ser definidos como números que obedecem à indução matemática começando a partir de 0. Mas nós ainda não consideramos coleções que não têm um número indutivo de termos, nem nós inquirimos se tais coleções podem ser ditas ter um número de qualquer maneira. Esse é um problema antigo, o qual foi resolvido em nossos dias, principalmente por Georg Cantor. No capítulo presente, nós deveremos tentar explicar a teoria dos números cardinais infinitos ou transinfinitos como ela resulta a partir de uma combinação das descobertas dele com aquelas de Frege sobre a teoria lógica dos números.

De fato, não pode ser dito ser certo que haja quaisquer coleções infinitas no mundo. A suposição de que há é o quê nós chamamos de o “axioma do infinito.” Embora vários modos através dos quais nós poderíamos ter esperança de provar esse axioma sugiram a si mesmos, há razão para temer que todos sejam falaciosos, e que não haja razão lógica conclusiva para acreditar que ele seja verdadeiro. Ao mesmo tempo, certamente não há razão lógica contra coleções infinitas, e, portanto, nós estamos justificados, na lógica, a investigar a hipótese de que haja tais coleções. Para os nossos propósitos presentes, a forma prática dessa hipótese é a suposição de que, se n for qualquer número indutivo, n não é igual a n+1. Várias sutilezas surgem na identificação dessa forma da nossa suposição com [78]a forma que afirma a existência de coleções infinitas; mas nós deixaremos essas fora de consideração até que, em um capítulo posterior, nós cheguemos a considerar o axioma do infinito por sua própria conta. Pelo presente, nós devemos meramente assumir que, se n é um número indutivo, n não é igual a n+1. Isso está envolvido na suposição de Peano de nenhum par de números têm o mesmo sucessor; pois, se n=n+1, então n-1 e n têm o mesmo sucessor, a saber, n. Desse modo, nós não estamos assumindo nada que não esteve envolvido nas proposições primitivas de Peano.

Consideremos agora a coleção dos números indutivos mesmos. Essa é uma classe perfeitamente bem-definida. Em primeiro lugar, um número cardinal é um conjunto de classes que são todas similares umas às outras e não similares a nada exceto umas às outras. Então nós definimos os “números indutivos” como aqueles cardinais que pertencem à posteridade de 0 com respeito à relação de n para n+1, ou seja, aqueles que possuem toda propriedade possuída por 0 e pelos sucessores dos possuidores, significando pelo “sucessor” de n o número n+1. Dessa maneira, a classe dos “números indutivos” está perfeitamente definida. Pela nossa definição geral de números cardinais, o número de termos na classe dos números indutivos deve ser definido como “todas aquelas classes que são similares à classe dos números indutivos” – ou seja, esse conjunto de classes é o número dos números indutivos, de acordo com as nossas definições.

Agora é fácil ver que esse número não é um dos números indutivos. Se n é qualquer número indutivo, o número dos números de 0 até n (ambos incluídos) é n+1; portanto, o número total dos números indutivos é maior do que n, não importa qual dos números indutivos n possa ser. Se nós organizarmos os números indutivos em uma série em ordem de magnitude, essa série não tem termo último; mas se n é um número indutivo, toda série cujo campo tenha n termos tem um termo último, como é fácil de provar. Tais diferenças poderiam ser multiplicadas ad lib. Desse modo, o número de números indutivos é um novo número, diferente de todos eles, não possuindo todas as propriedades indutivas. Pode acontecer que 0 tenha uma certa [79]propriedade, e que, se n tem-na, assim tem n+1, e, contudo, esse novo número não a tem. Essas dificuldades, que por muito tempo retardaram a teoria dos números infinitos, foram largamente devidas ao fato de que algumas, pelo menos, das propriedades indutivas foram erroneamente julgadas serem tais que têm de pertencer a todos os números; de fato, era pensado que elas não poderiam ser negadas sem contradição. O primeiro passo no entendimento dos números infinitos consiste em compreender o erro dessa visão.

A diferença mais digna de nota e surpreendente entre um número indutivo e esse novo número é que esse novo número é imutável através da adição de 1 ou da subtração de 1 ou dobrando-se ou dividindo-se por dois ou qualquer uma de um número de outras operações que nós consideramos como necessariamente tornando um número maior ou menor. O fato de não ser alterado pela adição de 1 é usado por Cantor para a definição do que ele chama de números cardinais “transinfinitos”; mas, por várias razões, algumas das quais aparecerão conforme nós prosseguimos, é melhor definir um número cardinal infinito como aquele que não possui todas as propriedades indutivas, ou seja, simplesmente como aquele que não é um número indutivo. Mesmo assim, a propriedade de ser imutável pela adição de 1 é uma muito importante, e nós devemos nos demorar nela por um tempo.

Dizer que uma classe tem um número que não é alterado pela adição de 1 é a mesma coisa que dizer que, se nós tomarmos um termo x que não pertence à classe, nós podemos encontrar uma relação um-um cujo domínio é a classe e cujo domínio inverso é obtido através da adição de x à classe. Pois nesse caso, a classe é similar à soma de si mesma e do termo x, ou seja, a uma classe tendo um termo extra; de modo que ela tem o mesmo número que uma classe com um termo extra, de modo que, se n é este número, n=n+1. Nesse caso, nós também devemos ter n=n-1, ou seja, haverá relações um-um cujos domínios consistem na classe inteira e cujos domínios inversos consistem em apenas um termo aquém da classe inteira. Pode ser mostrado que casos nos quais isso acontece são os mesmos que os casos aparentemente mais gerais nos quais alguma parte (aquém do todo) pode ser colocada em relação um-um com o todo. Quando isso pode ser feito, [80]o correlator pelo qual isso é feito pode ser dito “refletir” a classe inteira em uma parte de si mesma; por essa razão, tais classes serão chamadas de “reflexivas.” Dessa maneira:

Uma classe “reflexiva” é uma que é similar a uma parte própria de si mesma. (Uma “parte própria” é uma parte aquém do todo.)

Um número cardinal “reflexivo” é o número cardinal de uma classe reflexiva.

Agora nós temos de considerar essa propriedade de reflexividade.

Uma das instâncias mais impressionantes de uma “reflexão” é a ilustração de Royce do mapa: ele imagina-se decidido a fazer um mapa da Inglaterra sobre uma parte da superfície da Inglaterra. Um mapa, se ele for preciso, tem uma perfeita correspondência um-um com o seu original; desse modo, o nosso mapa, o qual é parte, está em relação um-um com o todo, e tem de conter o mesmo número de pontos que o todo, o qual, portanto, tem de ser um número reflexivo. Royce está interessado no fato de que o mapa, se ele é correto, tem de conter um mapa do mapa, o qual tem de conter um mapa do mapa do mapa, e assim por diante ad infinitum. Esse ponto é interessante, mas não necessita nos ocupar neste momento. De fato, nós deveremos agir bem em passar dessas ilustrações pitorescas para aquelas que são mais completamente definidas, e, para esse propósito, nós não podemos fazer melhor do que a série-número mesma.

A relação de n para n+1, confinada aos números indutivos, é um-um, tem o todo dos números indutivos como o seu domínio, e tudo exceto o 0 como o seu domínio inverso. Desse modo, a classe inteira de números indutivos é similar ao quê a mesma classe torna-se quando nós omitimos o 0. Consequentemente, ela é uma classe “reflexiva” de acordo com a nossa definição, e o número dos seus termos é um número “reflexivo.” Novamente, a relação de n para 2n, confinada a números indutivos, é um-um, tem o todo dos números indutivos pelo seu domínio, e apenas os números indutivos pares pelo seu domínio inverso. Consequentemente, o número total de números indutivos é o mesmo que o número de número indutivos pares. Essa propriedade foi usada por Leibniz (e muitos outros) como uma prova de que números infinitos são impossíveis; foi considerado autocontraditório que [81]“a parte deveria ser igual ao todo.” Mas essa é uma daquelas frase que, para a sua plausibilidade, dependem de uma vagueza não percebida: a palavra “igual” tem muitos significados, mas se ela for aceita significar o que nós chamamos de “similar,” não há contradição, uma vez que uma coleção infinita pode perfeitamente bem ter todas as suas partes similares a ela mesma. Aqueles que consideram isso como impossível têm, inconscientemente como uma regra, atribuído aos números no geral propriedades que apenas podem ser provadas por indução matemática, e que apenas a familiaridade deles faz-nos considerar, erroneamente, como verdadeiras além da região do finito.

Sempre que nós podemos “refletir” uma classe em uma parte de si mesma, a mesma relação necessariamente refletirá essa parte em uma menor, e assim por diante ad infinitum. Por exemplo, nós podemos refletir, como nós há pouco vimos, todos os números indutivos nos números pares; nós podemos, pela mesma relação (aquela de n para 2n) refletir os números pares nos múltiplos de 4, esses nós múltiplos de 8, e assim por diante. Isso é um análogo abstrato para o problema do mapa de Royce. Os números pares são um “mapa” de todos os números indutivos; os múltiplos de 4 são um mapa do mapa; os múltiplos de 8 são um mapa do mapa do mapa; e assim por diante. Se nós tivéssemos aplicado o mesmo processo à relação de n para n+1, o nosso “mapa” teria consistido em todos os números indutivos exceto o 0; o mapa do mapa teria consistido em todos de 2 adiante, o mapa do mapa do mapa, de todos de 3 adiante; e assim por diante. O uso principal dessas ilustrações é para tornar familiar a ideia de classes reflexivas, de modo que proposições aritméticas aparentemente paradoxais possam ser prontamente traduzidas na linguagem de relações e classes, na qual o ar de paradoxo é muito menor.

Será útil fornecer uma definição do número que é aquele dos cardinais indutivos. Para esse propósito, primeiro nós definimos o tipo de séries exemplificado pelos cardinais indutivos em ordem de magnitude. O tipo de série que é chamado de uma “progressão” já foi considerado no capítulo I. Ela é uma série que pode ser gerada por uma relação de consecutividade: [82]cada membro da série deve ter um sucessor, mas tem de haver apenas um que não tem predecessor, e cada número da série deve ser a posteridade desse termo com respeito à relação “predecessor imediato.” Essas características podem ser resumidas na definição seguinte:-¹

Uma “progressão” é uma relação um-um tal que haja apenas um termo pertencente ao domínio, mas não ao domínio inverso, e o domínio é idêntico com a posteridade desse único termo.

É fácil ver que uma progressão definida dessa maneira satisfaz aos cinco axiomas de Peano. O termo pertencendo ao domínio, mas não ao domínio inverso, será o quê ele chama de “0”; o termo com o qual o termo tem a relação um-um será o “sucessor” do termo; e o domínio da relação um-um será o quê ele chama de “número.” Tomando-se esses cinco axiomas por vez, nós temos as traduções seguintes:-

(1) “0 é um número” torna-se: “O membro do domínio que não é um membro do domínio inverso é um membro do domínio.” Isso é equivalente à existência de um tal membro, a qual é dada na nossa definição. Nós chamaremos esse membro de “o primeiro termo.”

(2) “O sucessor de qualquer número é um número” torna-se: “Novamente, o termo com o qual um membro dado do domínio tem a relação em questão é um membro do domínio.” Isso é provado como se segue: Por definição, cada membro do domínio é um membro da posteridade do primeiro termo; consequentemente, o sucessor de um membro do domínio tem de ser um membro da posteridade do primeiro termo (porque a posteridade de um termo sempre contém os seus próprios sucessores, pela definição geral de posteridade), e portanto, um membro do domínio, porque, por definição, a posteridade do primeiro termo é o mesmo que o domínio.

(3) “Nenhuma dupla de números tem o mesmo sucessor.” Isso é apenas para dizer que a relação é um-muitos, o que é por definição (sendo um-um).

[83](4) “0 não é o sucessor de nenhum número” torna-se: “O primeiro termo não é um membro do domínio inverso,” o que, novamente, é um resultado imediato da definição.

(5) Isto é indução matemática, e torna-se: “Cada membro do domínio pertence à posteridade do primeiro termo,” o que foi parte da nossa definição.

Desse modo, as progressões, como nós as temos definidas, têm as cinco propriedades formais a partir das quais Peano deduz a aritmética. É fácil provar que duas progressões são “similares” no sentido definido por similaridade de relações no capítulo VI. É claro, nós podemos derivar uma relação que é serial a partir de uma relação um-um pela qual nós definimos uma progressão: o método usado é aquele explicado no capítulo IV, e a relação é aquela de um termo para um membro da sua posteridade própria com respeito à relação um-um original.

Duas relações assimétricas transitivas que geram progressões são similares pelas razões pelas quais as correspondentes relações um-um são similares. A classe de todos esses geradores transitivos de progressões é um “número serial” no sentido do capítulo VI; de fato, ela é o menor dos números seriais infinitos, o número ao qual Cantor dá o nome de ω, pelo qual ele o tornou famoso.

Mas, pelo momento, nós estamos interessados nos números cardinais. Uma vez que duas progressões são relações similares, segue-se que os domínios delas (ou os campos delas, os quais são os mesmos que os domínios delas) são classes similares. Os domínios de progressões formam um número cardinal, uma vez que cada classe que é similar ao domínio de uma progressão é facilmente mostrada ser ela mesma o domínio de uma progressão. Esse número cardinal é o menor dos números cardinais infinitos; e é um para o qual Cantor apropriou o alefe hebraico com o sufixo 0, para o distinguir de números cardinais maiores, os quais têm outros sufixos. Desse modo, o nome de o menor dos cardinais infinitos é ℵ₀.

Dizer que uma classe tem ℵ₀ termos é a mesma coisa que dizer que ela é um membro de ℵ₀, e isso é a mesma coisa que dizer [84]que os membros da classe podem ser arranjados em uma progressão. É óbvio que qualquer progressão permanece uma progressão se nós omitirmos um número finito de termos dela, ou de cada outro termo, ou todos, exceto cada décimo termo ou de cada centésimo termo. Esses métodos de dispersão (thinning out) uma progressão não a fazem deixar de ser uma progressão, e, portanto, não diminuem o número dos seus termos, o qual permanece ℵ₀. De fato, qualquer seleção a partir de uma progressão, se ela não tem termo último, por mais esparsamente que ela possa estar distribuída. Tomem-se (digamos) números indutivos da forma nⁿ ou n^{n^n}. Tais números crescem muito raramente nas partes superiores das séries dos números, e, contudo, há exatamente tantos deles quanto há números indutivos no todo, as saber, ℵ₀.

Inversamente, nós podemos adicionar termos aos números indutivos sem aumentar o número deles. Por exemplo, tomem-se as razões. Alguém poderia estar inclinado a pensa que tem de haver muito mais razões do que inteiros, uma vez que razões cujo denominado é 1 correspondem aos inteiros e parecem ser apenas uma proporção infinitesimal das razões. Mas, de fato, o número de razões (ou frações) é exatamente o mesmo que o número de números indutivos, a saber, ℵ₀. Isso é facilmente percebido organizando-se as razões em séries no seguinte plano: Se a soma do numerador com o denominador em uma for menor do que em outro, ponha a primeira antes da segunda; se a soma for igual nas duas, ponha primeiro a com menor numerador. Isso nos fornece a série

1, ½, 2, 1/3, 3, ¼, 2/3, 3/2, 4, 1/5, …

Essa série é uma progressão, e todas as razões ocorrem nela, mais cedo ou mais tarde. Consequentemente, nós podemos arranjar todas as razões em uma progressão, e, portanto, o número delas é ℵ₀.

Contudo, não é o caso que todas as coleções infinitas tenham ℵ₀ termos. Por exemplo, o número dos números reais é maior do que ℵ₀; de fato, ele é 2^ℵ0, e não é difícil provar que 2ⁿ é maior do que n mesmo quando n é infinito. A maneira mais fácil de provar isso é provar, primeiro, que se uma classe tem n membros, ela contém 2ⁿ subclasses – em outras palavras, que há 2ⁿ maneiras [85]de selecionar alguns dos seus membros (incluindo os casos extremos onde nós selecionamos todos ou nenhum); e segundo, que o número de subclasses contidos em uma classe é sempre maior do que o número de membros da classes. Dessas duas proposições, a primeira é familiar no caso dos números finitos, e não é difícil estendê-la aos números infinitos. A prova da segunda é tão simples e tão instrutiva que nós deveremos fornecê-la:

Em primeiro lugar, está claro que o número de subclasses de uma classe dada (digamos α) é, pelo menos, tão grande quanto o número de membros, uma vez que cada membro constitui uma subclasse, e, dessa maneira, nós temos uma correlação de todos os membros com alguma das subclasses. Consequentemente, segue-se que, se o número de subclasses não for igual ao número de membros, ele tem de ser maior. Agora, é fácil provar que o número não é igual, mostrando que, dada qualquer relação um-um cujo domínio são os membros e cujo domínio inverso está contido entre o conjunto de subclasses, tem de haver, pelo menos, uma subclasse não pertencendo ao domínio inverso. A prova é como se segue:² Quando uma correlação R é estabelecida entre todos os membros de α e alguns das subclasses, pode acontecer que um dado membro x seja correlacionado com uma subclasse da qual ele não é um membro. Formemos a classe inteira, β, digamos, daqueles membros x que estão correlacionados com subclasses da qual eles não são membros. Isso é uma subclasse de α, e não está relacionado com nenhum membro de α. Pois, tomando-se primeiro os membros de β, cada um deles (pela definição de β) correlacionado com alguma subclasse da qual ele não é um membro e, portanto, não está correlacionado com β. Em seguida, tomando-se os termos que não são membros de β, cada um deles (pela definição de β) está correlacionado com alguma subclasse da qual ele é um membro e, portanto, novamente, não está correlacionado com β. Desse modo, nenhum membro de α está correlacionado com β. Uma vez que R era qualquer correlação um-um de todos os membros [86]com algumas subclasses, segue-se que não há correlação de todos os membros com todas as subclasses. Não importa para a prova que β não tenha membros: tudo que acontece nesse caso é que a subclasse que é mostrada ser omitida é a classe-nula. Consequentemente, em qualquer caso, o número de subclasses não é igual ao número de membros e, portanto, pelo que foi dito antes, ele é maior. Combinando isso com a proposição de que, se n é um número de membros, 2ⁿ é o número de subclasses, nós temos o teorema de que 2ⁿ é sempre maior do que n, mesmo quando n é infinito.

Segue-se a partir dessa proposição que não há máximo para os números cardinais infinitos. Por maior que um número infinito n possa ser, 2ⁿ será ainda maior. A aritmética dos números infinitos é um pouco surpreendente, até que alguém se torne acostumado com ela. Por exemplo, nós temos,

ℵ₀+1=ℵ₀,

ℵ₀+n=ℵ₀, onde n é qualquer número indutivo,

ℵ₀²=ℵ₀.

(Isso se segue a partir do caso das razões, pois, uma vez que uma razão é determinada por um par de números indutivos, é fácil ver que o número de razões é o quadrado do número de números indutivos, ou seja, é ℵ₀²; mas nós vimos que ele também é ℵ₀.)

ℵ₀ⁿ=ℵ₀, onde n é qualquer número indutivo.

(Isso segue a partir de ℵ₀²=ℵ₀ por indução; pois se ℵ₀ⁿ=ℵ₀,

então                          ℵ₀ⁿ⁺¹=ℵ₀²=ℵ₀.)

Mas                                          2^ℵ0>ℵ₀.

De fato, como nós deveremos ver depois, 2^ℵ0 é um número muito importante, a saber, o número de termos em uma série que tem “continuidade” no sentido no qual essa palavra é usada por Cantor. Assumindo-se espaço e tempo serem contínuos nesse sentido (como nós comumente fazemos em geometria analítica e cinemática), isso será o número de pontos no espaço ou de instantes no tempo; isso também será o número de pontos em qualquer porção finita de espaço, se [87]linha, área ou volume. Depois de ℵ₀, 2^ℵ0 é o mais importante e interessante dos números cardinais infinitos.

Embora adição e multiplicação sejam sempre possíveis com cardinais infinitos, subtração e divisão não mais fornecem resultados definidos e, portanto, não podem ser empregadas como elas são empregadas em aritmética elementar. Para começar, tome-se a subtração: enquanto o número subtraído for finito, tudo segue bem; se o outro número é reflexivo, ela permanece imutável. Desse modo ℵ₀-n=ℵ₀, se n for finito; até agora, a subtração forneceu um resultado perfeitamente definido. Mas é de outra maneira quando nós subtraímos ℵ₀ de si mesmo; então, nós podemos obter qualquer resultado, desde 0 até ℵ₀. Isso é facilmente percebido por exemplo. Dos números indutivos, retire-se as seguintes coleções de termo ℵ₀:-

(1) Todos os números indutivos – restante, zero.

(2) Todos os números indutivos de n adiante – restante, os números de 0 a n-1, numerando-se n termo no total.

(3) Todos os números ímpares – restante, todos os números pares, numerando-se ℵ₀ termos.

Todos esses são modos diferentes de subtrair ℵ₀ de ℵ₀, e todos dão resultados diferentes.

Com respeito à divisão, resultados muito similares se seguem a partir do fato de que ℵ₀ é imutável quando multiplicado por 2 ou 3 ou qualquer número finito n ou por ℵ₀. Segue-se que ℵ₀ dividido por ℵ₀ pode ter qualquer valor de 1 até ℵ₀.

A partir da ambiguidade da subtração e da divisão segue-se que números negativos e razões não podem ser estendidos aos números infinitos. Adição, multiplicação e exponenciação procedem bastante satisfatoriamente, mas as operações inversas – subtração, divisão e extração de raízes – são ambíguas e as noções que dependem delas falham quando se diz respeito a números infinitos.

A característica pela qual nós definimos a finitude foi a indução matemática, ou seja, nós definimos um número como finito quando ele obedece à indução matemática partindo de 0, e uma classe como finita quando o seu número é finito. Essa definição gera o tipo de resultado que uma definição deveria gerar, a saber, que os números finitos [88]são aqueles que ocorrem nas séries-número ordinárias 0, 1, 2, 3,… Mas no presente capítulo, os números infinitos que nós temos discutidos não são meramente não indutivos: eles também têm sido reflexivos. Cantor usou a reflexividade como a definição do infinito, e acredita que ela é equivalente a não indutividade; isso quer dizer, ele acredita que cada classe e cada cardinal são ou indutivos ou reflexivos. Isso pode ser verdadeiro, e muito possivelmente pode ser capaz de prova; mas as provas até agora oferecidas por Cantor e outros (incluindo o presente autor em dias antigos) são falaciosas, por razões que serão explicadas quando nós chegarmos a considerar o “axioma multiplicativo.” No presente, não é sabido se há classes e cardinais que não são nem reflexivos nem indutivos. Se n fosse um tal cardinal, nós não deveríamos ter n=n+1, mas n não seria um dos “números naturais,” e estaria deficiente em algumas das propriedades indutivas. Todas as classes e cardinais infinitos conhecidos são reflexivos; mas, pelo presente, é bom preservar uma mente aberta quanto a se há instâncias, até agora desconhecidas de classes e cardinais que não são nem reflexivos nem indutivos. Entrementes, nós adotamos as definições seguintes:-

Uma classe finita ou cardinal é uma que é indutiva.

Uma classe infinita ou cardinal é uma que é não indutiva. Todas as classes e cardinais reflexivos são infinitos; mas, no presente, não é sabido se todas as classes e os cardinais infinitos são reflexivos. Nós deveremos retornar a esse assunto no capítulo XII.

Próximo capítulo

ORIGINAL:

RUSSELL, B. Introduction to Mathematical Philosophy. London: G. Allen & Unwin, 1919. p. 77-88. Disponível em: <https://archive.org/details/introductiontoma00russ/page/77/mode/1up>

TRADUÇÃO:

EderNB do Blog Mathesis

Licença: CC BY-NC-SA 4.0

1[82]Cf. Principia Mathematica, vol. ii. *123.

2[85]Essa prova é extraída de Cantor, com algumas simplificações: ver Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, i. (1892), p. 77.