Introdução à Filosofia Matemática XIV Incompatibilidade e a Teoria da Dedução

Introdução à Filosofia Matemática

Por Bertrand Russell

Prefácio, Nota do Editor e Conteúdos

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[144]Capítulo XIV Incompatibilidade e a Teoria da Dedução

Nós agora temos explorada, um pouco apressadamente, é verdade, aquela parte da filosofia da matemática que não demanda um exame crítico da ideia de classe. Contudo, no capítulo precedente nós encontramos a nós mesmos confrontados por problemas que tornam um tal exame imperativo. Antes que possamos empreendê-lo, nós temos de considerar certas outras partes da filosofia da matemática, as quais, até agora, nós temos ignorado. Em um tratamento sintético, as partes com as quais nós devemos agora estar preocupados vêm primeiro: elas são mais fundamentais do que qualquer coisa que nós discutimos até agora. Três tópicos nos interessarão antes que nós alcancemos a teoria das classes, a saber: (1) a teoria da dedução, (2) funções proposicionais, (3) descrições. Dessas, a terceira não é logicamente pressuposta na teoria das classes, mas ela é um exemplo mais simples do tipo de teoria que é necessário para lidar com classes. É o primeiro tópico, a teoria da dedução, que nos interessará no capítulo presente.

A matemática é uma ciência dedutiva: partindo de premissas certas, ela chega, através de um processo estrito de dedução, a vários teoremas que a constituem. É verdade que, no passado, as deduções matemáticas frequentemente estiveram carecendo grandemente em rigor; também é verdade que rigor perfeito é um ideal escassamente atingível. Mesmo assim, na medida que rigor estiver carecendo em uma prova matemática, a prova é defeituosa; não é defesa insistir em que o senso comum mostra que o resultado está correto, pois, se nós fôssemos depender disso, seria melhor dispensar completamente o argumento, [145]em vez de trazer a falácia ao resgate do senso comum. Nenhum apelo ao senso comum, ou a “intuição,” ou a qualquer coisa, exceto estrita lógica dedutiva, deveria ser necessário na matemática depois que as premissas tiverem sido estabelecidas.

Kant, tendo observado que os geômetras da época dele não poderiam provar os teoremas deles através de argumento não auxiliado, mas requeriam um apelo à figura, inventou uma teoria do raciocínio matemático de acordo com a qual a inferência nunca é estritamente lógica, mas sempre requer o suporte do que é chamado de “intuição.” A inteira tendência da matemática moderna com a sua busca intensificada por rigor, tem sido contra essa teoria kantiana. As coisas na matemática nos dias de Kant que não podem ser provadas, não podem ser conhecidas – por exemplo, o axioma das paralelas. O que pode ser conhecido, na matemática e através de métodos matemáticos, é o que pode ser deduzido a partir da lógica pura. O que mais deve pertencer ao conhecimento humano tem de ser determinado de outra maneira – empiricamente, através dos sentidos ou através da experiência, de alguma forma, mas não a priori. Os fundamentos positivos para essa tese devem ser encontrados em Principia Mathematica, passim; uma defesa controversa dela é dada nos Principles of Mathematics. Aqui nós não podemos fazer mais do que referir o leitor àquelas obras, uma vez que o assunto é vasto demais para tratamento apressado. Entrementes, nós devemos assumir que toda a matemática é dedutiva, e proceder para inquirir quanto ao que está envolvido na dedução.

Na dedução, nós temos uma ou mais proposições chamadas de premissas, a partir das quais nós inferimos uma proposição chamada de conclusão. Para os nossos propósitos, será conveniente, quando há originalmente várias premissas, amalgamá-las em uma única proposição, de modo a sermos capazes de falar da premissa assim como da conclusão. Desse modo, nós podemos considerar a dedução como um processo através do qual nós passamos do conhecimento de uma certa proposição, a premissa, para a conhecimento de uma certa outra proposição, a conclusão. Mas nós não devemos considerar um tal processo como dedução lógica a menos que ele esteja correto, ou seja, a menos que haja uma relação tal entre premissa e conclusão que nós tenhamos um direito de acreditar na conclusão [146]se nós sabemos que a premissa é verdadeira. É essa relação que é o interesse principal na teoria lógica da dedução.

Para sermos capazes de inferir validamente a verdade de uma proposição, nós temos que saber que alguma outra proposição é verdadeira, e que há entre as duas uma relação do tipo chamado de “implicação,” ou seja, que (como nós dizemos) a premissa “implica” a conclusão. (Nós deveremos definir essa relação em breve.) Ou nós podemos saber que uma certa outra proposição é falsa, e que há uma relação entre as duas do tipo chamado de “disjunção,” expressa por “p ou q,”¹ de modo que o conhecimento de que uma é falsa nos permite inferir que a outra é verdadeira. Novamente, o que nós desejamos inferir pode ser a falsidade de alguma proposição, não a sua verdade. Isso pode ser inferido a partir da verdade de outra proposição, com a condição que nós saibamos que as duas são “incompatíveis,” ou seja, que, se uma é verdadeira, a outra é falsa. Isso também pode ser inferido a partir da falsidade de outra proposição, exatamente nas mesmas circunstâncias nas quais a verdade da segunda poderia ter sido inferida a partir da verdade da primeira; ou seja, a partir da falsidade de p nós podemos inferir a falsidade de q, quando q implica p. Todos esses quatro são casos de inferência. Quando as nossas mentes estão fixadas sobre a inferência, parece natural tomar a “implicação” como a relação fundamental primitiva, uma vez que essa é a relação que tem de valer entre p e q se nós devemos ser capazes de inferir a verdade de q a partir da verdade de p. Mas, por razões técnicas, essa não é a melhor ideia primitiva para escolher. Antes de prosseguirmos para ideias e definições primitivas, consideremos mais as várias funções de proposições sugeridas pelas relações supracitadas de proposições.

A mais simples dessas funções é a negativa, “não-p.” Essa é aquela função de p que é verdadeira quando p é falsa, e falsa quando p é verdadeira. É conveniente falar da verdade de uma proposição, ou da sua falsidade, como o seu “valor-verdade (truth-value)”²; ou seja, verdade é o “valor-verdade” de uma proposição verdadeira, e falsidade, de uma falsa. Desse modo, não-p tem o valor-verdade oposto a p.

[147]Nós podemos tomar em seguida a disjunção, “p ou q.” Esta é uma função cujo valor-verdade é verdade quando p é verdadeiro e também quando q é verdadeiro, mas é falsidade quando tanto p quanto q são falsos.

Em seguida nós podemos tomar a conjunção, “p e q.” Esta tem a verdade pelo seu valor-verdade quando p e q são ambos verdadeiros; de outra maneira, ela tem falsidade pelo seu valor-verdade.

Tome-se em seguida a incompatibilidade, ou seja, “p e q não são ambas verdadeiras.” Esta é a negação da conjunção; ela também é a disjunção das negações de p e q, ou seja “não-p ou não-q.” O seu valor-verdade é verdade quando p é falso e, da mesma maneira, quando q é falso; o seu valor-verdade é falsidade, quando p e q são ambos verdadeiros.

Por último, tome-se a implicação, ou seja, “p implica q,” ou “se p, então q.” Isto deve ser entendido no sentido mais amplo que nos possibilitará inferir a verdade de q se nós conhecermos a verdade de p. Desse modo, nós a interpretamos como significando: “A menos que p seja falso, q é verdadeiro,” ou “ou p é falso ou q é verdadeiro.” (O fato de que “implica” seja capaz de outros significados não nos interessa; esse é o significado que é conveniente para nós.) Isso quer dizer, “p implica q” deve significar “não-p ou q”: o seu valor-verdade deve ser verdade se p é falso, do mesmo modo se q é verdadeiro, e deve ser falsidade se p é verdadeiro e q é falso.

Desse modo, nós temos cinco funções: negação, disjunção, conjunção, incompatibilidade e implicação. Nós poderíamos acrescentar outras, por exemplo, falsidade conjunta (joint falsehood), “não-p e não-q,” mas as cinco acima serão suficientes. A negação difere das outras ao ser uma função de uma proposição, enquanto que as outras são funções de duas. Mas todas as cinco concordam nisto, que o valor-verdade delas depende apenas daquele das proposições que são seus argumentos. Dada a verdade ou falsidade de p, ou de p e q (conforme possa ser o caso), são-nos dados a verdade ou falsidade da negação, da disjunção, da conjunção, da incompatibilidade ou da implicação. Uma função de proposições que tem essa propriedade é chamada de uma “função-verdade (truth-function).”

O significado completo de uma função-verdade é exaurido pela formulação das circunstâncias sob as quais ela é verdadeira ou falsa. Por exemplo, “não-p” é simplesmente aquela função de p que é verdadeira quando p é falsa, e falsa quando p é verdadeira: não há significado adicional [148]a ser atribuído a ela. O mesmo se aplica a “p ou q” e ao resto. Segue-se que duas funções-verdade que têm o mesmo valor-verdade para todos os valores do argumento são indistinguíveis. Por exemplo, “p e q” é a negação de “não-p ou não-q” e vice-versa; desse modo, qualquer uma dessas pode ser definida como a negação da outra. Não há nenhum significado adicional em uma função-verdade acima e além das condições sob as quais ela é verdadeira ou falsa.

É claro que as cinco funções-verdade acima não são todas independentes. Nós podemos definir algumas delas em termos de outras. Não há grande dificuldade em reduzir o número a duas; as duas escolhidas nos Principia Mathematica são negação e disjunção. Portanto, a implicação é definida como “não-p ou q”; a incompatibilidade como “não-p ou não-q”; conjunção como a negação da incompatibilidade. Mas tem sido mostrado por Sheffer³ que nós podemos ficar contentes com uma ideia primitiva para todas as cinco, e por Nicod⁴ que isso nos possibilita a reduzir as proposições primitivas requeridas na teoria da dedução a dois princípios não formais e a um formal. Para esse propósito nós podemos tomar como única indefinível ou a incompatibilidade ou a falsidade conjunta. Nós escolhemos a primeira.

Agora, a nossa ideia primitiva é uma certa função-verdade chamada de “incompatibilidade,” a qual nós denotaremos por p/q. A negação pode ser imediatamente definida como a incompatibilidade de uma proposição consigo mesma, ou seja, “não-p” é definida como “p/p.” A disjunção é a incompatibilidade de não-p e não-q, ou seja, ela é(p/p)│(q/q). A Implicação é a incompatibilidade de p e não-q, ou seja, p│(q/q). A conjunção é a negação da incompatibilidade, ou seja, é (p/q)│(p/q). Dessa forma, todas as nossas quatro outras funções são definidas em termos de incompatibilidade.

É claro que não há limite para a manufatura de funções-verdade, ou introduzindo mais argumentos ou repetindo argumentos. A conexão desse assunto com a inferência é com o que nós estamos preocupados.

[149]Se nós sabemos que p é verdadeiro, e que p implica q, nós podemos prosseguir para afirmar q. Há sempre alguma coisa inevitavelmente psicológica sobre a inferência: a inferência é um método através do qual nós chegamos a novo conhecimento, e o que não é psicológico sobre ela é a relação que nos permite inferir corretamente; mas a passagem real da afirmação de p para a afirmação de q é um processo psicológico, e nós não temos que buscar representá-lo em termos puramente lógicos.

Na prática matemática, quando inferimos, nós sempre temos alguma expressão contendo proposições variáveis, digamos, p e q, a qual é sabida, em virtude da sua forma, ser verdadeira para todos os valores de p e q; nós também temos alguma outra expressão, parte da anterior, a qual também é sabida ser verdadeira para todos os valores de p e q; e, em virtude dos princípios da inferência, nós somos capazes de abandonar essa parte da nossa expressão original e afirmar o que resta. Essa explicação mais ou menos abstrata pode ser tornada mais clara através de uns poucos exemplos.

Assumamos que nós conhecemos os cinco princípios formais da dedução enumerados nos Principia Mathematica. (M. Nicod reduziu-os a um, mas, como é uma proposição complicada, nós começaremos com as cinco.) Essas proposições são como se seguem:-

(1) “p ou p” implica p – ou seja, se ou p for verdadeira ou p for verdadeira, então p é verdadeira.

(2) q implica “p ou q” – ou seja, a disjunção “p ou q” é verdadeira quando uma das suas alternativas for verdadeira.

(3) “p ou q” implica “q ou p.” Isso não seria requerido se nós tivéssemos uma notação teoricamente perfeita, uma vez que na concepção de disjunção não há ordem envolvida, de modo que “p ou q” e “q ou p” deveria ser idêntica. Mas uma vez que os nossos símbolos, em qualquer forma conveniente, introduzem uma ordem, nós necessitamos de suposições adequadas para mostrar que a ordem é irrelevante.

(4) Se ou p é verdadeira ou “q ou r” é verdadeira, então ou q é verdadeira ou “p ou r” é verdadeira. (A volta nesta proposição serve para intensificar o seu poder dedutivo.)

[150](5) Se q implica r, então “p ou q” implica “p ou r.”

Essas são os princípios formais da dedução empregados nos Principia Mathematica. Um princípio formal de dedução tem um uso duplo, e é para tornar isso claro que nós citamos as cinco proposições acima. Ele tem um uso como a premissa de uma inferência, e um uso como estabelecendo o fato de que a premissa implica a conclusão. No esquema de uma inferência, nós temos uma proposição p, e uma proposição “p implica q,” a partir das quais nós inferimos q. Agora, quando nós estamos preocupados com os princípios de dedução, o nosso aparato de proposições primitivas tem de produzir tanto p quanto “p implica q” das nossas inferências. Isso quer dizer, as nossas regras de dedução devem ser usadas, não apenas como regras, o qual é o uso delas para estabelecer “p implica q,” mas também como premissas substantivas, ou seja, como o p do nosso esquema. Por exemplo, suponha que nós desejamos provar que, se p implica q, então, se q implica r, segue-se que p implica r. Aqui nós temos uma relação de três proposições que formular implicações. Coloca-se

p₁=p implica q, p₂=q implica r, p₃=p implica r.

Então nós temos de provar que p₁ implica que p₂ implica p₃. Agora, tome-se o quinto dos nossos princípios acima, substitua não-p por p, e lembre-se de que, por definição, “não-p ou q” é o mesmo que “p implica q.” Desse modo, o nosso quinto princípio produz:

“Se q implica r, então ‘p implica q’ implica ‘p implica r,’” ou seja “p₂ implica que p₁ implica p₃.” Chame essa proposição de A.

Mas o quarto dos nossos princípios, quando nós substituímos não-p, não-q, por p e q, e lembramos da definição de implicação, torna-se

“Se p implica que q implica r, então q implica que p implica r.”

Escrevendo p₂ no lugar de p, p₁ no lugar de q, e p₃ no lugar de r, isso se tornar:

“Se p₂ implica que p₁ implica p₃, então p₁ implica que p₂ implica p₃.” Chame isso de B.

[151]Agora nós podemos provar, através do nosso quinto princípio que

“p₂ implica que p₁ implica p₃,” o que foi o que nós chamamos de A.

Desse modo, nós temos aqui uma instância do esquema de inferência, uma vez que A representa o p do nosso esquema, e B representa o “p implica q.” Consequentemente, nós chegamos a q, a saber,

“p₁ implica que p₂ implica p₃,”

a qual era a proposição a ser provada. Nessa prova, a adaptação do nosso quinto princípio, o qual gera A, ocorre como uma premissa substantiva; enquanto que a adaptação do nosso quarto princípio, o qual gera B, é usado para dar a forma da inferência. Os empregos formal e material das premissas na teoria da dedução estão estritamente entrelaçados, e não é muito importante mantê-los separados, com a condição de que eles são distintos em teoria.

O método antigo de chegar a novos resultados a partir de uma premissa é um que é ilustrado na dedução acima, mas que, em si mesmo, dificilmente pode ser chamado de dedução. As proposições primitivas, quaisquer que elas possam ser, devem ser consideradas como afirmadas para todos os valores possíveis das proposições variáveis p, q, r que ocorrem nelas. Portanto, nós podemos substituir por (digamos) p qualquer expressão cujo valor seja sempre uma proposição, ou seja, não-p, “s implica t,” e assim por diante. Através dessas substituições nós realmente obtemos conjuntos especiais da nossa proposição original, mas, a partir de um ponto de vista prático, nós obtemos o que são virtualmente novas proposições. A legitimidade de substituições desse tipo tem de ser assegurada através de um princípio não formal de inferência.⁵

Nós agora podemos formular o único princípio formal de inferência ao qual M. Nicod reduziu os cinco dados acima. Para esse propósito, nós primeiro mostraremos como certas funções-verdade podem ser definidas em termos de incompatibilidade. Nós já vimos que

p│(q/q) significa “p implica q.”

[152]Agora nós observamos que

p│(q/r) significa “p implica tanto q quanto r.”

Pois essa expressão significa “p é incompatível com a incompatibilidade de q e r,” ou seja “p implica que q e r não são incompatíveis,” ou seja, “p implica que q e r são ambos verdadeiros” – pois, como nós vimos, a conjunção de q e r é a negação da incompatibilidade delas.

Observe em seguida que t│(t/t) significa “t implica a si mesmo.” Esse é um caso particular de p│(q/q).

Escrevamos p para a negação de p; dessa maneira, p/s significara a negação de p/s, ou seja, significará a conjunção de p e s. segue-se que

(s/q)│p/s

expressa a incompatibilidade de s/q com a conjunção de p e s; em outras palavras, isso expressa que se p e s são ambas verdadeiras, s/q é falsa, ou seja, s e q são ambas verdadeiras; em palavras ainda mais simples, isso expressa que p e s conjuntamente implicam s e q conjuntamente.

Agora, coloque P=p│(q/r),

                         π=t│(t/t),

                        Q=(s/q)│p/s.

Então o único princípio formal da dedução de M. Nicod é

P│π/Q,

em outras palavras, P implica tanto π quanto Q.

Ele emprega adicionalmente um princípio não formal pertencente à teoria dos tipos (o qual não tem de nos dizer respeito), e um correspondendo ao princípio de que, dado p, e dado que p implica q, nós podemos afirmar q. Esse princípio é:

“Se p│(r/q) é verdadeiro, e p é verdadeiro, então q é verdadeiro.” A partir dessa aparato segue-se a inteira teoria da dedução, exceto na medida que nós estamos preocupados com a dedução a partir de, ou com a existência de, ou com a verdade universal de “funções proposicionais,” o que nós deveremos considerar no próximo capítulo.

Se eu não estou enganado, há uma certa confusão nas [153]mentes de alguns autores quanto a essa relação, entre proposições, em virtude da qual uma inferência é válida. Para que possa ser válido inferir q a partir de p, é apenas necessário que p deva ser verdadeira e que a proposição “não-p ou q” deva ser verdadeira. Sempre que esse for o caso, é claro que q tem de ser verdadeiro. Mas, de fato, a inferência apenas ocorrerá quando a proposição “não-p ou q” for conhecida de outra maneira do que através do conhecimento de não-p ou do conhecimento de q. Sempre que p for falsa, “não-p ou q” é verdadeira, mas é inútil para a inferência, a qual requer que p deva ser verdadeira. Sempre que q já for conhecida ser verdadeira, é claro, “não-p ou q” também já é conhecida ser verdadeira, mas, novamente, isso é inútil para a inferência, uma vez que q já é conhecida e, portanto, não necessita ser inferida. De fato, a inferência apenas surge quando “não-p ou q” pode ser conhecida sem nós já conhecermos qual das duas alternativas é aquela que torna a disjunção verdadeira. Agora, as circunstâncias sob as quais isso ocorre são aquelas nas quais certas relações de forma existem entre p e q. Por exemplo, nós sabemos que, se r implica a negação de s, então s implica a negação de r. Entre “r implica não-s” e “s implica não-r” há uma relação formal que nos capacita a saber que a primeira implica a segunda, sem ter primeiro de saber que a primeira é falsa ou saber que a segunda é verdadeira. É sob tais circunstâncias que a relação de implicação é praticamente útil para extração de inferências.

Mas essa relação formal é apenas requerida para que nós possamos ser capazes de saber que ou a premissa é falsa ou a conclusão é verdadeira. É a verdade de “não-p ou q” que é requerida para a validade da inferência; o que é adicionalmente requerido é apenas para a viabilidade prática da inferência. O professor C. I. Lewis⁶ tem estudado especialmente a relação mais estreita, formal que nós podemos chamar de “dedutibilidade formal.” Ele insiste que a relação mais ampla, aquela expressa por “não-p ou q,” não deveria ser chamada de “implicação.” Contudo, isso é uma questão de palavras. [154]Com a condição de que o nosso uso seja consistente, importa pouco como nós as definamos. O ponto essencial da diferença entre a teoria que eu defendo e a teoria defendida pelo professor Lewis é este: Ele sustenta que, quando uma proposição q é “formalmente dedutível” a partir de outra p, a relação que nós percebemos entre elas é uma que ele chama de “implicação estrita,” a qual não é a relação expressa por “não-p ou q,” mas uma relação mais estrita, valendo apenas quando há certas conexões formais entre p e q. Eu sustento que, se ou não houver uma tal relação como da qual ele fala, é uma da qual, em qualquer caso, a matemática não necessita, e, portanto, uma que, sobre fundamentos gerais de economia, não deveria ser admitida no nosso aparato de noções fundamentais; que, sempre que a relação de “dedutibilidade formal” vale entre duas proposições, é o caso que nós podemos perceber que ou a primeira é falsa ou a segunda, verdadeira, e que nada além desse fato é necessário de ser admitido nas nossas premissas; e que, finalmente, as razões de detalhe que o professor Lewis alega contra a visão que eu defendo podem todas ser satisfeitas em detalhe, e dependem, para a sua plausibilidade, da suposição encoberta e inconsciente do ponto de vista que eu rejeito. Portanto, eu concluo que não há necessidade de admitir como noção fundamental nenhuma forma de implicação não expressável como função-verdade.

Próximo capítulo

ORIGINAL:

RUSSELL, B. Introduction to Mathematical Philosophy. London: G. Allen & Unwin, 1919. p. 144-154. Disponível em: <https://archive.org/details/introductiontoma00russ/page/144/mode/1up>

TRADUÇÃO:

EderNB do Blog Mathesis

Licença: CC BY-NC-SA 4.0

1[146]Nós deveremos usar as letras p, q, r, s, t para denotar proposições variáveis.

2Esse termo é devido a Frege.

3[148]Trans. Am. Math. Soc., vol. xiv, pp. 481-488.

4Proc. Camb. Phil. Soc., vol. xix, i., janeiro de 1917.

5[151]Nenhum princípio similar é enunciado nos Principia Mathematica ou no artigo de M. Nicod supracitado. Mas isso pareceria ser uma omissão.

6[153]Ver Mind, vol. xxi,, 1912, pp. 522-531; e vol. xxiii., 1914, pp. 240-247.