Introdução à Filosofia Matemática XVII Classes

Introdução à Filosofia Matemática

Por Bertrand Russell

Prefácio, Nota do Editor e Conteúdos

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[181]Capítulo XVII Classes

No capítulo presente nós devemos estar preocupados com os (the) no plural: os habitantes de Londres, os filhos dos homens ricos e assim por diante. Em outras palavras, nós devemos estar preocupados com classes. Nós vimos no capítulo II que o número cardinal 1 deve ser definido com a classe de todas as classes de unidade, ou seja, de todas que têm exatamente um número, como nós deveríamos dizer, exceto pelo círculo vicioso. É claro, quando o número 1 é definido como a classe de todas as classes de unidade, “classes de unidade” tem de ser definido de modo que nós não assumamos que sabemos o que é significado por “um”; de fato, elas são definidas de uma maneira análoga àquela usada para descrições, a saber: uma classe α é dita ser uma classe “de unidade” se a função proposicional “‘x é um α’ é sempre equivalente a ‘x é c’” (considerada como uma função de x) não é sempre falsa, ou seja, em linguagem mais ordinária, se há um termo c tal que x será um membro de α quando x é c mas não de outra maneira. Isso nos dá uma definição de uma classe de unidade se nós já sabemos o que é uma classe de modo geral. Até aqui, ao lidarmos com a aritmética, nós tratamos “classe” como uma ideia primitiva. Mas, por razões estabelecidas no capítulo XIII, se não por outras, nós não podemos aceitar “classe” como uma ideia primitiva. Nós temos de procurar por uma definição nas mesmas linhas que a definição de descrições, ou seja, uma definição que atribuirá um significado a proposições em cuja expressão verbal ou simbólica, ocorrem palavras ou símbolos aparentemente representando, mas que atribuirá um significado que elimina completamente toda menção a classes a partir de uma análise correta [182]dessas proposições. Portanto, nós devemos ser capazes de dizer que os símbolos para classes são meras conveniências, não representando objetos chamados de “classes,” e que, de fato, classes são como descrições, ficções lógicas, ou (como nós dizemos) “símbolos incompletos.”

A teoria das classes é menos completa do que a teoria das descrições, e há razões (as quais nós devermos fornecer em linhas gerais) para considerar a definição de classes que será sugerida como não finalmente satisfatória. Algumas sutilezas adicionais parecem ser requeridas; mas as razões para considerar a definição de classes que será oferecida como estando aproximadamente correta e nas linhas corretas são irresistíveis.

A primeira coisa é compreender porque classes não podem ser consideradas como parte das coisas últimas do mundo. É difícil explicar precisamente o que alguém quer dizer com essa afirmação, mas uma consequência que a implica pode ser usada para elucidar o seu significado. Se nós tivéssemos uma linguagem simbólica completa, com uma definição para tudo definível, e um símbolo indefinido para tudo indefinível, os símbolos indefinidos nessa linguagem representariam simbolicamente o que eu quero dizer por “as coisas últimas do mundo.” Eu estou defendendo que nenhum símbolo ou para “classe,” no geral, ou para classes, no particular, seria incluído nesse aparato de símbolos indefinidos. Por outro lado, todas as coisas particulares que existem no mundo teriam de ter um símbolo que estaria incluído entre os símbolos indefinidos. Nós poderíamos tentar evitar essa conclusão através do uso de descrições. Tome-se (digamos) “a última coisa que César viu antes que ele morresse.” Essa é uma descrição de algum particular; nós poderíamos tentar usar isso como (em um sentido perfeitamente legitimo) uma definição desse particular. Mas, se “a” é um nome para o mesmo particular, uma proposição na qual “a” ocorre não é (como nós vimos no capítulo precedente) idêntica ao quê essa proposição se torna quando nós substituímos “a última coisa que César viu antes que ele morresse” por “a.” Se a nossa linguagem não contivesse o nome “a,” ou algum outro nome para o mesmo particular, nós não deveríamos ter meios de expressar a proposição que nós expressamos através de “a” enquanto oposta àquela que [183]nós expressamos através da descrição. Desse modo, as descrições não possibilitariam uma linguagem perfeita para dispensar nomes para todos os particulares. Nesse aspecto, nós estamos sustentando, as classes difeririam dos particulares, e não necessitariam ser representadas por símbolos indefinidos. A nossa tarefa final é fornecer as razões para essa opinião.

Nós já vimos que classes não podem ser consideradas como uma espécie de indivíduos, por conta da contradição sobre classes que não são membros de si mesmas (explicada no capítulo XIII), e porque nós podemos provar que o número de classes é maior do que o número de indivíduos.

Nós não podemos tomar classes da maneira extensional pura como simplesmente montes ou aglomerados. Se devêssemos tentar fazer isso, nós deveríamos considerar impossível para entender como pode haver uma classe tal como a classe-nula, a qual absolutamente não tem membros e não pode ser considerada como um “monte”; nós também deveríamos considerar difícil entender como se chega a que uma classe que tem apenas um membro não é idêntica com esse membro. Eu não quer dizer afirmar, ou negar, que há entidades tais como “montes.” Como um lógico-matemático, eu não sou convocado para ter uma opinião sobre esse ponto. Tudo o que eu estou sustentando é que, se há coisas tais como montes, nós não podemos identificá-los com as classes compostas pelos seus constituintes.

Nós deveremos chegar muito mais perto de uma teoria satisfatória se tentarmos identificar classes com funções proposicionais. Toda classe, como nós explicamos no capítulo II, é definida por alguma função proposicional que é verdadeira para os membros da classe e falsa para as outras coisas. Mas se uma classe pode ser definida por uma função proposicional, ela pode igualmente bem ser definida para qualquer outra que seja verdadeira, sempre que a primeira seja verdadeira, e falsa, sempre que a primeira seja falsa. Por essa razão, a classe não pode se identificada com nenhuma função proposicional tal em vez de com qualquer outra – e, dada uma função proposicional, há sempre muitas outras que são verdadeiras, quando ela é verdadeira, e falsas, quando ela é falsa. Nós dizemos que duas funções proposicionais são “formalmente equivalentes” quando isso acontece. Duas proposições são “equivalentes” [184]quando ambas são verdadeiras ou ambas, falsas; duas funções proposicionais Φx, Ψx são “formalmente equivalentes” quando Φx é sempre equivalente a Ψx. É o fato de que há outras funções formalmente equivalentes a uma dada função que torna impossível identificar uma classe com uma função; pois nós desejamos que as classes sejam tais que nenhuma dupla de classes distintas tenham exatamente os mesmos membros, e, portanto, duas funções formalmente equivalentes terão de determinar a mesma classe.

Quando nós tivermos decidido que classes não podem ser coisas do mesmo tipo que os membros delas, que elas não podem ser apenas montes ou agregados, e também que elas não podem ser identificadas com funções proposicionais, torna-se muito difícil ver o que elas podem ser, se elas devem ser mais do que ficções simbólicas. E se nós podemos encontrar qualquer maneira de lidar com elas como ficções simbólicas, nós aumentamos a segurança lógica da nossa posição, uma vez que nós evitamos assumir que há classes sem sermos compelidos a fazer a suposição seguinte de que não há classes. Nós meramente nos abstemos das duas suposições. Esse é um exemplo da navalha de Ockham, a saber, “entidades não devem ser multiplicadas sem necessidade.” Mas quando nos recusamos a afirmar que há classes, não é necessário supor que nós estejamos afirmando dogmaticamente que não há nenhuma. Nós somos meramente agnósticos com respeito a elas: como Laplace, nós podemos dizer, “je n’ai pas besoin de cette hypothèse.”

Estabeleçamos as condições que um símbolo tem de satisfazer para servir como uma classe. Eu penso que as condições seguintes serão consideradas necessárias e suficientes:-

(1) Cada função proposicional tem de determinar uma classe, consistindo naqueles argumentos para os quais a função é verdadeira. Dada qualquer proposição (verdadeira ou falsa), digamos sobre Sócrates, nós podemos imaginar Sócrates substituído por Platão ou Aristóteles ou um gorila ou um homem na lua ou qualquer outro indivíduo mundo. No geral, algumas dessas substituições darão uma proposição verdadeira e algumas, uma falsa. A classe determinada consistirá em todas aquelas substituições que dão uma classe verdadeira. É claro, nós ainda temos de decidir o que nós queremos dizer por “todas aquelas que, etc.” Tudo que [185]nós estamos observando no presente é que uma classe é tornada determinada por uma função proposicional, e que toda função proposicional determina uma classe apropriada.

(2) Duas funções proposicionais formalmente equivalentes têm de determinar a mesma classe, e duas que não são formalmente equivalentes têm de determinar classes diferentes. Quer dizer, uma classe é determinada pelo seu conjunto de membros (membership), e nenhum par de classes diferentes podem ter o mesmo conjunto de membros. (Se uma classe é determinada por uma função Φx, nós dizemos que a é um “membro” da classe se Φa é verdadeira.)

(3) Nós temos de descobrir alguma maneira de definir não apenas classes, mas classes de classes. Nos vimos no capítulo II que números cardinais devem ser definidos como classes de classes. A frase ordinária da matemática elementar, “As combinações de n coisas m em um momento” representa uma classe de classes, a saber, a classe de todas as classes de m termos que podem ser selecionados a partir de uma dada classe de n termos. Sem algum método simbólico de lidar com classes de classes, a lógica matemática falharia.

(4) Sob todas as circunstâncias, tem de ser sem sentido (não falso) supor que uma classe é um membro de si mesma ou não é um membro de si mesma. Isso resulta a partir da contradição que nós discutimos no capítulo XIII.

(5) Por último – e essa é a condição que é mais difícil de satisfação, - tem de ser possível fazer proposições sobre todas as classes que são compostas por indivíduos, ou sobre todas as classes que são compostas de objetos de qualquer “tipo” lógico. Se esse não fosse o caso, muitos usos de classes perder-se-iam – por exemplo, a indução matemática. A definição da posteridade de um termo, nós temos de ser capazes de dizer que um membro da posteridade pertence a todas as classes hereditárias às quais o dado termo pertence, e isso requer o tipo de totalidade que está em questão. A razão pela qual há uma dificuldade sobre essa condição é que pode ser provado ser impossível falar de todas as funções proposicionais que podem ter argumentos de um dado tipo.

Para começar, nós ignoraremos essa última condição e os problemas que ela levanta. As duas primeiras condições podem [186]ser combinadas. Elas afirmam que deve haver uma classe, nem mais nem menos, para cada grupo de funções proposicionais formalmente equivalentes; ou seja, a classe de homens deve ser a mesma que aquela dos bípedes implumes, ou dos animais racionais, ou dos yahoos, ou de seja qual for a característica que possa ser preferida para definir um ser humano. Agora, quando nós dizemos que duas funções proposicionais formalmente equivalentes podem não ser idênticas, embora elas definam a mesma classe, nós podemos provar a verdade da afirmação indicando que uma afirmação pode ser verdadeira da primeira função e falsa da outra; por exemplo, “Eu acredito que todos os homens são mortais” pode ser verdadeira, enquanto que “Eu acredito que todos os animais racionais são mortais” pode ser falsa, uma vez que eu posso falsamente acreditar que a fênix é um animal racional imortal. Desse modo, nós somos levados a considerar afirmações sobre funções, ou (mais corretamente) funções de funções.

Algumas das coisas que podem ser ditas sobre uma função podem ser consideradas como ditas sobre a classe definida pela função, ao passo que outras não podem. A afirmação “todos os homens são mortais” envolve as funções “x é humano” e “x é mortal”; ou, se escolhermos, nós podemos dizer que ela envolve as classes homens e mortais. Nós podemos interpretar a afirmação de qualquer maneira, porque o seu valor-verdade é imutável se nós substituirmos qualquer função formalmente equivalente por “x é humano” ou por “x é mortal.” Mas, como nós há pouco vimos, a afirmação “eu acredito que todos os homens são mortais” não pode ser considerada como sendo sobre a classe determinada por nenhuma função, porque o seu valor-verdade pode ser mudado pela substituição de uma função formalmente equivalente (a qual deixa a classe imutável). Nós chamaremos uma afirmação envolvendo uma função Φx uma função “extensional” da função Φx, se ela é como “todos os homens são mortais,” ou seja, se o seu valor-verdade é imutável pela substituição de qualquer função formalmente equivalente; e quando uma função de uma função não é extensional, nós a chamaremos “intencional,” de modo que “eu acredito que todos os homens são mortais” é uma função intensional de “x é humano” ou “x é mortal.” As funções extensionais de uma função x podem, para propósitos práticos, [187]ser consideradas como funções da classe determinada por x, enquanto funções intensionais não podem ser consideradas assim.

Deve ser observado que todas as funções específicas de função que nós temos ocasião para introduzir na lógica matemática são extensionais. Por exemplo, dessa maneira, as duas funções fundamentais de funções são: “Φx é sempre verdadeira” e “Φx é algumas vezes verdadeira.” Cada uma dessas tem o seu valor-verdade não mudado se qualquer função formalmente equivalente é substituído por Φx. Na linguagem de classes, se α é a classe determinada por Φx, “Φx é sempre verdadeira” é equivalente a “tudo é um membro de α,” e “Φx é algumas vezes verdadeira” é equivalente a “α tem membros” ou (melhor) “α tem, pelo menos, um membro.” A condição é que há um termo c tal que Φx é sempre equivalente a “x é c.” Isso é obviamente extensional. É equivalente à afirmação de que a classe definida pela função Φx é uma classe de unidade, ou seja, uma classe tendo um membro; em outras palavras, uma classe que é um membro de 1.

Dada uma função de uma função, a qual pode ou não ser extensional, nós sempre podemos derivar a partir dela uma função conectada e certamente extensional da mesma função, através do seguinte plano: que a nossa função original de uma função seja uma que atribua a Φx a propriedade f; então considere a afirmação “há uma função tendo a propriedade f e formalmente equivalente a Φx.” Isso é uma função extensional de Φx; é verdadeiro quando a nossa afirmação é verdadeira, e é formalmente equivalente à função original de Φx se essa função original é extensional; mas quando a função original é intensional, a nova é mais frequentemente verdadeira do que a antiga. Por exemplo, considere novamente “Eu acredito que todos os homens são mortais,” considerada como uma função de “x é humano.” A função extensional derivada é: “Há uma função formalmente equivalente a ‘x é humano’ e tal que eu acredito que, seja o que for que a satisfaça, é mortal.” Isso permanece verdadeiro quando nós substituímos “x é um animal racional” [188]por “x é humano,” mesmo se eu acredito falsamente que a fênix é racional e Imortal.

Nós damos o nome de “função extensional derivada” à função construída como acima, a saber, à função: “Há uma função tendo a propriedade f e formalmente equivalente a Φx,” onde a função original era “a função Φx tem a propriedade f.”

Nós podemos considerar a função extensional derivada como tendo pelo seu argumento a classe determinada pela função Φx, e como afirmando f dessa classe. Isso pode ser tomado como a definição de uma proposição sobre uma classe. Ou seja, nós podemos definir:

Afirmar que “a classe determinada pela função Φx tem a propriedade f é afirmar que Φx satisfaz à função extensional derivada a partir de f.”

Isso dá um significado a qualquer afirmação sobre uma classe que pode ser feita significativamente sobre uma função; e será considerado que, tecnicamente, isso produz os resultados que são requeridos para produzir uma teoria simbolicamente satisfatória.¹

O que nós dissemos exatamente agora com respeito à definição de classes é suficiente pra satisfazer às nossas primeiras quatro condições. A forma pela qual isso assegura a terceira e a quarta, a saber, a possibilidade de classes de classes, e a impossibilidade de uma classe ser ou não ser um membro de si mesma, é um pouco técnica; ela é explicada nos Principia Mathematica, mas pode ser aceita como certa aqui. Resulta que, apenas para a nossa quinta condição, nós poderíamos considerar a nossa tarefa como completa. Mas essa condição – ao mesmo tempo a mais importante e a mais difícil – não é satisfeita em virtude de coisa alguma que nós dissemos até agora. A dificuldade está conectada com a teoria dos tipos, e tem de ser discutira brevemente.²

Nós vimos no capítulo XIII que há uma hierarquia de tipos lógicos, e que é realmente uma falácia admitir um objeto pertencente a um desses ser substituído por um objeto pertencente a outro. [189]Agora, não é difícil mostrar que as várias funções que podem aceitar um objeto a como argumento não são todas de um tipo. Chamemos todas elas de funções-a. Nós podemos tomar primeiro aquelas entre elas que não envolvem referência a nenhuma coleção de funções; essas nós chamaremos de “funções-a predicativas.” Se agora nós prosseguirmos para funções envolvendo referência à totalidade das funções-a predicativas, nós devemos incorrer em uma falácia se nós considerarmos essas como do mesmo tipo que as funções-a predicativas. Tome-se uma afirmação cotidiana como “a é um francês típico.” Como nós deveremos definir um francês “típico”? Nós podemos defini-lo como alguém “possuindo todas as qualidades que são possuídas pela maioria dos franceses.” Mas, a menos que nós confinemos “todas as qualidades” àquelas que não envolvem uma referência a nenhuma totalidade de qualidades, nós devemos ter de observar que a maioria dos franceses não são típicos no sentido acima, e, portanto, a definição mostra que para ser não típico é essencial para o francês típico. Isso não é um tipo de contradição lógica, uma vez que não há nenhuma razão de porque deveria haver qualquer francês típico; mas isso ilustra a necessidade de separar as qualidades que envolvem referência a uma totalidade de qualidade daquelas que não o fazem.

Sempre que, através de afirmações sobre “todos” ou “alguns” dos valores que uma variável pode significativamente assumir, nós geramos um novo objeto, esse novo objeto não tem de estar entre os valores que a nossa variável prévia poderia assumir, uma vez que, por assim dizer, a totalidade de valores através dos quais a variável poderia variar simplesmente seria definível em termos de si mesma, e nós deveríamos estar envolvidos em um círculo vicioso. Por exemplo, se eu digo “Napoleão tinha todas as qualidades que fazem um grande general,” eu tenho de definir “qualidades” de uma maneira tal que ela não será incluída no que eu estou dizendo agora, ou seja, “tendo todas as qualidades que fazem um grande general” não tem de ser ela mesma uma qualidade no sentido suposto. Isso é bastante óbvio, e é o princípio que leva à teoria dos tipos, pela qual paradoxos de círculo vicioso são evitados. Enquanto aplicado a funções-a, nós podemos supor que “qualidades” quer dizer “funções predicativas.” Então quando eu digo “Napoleão tinha todas as qualidades, etc.” eu quero dizer [190]“Napoleão satisfazia a todas as funções predicativas, etc.” Essa afirmação atribui uma propriedade a Napoleão, mas não uma propriedade predicativa; desse modo, nós escapamos do círculo vicioso. Mas sempre que “todas as funções que” ocorre, as funções em questão têm de ser limitadas a um tipo, se um círculo vicioso deve ser evitado; e, como Napoleão e o francês típico mostraram, o tipo não é tornado determinado por aquele do argumento. Requerer-se-ia uma discussão muito mais completa para estabelecer completamente esse ponto, mas o que foi dito pode ser suficiente para tornar claro que funções que formam um argumento dado são de uma série infinita de tipos. Nós poderíamos, através de vários artifícios técnicos, construir uma variável que percorreria os n primeiros desses tipos, onde n é finito, mas nós não podemos construir uma variável que percorreria todos eles, e, se nós pudéssemos, esse mero fato imediatamente geraria um novo tipo de função com os mesmos argumentos, e iniciaria o processo inteiro novamente.

Nós chamamos funções-a predicativas o primeiro tipo de funções-a; funções-a envolvendo referência à totalidade do primeiro tipo nós chamamos de o segundo tipo; e assim por diante. Nenhuma função-a pode percorrer todos esses tipos diferentes: ela tem de parar aquém de algum definido.

Essas considerações são relevantes para a nossa definição da função extensional derivada. Nós podemos falar de “uma função formalmente equivalente a Φx.” É necessário decidir sobre o tipo da nossa função. Qualquer decisão funcionará, mas uma decisão é inevitável. Chamemos a suposta função formalmente de Ψ. Então Ψ aparece como uma variável e tem de ser algum tipo determinado. Tudo que nós conhecemos necessariamente sobre o tipo de Φ é que ele aceita argumentos de um dado tipo – que ele é (digamos) uma função-a. Mas isso, como nós vimos há pouco, não determina o seu tipo. Se nós somos capazes (como o nosso requisito quinto demanda) de lidar com todas as classes cujos membros são do mesmo tipo que a, nós temos de ser capazes de definir todas essas classes através das funções de algum tipo único; quer dizer, tem de haver alguma função do tipo função-a, digamos a n^ésima, tal que qualquer função-a seja formalmente [191]equivalente a alguma função-a do tipo n^ésimo. Se esse for o caso, então qualquer função extensional que vale para todas as funções-a do tipo n^ésimo valerá para qualquer função-a que seja. Isso é principalmente um meio técnico de corporificar uma suposição levando a esse resultado de que classes são úteis. A suposição é chamada de o “axioma de redutibilidade,” e pode ser formulado como se segue:-

“Há uma tipo (r, digamos) de funções-a de modo que, dada qualquer função-a, é formalmente equivalente a alguma função do tipo de questão.”

Se esse axioma for usado, nós usamos funções desse tipo na definição da nossa função extensional associada. Afirmações sobre todas as classes-a (ou seja, todas as classes definidas por funções-a) podem ser reduzidas a afirmações sobre todas as funções-a to tipo τ. Enquanto apenas funções extensionais de funções estão envolvidas, isso nos dá, na prática, resultados que, caso contrário, teriam requerido a noção impossível de “todas as funções-a.” Uma região particular onde isso é vital é indução matemática.

O axioma da redutibilidade envolve tudo que é realmente essencial na teoria de classes. Portanto, é digno de nota perguntar se há alguma razão para o supor verdadeiro.

Esse axioma, como o axioma multiplicativo e o axioma do infinito, é necessário para certos resultados, mas não para a existência nua do raciocínio dedutivo. A teoria da dedução, como explicada no capítulo XIV, e as leis para proposições envolvendo “todos” e “alguns,” são da textura mesma do raciocínio matemático: sem elas, ou alguma coisa como elas, nós não deveríamos meramente obter os mesmos resultados, mas nós absolutamente não deveríamos obter resultados. Nós não podemos as usar como hipóteses, e deduzir consequências hipotéticas, pois elas são regras de dedução assim como premissas. Elas têm de ser absolutamente verdadeiras, ou senão, o que nós deduzimos de acordo com elas nem mesmo se segue a partir das premissas. Por outro lado, o axioma da redutibilidade, como os nossos dois prévios axiomas matemáticos, poderia ser perfeitamente bem formulado como uma hipótese sempre que ele é usado, em vez de ser assumido ser efetivamente verdadeiro. Nós podemos deduzir as [192]suas consequências hipoteticamente; nós também podemos deduzir as consequências de o supor falso. Portanto, ele é apenas conveniente, não necessário. E, à vista da complicação da teoria dos tipos, e da incerteza de tudo, exceto dos seus princípios mais gerais, até agora é impossível dizer se não pode haver alguma maneira de dispensar completamente o axioma da redutibilidade. Ainda assim, assumindo-se a correção da teoria esboçada acima, o nós que podemos dizer quanto à verdade ou falsidade do axioma?

Nós podemos observar que esse axioma é uma forma generalizada da identidade dos indiscerníveis de Leibniz. Leibniz assumia, como um princípio lógico, que dois tipos diferentes de sujeitos têm de diferir quanto aos predicados. Agora, os predicados são apenas algumas coisas entre o que nós chamamos de “funções predicativas,” as quais também incluirão relações para dados termos, e várias propriedades não reconhecidas como predicado. Desse modo, a suposição de Leibniz é muito mais estrita e estreita do que a nossa. (É claro, não de acordo com a lógica dele, a qual considerava todas as proposições como redutíveis à forma de sujeito-predicado.) Mas não há boa razão para acreditar na forma dele, até onde eu posso perceber. Poderia bastante bem haver, como uma questão de possibilidade lógica abstrata, duas coisas que têm exatamente os mesmos predicados, no sentido estreito no qual nós estivemos usando a palavra “predicado.” Como o nosso axioma parece quando nós ultrapassamos os predicados nesse sentido estreito? No mundo atual não parece haver dúvida da sua verdade empírica com respeito a particulares, devido à diferenciação espaçotemporal: nenhum par de particulares têm exatamente as mesmas relações espaciais e temporais com todos os outros particulares. Mas isso, por assim dizer, é um acidente, um fato sobre o mundo no qual nós acontecemos de nos encontrar. A lógica pura, e a pura matemática (as quais são a mesma coisa), objetiva a serem verdadeira, na fraseologia de Leibniz, em todos os mundos possíveis, não apenas neste miscelânea em desordem de um mundo no qual o acaso nos aprisionou. Há uma certa altivez que o lógico deveria preservar: ele não tem de condescender em derivar argumentos a partir de coisas que ele vê ao redor de si.

[193]Visto a partir desse ponto estritamente lógico de vista, eu não vejo nenhuma razão para acreditar que o axioma de redutibilidade seja logicamente necessário, que é o que seria significado dizendo que é necessário em todos os mundos possíveis. Portanto, a admissão desse axioma em um sistema de lógico é um defeito, mesmo se o axioma for empiricamente verdadeiro. É por essa razão que a teoria das classes não pode ser considerada como estando tão completa quanto a teoria das descrições. Há necessidade de trabalho adicional sobre a teoria dos tipos, na esperança de chegar a uma doutrina que não requer uma suposição tão dúbia. Mas é razoável considerar a teoria esboçada no capítulo presente como correta em suas linhas principais, ou seja, na sua redução de proposições nominalmente sobre classes a proposições sobre suas funções definidoras. Pareceria que a evitação de classes como entidades através desse método tem de ser correta em princípio, qualquer que seja o detalhe que ainda possa requere ajuste. É por causa disso que parece inevitável que nós tenhamos de incluir a teoria das classes, a despeito do nosso desejo de excluir, até onde possível, seja o que for que parecesse aberto à dúvida séria.

A teoria das classes, como acima esboçada, reduz-se a um axioma e uma definição. Pelo bem de definitividade, nós os repetiremos. O axioma é:

Há um tipo τ tal que se Φ é uma função que pode assumir um dado objeto a como argumento, então há uma função Ψ do tipo τ que é formalmente equivalente a Φ.

A definição é:

Se Φ é uma função que pode assumir um objeto a como argumento, e τ o tipo mencionado no axioma acima, então dizer que a classe determinada por Φ tem a propriedade τ deve dizer que há uma função do tipo τ, formalmente equivalente a Φ, e tendo a propriedade τ.

Próximo capítulo

ORIGINAL:

RUSSELL, B. Introduction to Mathematical Philosophy. London: G. Allen & Unwin, 1919. p. 181-193. Disponível em: <https://archive.org/details/introductiontoma00russ/page/181/mode/1up>

TRADUÇÃO:

EderNB do Blog Mathesis

Licença: CC BY-NC-SA 4.0

1[188]Ver Principia Mathematica, vol. i. pp. 75-84 e *20.

2O leitor quem deseje uma discussão mais completa deveria consultar Principia Mathematica, Introdução, cap. ii.; também *12.