Introdução à Filosofia Matemática
Por Bertrand Russell
Prefácio, Nota do Editor e Conteúdos
[107]Capítulo XI Limites e Continuidade de Funções
Neste capítulo nós deveremos estar interessados na definição do limite de uma função (se algum) conforme o argumento se aproxima de um dado valor, e também com a definição do que é significado por uma “função contínua.” Ambas essas ideias são um pouco técnicas, e dificilmente demandariam tratamento em uma mera introdução à filosofia matemática senão pelo fato de que, especialmente através do assim chamado de cálculo infinitesimal, visões erradas sobre os nossos tópicos presentes tornaram-se tão firmemente firmadas nas mentes de filósofos tradicionais que um esforço considerável e prolongado é requerido para o seu desenraizamento. Sempre foi pensado desde a época de Leibniz que o cálculo diferencial e integral requeriam quantidades infinitesimais. Os matemáticos (especialmente Weierstrass) provaram que isso é um erro; mas erros incorporados, por exemplo, no quê Hegel tem a dizer sobre matemática, morrem com dificuldade, e os filósofos têm tendido a ignorar o trabalho de homens tais como Weierstrass.
Limites e continuidade de funções, em obras sobre matemática ordinária, são definidos em termos envolvendo números. Isso não é essencial, como o dr. Whitehead mostrou.1 Contudo, nós começaremos com as definições nos livros-texto e, posteriormente, prosseguiremos para mostrar como essas definições podem ser generalizadas de modo a aplicarem-se a séries de modo geral e não apenas àquelas que são numéricas ou numericamente mensuráveis.
Consideremos qualquer função matemática ordinária fx, onde [108]x e fx são ambos números reais, e fx é de valor único – ou seja, quando x é dado, há apenas um valor que fx pode ter. Nós chamamos x de o “argumento,” e fx, o “valor para o argumento x.” Quando uma função é o que nós chamamos de “contínua,” a ideia aproximada para a qual nós estamos procurando uma definição precisa é que pequenas diferenças em x deverão corresponder a pequenas diferenças em fx, e se nós tornarmos as diferenças em x suficientemente pequenas, nós podemos fazer com que as diferenças me fx fiquem aquém de qualquer montante atribuído. Se uma função deve ser contínua, nós queremos que não deva haver saltos súbitos, de modo que, para algum valor de x, qualquer mudança, por mais que pequena, produzirá uma mudança em fx, a qual excederá algum montante finito atribuído. As funções ordinárias simples da matemática têm essa propriedade: por exemplo, ela pertence a x2, x3, … log x, sen x, e assim por diante. Mas não é de maneira nenhum difícil definir funções descontínuas. Tome-se, como um exemplo não matemático, “o lugar de nascimento da pessoa mais jovem vivendo no tempo t.” Isso é uma função de t; o seu valor é constante desde o momento do nascimento de uma pessoa ao momento do próximo nascimento, e então o valor muda subitamente de um lugar de nascimento para outro. Um exemplo matemático análogo seria “o próximo inteiro abaixo de x,” onde x é um número real. Essa função permanece constante de um inteiro para o seguinte, e então dá um salto súbito. O fato é que, embora funções contínuas sejam mais familiares, elas são as exceções: há infinitamente mais funções descontínuas do que contínuas.
Muitas funções são descontínuas, para um ou vários valores da variável, mas contínuas para todos os outros. Como um exemplo, tome-se sen 1/x. A função sen θ passa através de todos os valores de -1 a 1, a cada vez que θ passa de -π/2 para π/2, ou de π/2 para 3π/2, ou, de modo geral, de (2n-1)π/2 para (2n+1)π/2, onde n é um inteiro. Agora, se nós considerarmos 1/x quando x é muito pequeno, nós vemos que conforme x diminui 1/x cresce mais e mais rápido, de modo que ele passa mais e mais rapidamente através do ciclo de valores de um múltiplo de π/2 para outro, conforme x torna-se cada vez menor. Consequentemente, sen 1/x passa mais e mais rapidamente de -1 [109]para 1 e de volta novamente, conforme x torna-se menor. De fato, se nós tomarmos qualquer intervalo contendo 0, digamos, o intervalo de -ε para +ε, onde ε seja algum número muito pequeno, sen 1/x passará através de um número infinito de oscilações nesse intervalo, e nós não podemos diminuir as oscilações tornando o intervalo menor. Desse modo, ao redor do argumento 0 a função é descontínua. É muito fácil manufaturar funções que sejam descontínuas em vários lugares, ou em ℵ0 lugares, ou em todos os lugares. Exemplos serão encontrados em qualquer livro sobre a teoria de funções de uma variável.
Prosseguindo agora para procurar uma definição precisa do que é significado ao dizer que uma função é contínua para um dado argumento, quando argumento e valor são ambos números reais, primeiro vamos definir uma “vizinhança (neighbourhood)” de um número x como todos os números de x-ε a x+ε, onde ε é algum número que, em casos importantes, será muito pequeno. É claro que a continuidade de um dado ponto ter a ver com o que acontece em qualquer vizinhança daquele ponto, por mais que pequeno.
O que nós desejamos é isto: se a é o argumento para o qual nós desejamos que a nossa função seja contínua, primeiro vamos definir uma vizinhança (α, digamos) contendo o valor fa que a função tem para o argumento a; nós desejamos que, se nós tomarmos uma vizinhança suficientemente pequena contendo a, todos os valores para argumento por toda essa vizinhança deverão estar contidos na vizinhança α, não importa quão pequeno nós possamos ter tornado α. Isso quer dizer, se nós decretarmos que a nossa função não difere de fa por mais do que algum montante muito minúsculo, nós sempre podemos encontrar um trecho de números reais, tendo a no meio dele, tal que, por toda esse trecho, fx não diferirá de fa por mais do que o minúsculo montante prescrito. Isso permanece verdadeiro por mais que minúsculo possa ser o montante que nós possamos selecionar. Consequentemente, nós somos levados a seguinte conclusão:-
A função f(x) é dita ser “contínua” para o argumento a se, para cada número positivo σ, diferente de 0, mas tão pequeno quanto nós desejarmos, existe um número positivo ε, diferente de 0, tal que, para todos os valores de δ que são numericamente [110]menores2 do que ε, a diferença f(a+δ)-f(a) é numericamente menor do que σ.
Nessa definição, σ define primeiro uma vizinhança de f(a), a saber, a vizinhança a partir de f(a)-σ para f(a)+σ. A definição então prossegue para dizer que nós podemos (através de ε) definir uma vizinhança, a saber, aquela de a-ε até a+ε, tal que, para todos os argumentos no interior dessa vizinhança, o valor da função existe dentro da vizinhança de f(a)-σ para f(a)+σ. Se isso pode ser feito, de qualquer maneira que σ possa ser escolhido, a função é “contínua” para o argumento a.
Até agora nós não definimos o “limite” de uma função para um dado argumento. Se tivéssemos feito isso, nós poderíamos ter definido a continuidade de uma função diferentemente: uma função é contínua em um ponto onde o seu valor é o mesmo que o limite do seu valor para aproximações ou a partir de cima ou a partir de baixo. Mas é apenas a função excepcionalmente “domada” que tem um limite definido conforme o argumento se aproxima de um ponto dado. A regra geral é que uma função oscila, e que, dada qualquer vizinhança de um argumento dado, por mais que pequeno, um trecho inteiro de valores ocorrerão para argumentos dentro dessa vizinhança. Como essa é a regra geral, vamos considerá-la primeiro.
Consideremos o que pode acontecer conforme o argumento se aproxima de algum valor a a partir de baixo. Quer dizer, nós desejamos considerar o que acontece para argumentos contidos no intervalo de a-ε até a, onde ε é algum número que, em casos importantes, será muito pequeno.
Os valores da função para argumentos de a-ε até a (a excluído) serão um conjunto de números reais que definirão uma certa seção do conjunto de números reais, a saber, a seção consistindo naqueles números que não são maiores do que todos os valores para os argumentos a-ε até a. Dado qualquer número nessa secção, há valores pelo menos tão grandes quanto esse número para argumentos entre a-ε e a, ou seja, para argumentos que ficam muito pouco aquém [111]de a (se ε for muito pequeno). Tomemos todos os possíveis ε’s e todos as possíveis seções correspondentes. A parte comum de todas essas seções nós chamaremos de “seção última” conforme o argumento se aproxima de a. Dizer que um número z pertence à seção última é dizer que, por menor que nós possamos tornar ε, há argumentos entre a-ε e a para os quais o valor da função não é menor do z.
Nós podemos aplicar exatamente o mesmo processo para seções superiores, ou seja, seções que vão de algum ponto até o topo, em vez da base até algum ponto. Aqui nós tomamos aqueles números que são não menores do que todos os valores para os argumentos de a-ε para a; isso define uma seção última que variará conforme ε varia. Tomando a parte comum de todas essas secções por ε’s possíveis, nós obtemos a “seção superior última.” Dizer que um número z pertence à seção superior última é dizer que, por mais pequeno que nós tornemos e, há argumentos entre a-ε e a para os quais o valor da função não é maior do que z.
Se um termo z pertence tanto à seção última quanto a seção superior, nós devemos dizer que ele pertence à “oscilação última.” Nós podemos ilustrar a questão considerando uma vez mais a função sem 1/x conforme x se aproxima do valor de 0. Nós devemos assumir, para ajustar com as definições acima, que esse valor é aproximado a partir debaixo.
Vamos começar com a “seção última.” Entre -ε e 0, seja o que for que ε possa ser, a função assumirá o valor 1 para certos argumentos, mas nunca assumirá nenhum valor maior. Consequentemente, a seção última consiste em todos os números reais, positivos e negativos, até e incluindo 1; ou seja, ela consiste em todos os números negativos juntos com 0, junto com os números positivos até e incluindo 1.
Similarmente a “seção superior última” consiste em todos os números positivos junto com 0, junto com os números negativos até e incluindo -1.
Desse modo, a “oscilação última” consiste em todos os números reais de -1 a 1 ambos inclusos.
[112]Nós geralmente podemos dizer que a “oscilação última” de uma função, enquanto o argumento aproxima-se de a a partir de baixo, consiste em todos aqueles números x são tais que, por mais que nos aproximemos de a, nós ainda deveremos encontrar valores tão grandes quanto x e valores tão pequenos quanto x.
A oscilação última pode conter nenhum termo, ou um termo, ou muitos termos. Nos primeiros dois casos, a função tem um limite definido para aproximações a partir de baixo. Se a oscilação última tem um termo, isso é justamente óbvio. É igualmente verdadeiro se ela não tem nenhum; pois não é difícil provar que, se a oscilação última é nula, a fronteira da seção última é a mesma que aquela da seção superior última, e pode ser definida como o limite da função para aproximações a partir de baixo. Mas se a oscilação última tem muitos termos, não há limite definido para a função por aproximações a partir de baixo. Nesse caso, nós podemos tomar as fronteiras inferior e superior da oscilação última (ou seja, a fronteira inferior da seção superior última e a fronteira superior da seção última) como os limites inferior e superior dos seus valores “últimos” para a bordagens a partir de baixo. Similarmente, nós obtemos limites inferiores e superiores dos valores “últimos” para aproximações a partir de cima. Desse modo, nós temos no caso geral quatro limites para uma função para abordagens de um dado argumento. O limite para um dado argumento a apenas existe quando todos esses são iguais e, então, são o seu valor comum. Se isso também for o valor para o argumento a, a função é contínua para esse argumento. Isso pode ser tomado como definindo a continuidade: é equivalente à nossa definição anterior.
Nós podemos definir o limite de uma função para um dado argumento (se ele existe) sem passar através da oscilação última e dos quatro limites do caso geral. Nesse caso, a definição procede exatamente como procedeu a definição anterior de continuidade. Vamos definir o limite para aproximações a partir de baixo. Se deve haver um limite definido para aproximações de a a partir de baixo, é necessário e suficiente que, dado qualquer número pequeno σ, dois valores para argumentos suficientemente próximos de a (mas ambos menores do que a) diferirão [113]por menos do que σ; ou seja, se ε for suficientemente pequeno e nossos argumentos ambos existem entre a-ε e a (a excluído), então a diferença entre os valores para esses argumentos será menor do que σ. Isso deve valer para quaisquer σ, por mais que pequeno; nesse caso a função tem um limite que se aproxima a partir de baixo. Similarmente, nós definimos o caso quando há um limite para aproximações a partir de cima. Esses dois limites, mesmo quando ambos existem, não necessitam ser idênticos; e se eles são idênticos, eles ainda não necessitam ser idênticos com o valor para o argumento a. É apenas nesse último caso que nós chamamos a função de contínua para o argumento a.
Uma função é chamada de “contínua” (sem qualificação) quando ela é contínua para todo argumento.
Outro método levemente diferente de alcançar a definição de continuidade é o seguinte:-
Digamos que uma função “finalmente converge em uma classe α” se há algum número real tal que, para esse argumento e todos os argumentos maiores do que esse, o valor da função é um membro da classe α. Similarmente, nós deveremos dizer que uma função “converge em α conforme o argumento se aproxima de x a partir de baixo” se há algum argumento y menor do que x tal que por todo o intervalo de y (incluído) até x (excluído) a função tem valores que são membros de α. Agora nós podemos dizer que uma função é contínua para o argumento a, para o qual ela tem o valor fa, se ela satisfaz quatro condições, a saber:-
(1) Dado qualquer número real menor do que fa, a função converge nos sucessores desse número conforme o argumento se aproxima de a a partir de baixo;
(2) Dado qualquer número maior do que fa, a função converge nos predecessores desse número conforme o argumento se aproxima de a a partir de baixo;
(3) e (4) Condições similares para aproximações de a a partir de cima.
As vantagens dessa forma de definição é que ela analisa as condições de continuidade em quatro, derivadas a partir da consideração de argumentos e valores respectivamente maiores ou menores para os quais a continuidade deve ser definida.
[114]Nós agora podemos generalizar as nossas definições quanto a se aplicarem a séries que não são numéricas ou conhecidas serem numericamente mensuráveis. O caso do movimento é algo conveniente para se ter em mente. Há uma história de H. G. Wells que ilustrará, a partir do caso do movimento, a diferença entre o limite de uma função para um dado argumento e o seu valor para o mesmo argumento. O herói da história, quem possuía, sem o seu conhecimento, o poder de realizar os seus desejos, foi atacado por um policial, mas exclamando “Vá para ---” ele descobriu que o policial tinha desaparecido. Se f(t) era a posição do policial no tempo t, e t0 o momento da exclamação, o limite das posições do policial enquanto t aproximava-se de t0 a partir de baixo estaria em contato com o herói, enquanto que o valor para o argumento t0 era ---. Mas supõe-se que tais ocorrências sejam raras no mundo real, e é assumido, embora sem evidência adequada, que todos os movimentos sejam contínuos, ou seja, que, dado qualquer corpo, se f(t) é a sua posição no tempo t, f(t) é uma função contínua de t. É o significado de “continuidade” envolvido nessas afirmações que agora nós desejamos definir tão simplesmente quanto possível.
As definições dadas para o caso de funções onde argumento e valor são números reais facilmente podem ser adaptadas para uso mais geral.
Sejam P e Q duas relações, as quais é bom imaginar seriais, embora não seja necessário para as nossas definições que elas devam ser assim. Seja R uma relação um-muitos cujo domínio está contido no campo de P, enquanto o seu domínio inverso está contido no campo de Q. Então R é (em um sentido generalizado) uma função, cujos argumentos pertencem ao campo Q, embora os seus valores pertençam ao campo de P. Por exemplo, suponha que nós estejamos lidando com uma partícula movendo-se em uma linha: que Q seja a série-tempo, P a série de pontos em nossa linha da esquerda para a direita, R a relação da posição da nossa partícula na linha no tempo a para o tempo a, de modo que “a R de a” seja a posição no tempo a. Essa ilustração precisa ser mantida em mente por todas as nossas definições.
Nós devemos dizer que a função R é contínua para o argumento [115]a se, dado qualquer intervalo a na série-P contendo o valor da função para o argumento a, há um intervalo na série-Q contendo a não como o ponto-final e de modo que, por todo esse intervalo, a função tem valores que são membros de α. (Nós queremos dizer por um “intervalo” todos os termos entre quaisquer dois; ou seja, se x e y são dois membros do campo de P, e x tem a relação P com y, nós devemos querer dizer pelo “intervalo-P de x até y” todos os termos z tal que x tem a relação P com x e z tem a relação P com y – junto, quando assim formulado, com x ou y mesmos.)
Nós podemos facilmente definir a “seção última” e a “oscilação última.” Para definir a “seção última” para aproximações do argumento a a partir de baixo, tome-se qualquer argumento que precede a (ou seja, tem a relação Q com a), tomem-se os valores da função para todos os argumentos até e incluindo y, e forme a seção de P definida por esses valores, ou seja, aqueles membros da série-P que são anteriores a ou idênticos com alguns desses valores. Forme todas essas secções para todos os y’s que precedem a, e tome a sua parte comum; essa será a seção última. Então, a seção superior última e a oscilação última estão definidas exatamente como no caso anterior.
A adaptação da definição de convergência e a definição alternativa resultante da continuidade não oferece dificuldade de nenhum tipo.
Nós dizemos que uma função R é “finalmente convergente-Q em α” se há um membro y do domínio inverso de R e do campo de Q tal que o valor da função para o argumento y e para qualquer argumento com o qual y tem a relação Q é um membro de α. Nós dizemos que R “converge-Q em α conforme o argumento se aproxima de um dado argumento a” se há um termo y tendo a relação Q com a e pertencendo ao domínio inverso de R e tal que o valor da função para qualquer argumento no intervalo-Q de y (inclusivo) para a (exclusiv0) pertence a a.
Das quatro condições que uma função tem de satisfazer para ser contínua para o argumento a, a primeira é, colocando b para o valor do argumento a:
[116]Dado qualquer termo tendo a relação P com b, R converge-Q nos sucessores de b (com respeito a P) conforme o argumento se aproxima de a a partir de baixo.
A segunda condição é obtida substituindo-se P pelo seu inverso; a terceira e quarta são obtidas a partir da primeira e segunda substituindo Q pelo seu inverso.
Desse modo, não há nada nas noções do limite de uma função ou da continuidade de uma função que envolva essencialmente número. Ambos podem ser definidos de modo geral, e muitas proposições sobre eles podem ser provados por quaisquer duas séries (um sendo a série-argumento e a outra, a série-valor). Será percebido que as definições não envolvem infinitesimais. Elas envolvem infinitas classes de intervalos, tornando-se menores sem nenhum limite aquém de zero, mas elas não envolvem nenhum intervalos que não seja finito. Isso é análogo ao fato de que uma linha de uma polegada pode ser dividida pela metade, então novamente dividida pela metade, e assim por diante, indefinidamente, nós nunca chegamos a infinitesimais dessa maneira: após n bisseções, o comprimento do nosso pedaço é 1/2n de uma polegada; e isso é finito, seja qual for o número finito que n possa ser. O processo de bisseção sucessiva não conduz a divisões cujo número ordinal seja infinito, uma vez que é essencialmente um processo um por um. Assim os infinitesimais não devem ser alcançados dessa maneira. Confusões sobre esses tópicos tiveram muito a ver com as dificuldades que foram encontradas na discussão de infinidade e continuidade.
ORIGINAL:
RUSSELL, B. Introduction to Mathematical Philosophy. London: G. Allen & Unwin, 1919. p. 107-116. Disponível em: <https://archive.org/details/introductiontoma00russ/page/107/mode/1up>
TRADUÇÃO:
EderNB do Blog Mathesis
Licença: CC BY-NC-SA 4.0
1[107]Ver Principia Mathematica, vol. ii. *230-234.
2[110]Um número é dito ser “numericamente menor” do que ε quando ele está entre -ε e +ε.
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