Introdução à Filosofia Matemática XVII Matemática e Lógica – Final

Introdução à Filosofia Matemática

Por Bertrand Russell

Prefácio, Nota do Editor e Conteúdos

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[194]Capítulo XVII Matemática e Lógica – Final

Historicamente falando, matemática e lógica têm sido estudos inteiramente distintos. A matemática tem estado conectada com a ciência, a lógica, com o grego. Mas ambas têm se desenvolvido nos tempos modernos: a lógica tem se tornado mais matemática e a matemática tem se tornado mais lógica. A consequência é que agora se tornou inteiramente impossível traçar uma linha entre as duas; de fato, as duas são uma. Elas diferem como o menino e o homem: a lógica é a juventude da matemática, e a matemática é a maturidade da lógica. Essa visão é ressentida por lógicos, quem, tendo despendido seu tempo no estudo de textos clássicos, são incapazes de seguir uma peça de raciocínio simbólico, e por matemáticos, quem aprenderam uma técnica sem se preocuparem em investigar o significado ou a justificação dela. Afortunadamente, os dois tipos agora estão se tornando mais próximos. Tanto do trabalho matemático moderno está obviamente na fronteira da lógica, tanto da lógica moderna é simbólico e formal, que a relação muito próxima de lógica e matemática tornou-se óbvia para cada estudante instruído. É claro, a prova da identidade delas é uma questão de detalhe: começando com as premissas que seriam universalmente admitidas pertencerem à lógica, e chegando através da dedução a resultados que obviamente pertencem à matemática, nós descobrimos que não há ponto no qual uma linha precisa pode ser traçada, com a lógica para a esquerda e a matemática para a direita. Se ainda há aqueles que não admitem a identidade de lógica e matemática, nós podemos desafiá-los a indicar em que ponto, nas definições e [195]deduções sucessivas dos Principia Mathematica, eles consideram que a lógica termina e a matemática começa. Será óbvio que qualquer resposta tem de ser bastante arbitrária.

Nos capítulos anteriores deste livro, começando desde os números naturais, nós primeiramente definimos “número cardinal” e mostramos como generalizar a concepção de número, e então analisamos as concepções envolvidas na definição, até que descobrimos a nós mesmos lidando com os fundamentos da lógica. Em um tratamento sintético, dedutivo, desses fundamentos vêm primeiro, e os números naturais são apenas alcançados após uma longa jornada. Tal tratamento, embora formalmente mais correto do que aqueles que nós temos adotado, é mais difícil para o leitor, porque os conceitos e as proposições lógicos finais com os quais ela começa são distantes e estranhos quando comparados com os números naturais. Também eles representam a fronteira presente do conhecimento, além dos quais ainda é desconhecido; e o domínio do conhecimento sobre eles ainda não está muito seguro.

Costumava ser dito que a matemática é a ciência da “quantidade.” “Quantidade” é uma palavra vaga, mas, pelo bem do argumento, nós podemos substituí-la pela palavra “número.” A afirmação de que a matemática é a ciência do número seria inverdadeira de duas maneiras diferentes. Por um lado, há ramos reconhecidos da matemática que não têm nada a ver com número – toda geometria que não usa coordenadas ou mensuração, por exemplo: geometria projetiva e descritiva, até o ponto no qual as coordenadas são introduzidas, não têm nada a ver com o número, ou mesmo com a quantidade no sentido de maior ou menor. Por outro lado, através da definição de cardinais, através da teoria geral das séries, e através das definições das operações aritméticas, tornou-se possível generalizar muito que costumava ser provado apenas em conexão com os números. O resultado é que, o que antigamente foi o estudo único da aritmética agora se tornou dividido em números de estudos separados, nenhum dos quais está especialmente interessado em números. As [196]propriedades mais elementares dos números estão interessadas em relações um-um e de similaridade entre classes. A adição está interessada na construção de classes mutuamente exclusivas respectivamente similares a um conjunto de classes que não são conhecidas serem mutualmente exclusivas. A multiplicação está mesclada na teoria das “seleções,” ou seja, em um certo estudo de relações um-muitos. A finitude está mesclada no estudo geral de relações ancestrais, o qual gera a teoria toda da indução matemática. As propriedades ordinais dos vários tipos de séries-número, e os elementos da teoria da continuidade de funções e dos limites de funções, podem ser generalizadas de modo a não mais envolverem nenhuma referência essencial a números. Em todo raciocínio formal, é um princípio generalizar ao máximo, uma vez que, por esse meio, nós asseguramos que um dado processo de dedução deva ter resultados mais amplamente aplicáveis; portanto, dessa maneira, nós estamos generalizando o raciocínio da aritmética, meramente seguindo um preceito que é universalmente admitido na matemática. E com efeito, generalizando dessa maneria, nós temos criado um conjunto de novos sistemas dedutivos, no qual a aritmética tradicional está ao mesmo tempo dissolvida e alargada; mas se qualquer desses novos sistemas dedutivos – por exemplo, a teoria das seleções – deve ser dito pertencer à lógica ou à aritmética é inteiramente arbitrário e incapaz de ser decidido racionalmente.

Desse modo, nós somos trazidos face a face com a questão: Qual é esse tema que pode ser chamado indiferentemente ou de matemática ou de lógica? Há alguma maneira na qual nós podemos definir isso?

Certas características do assunto são claras. Para começar, nesse assunto, nós não lidamos com coisas particulares ou propriedades particulares: nós lidamos formalmente com o que pode ser dito sobre qualquer coisa ou qualquer propriedade. Nós estamos preparados para dizer que um e um são dois, mas não que Sócrates e Platão são dois, porque, em nossa capacidade de lógicos e matemáticos puros, nós nunca ouvimos de Sócrates e Platão. Um mundo no qual não houvesse indivíduos ainda seria um mundo no qual um e um seriam dois. Absolutamente não está aberto para nós, como matemáticos ou lógicos puros, mencionar coisa alguma porque, se o fizermos, [197]nós introduzirmos alguma coisa irrelevante e não formal. Nós podemos tornar isso claro aplicando-o ao caso do silogismo. A lógica tradicional diz: “Todos os homens são mortais, Sócrates é um homem, portanto, Sócrates é mortal.” Agora, para começar, está claro que o que nós queremos dizer ao afirmar isso é apenas que as premissas implicam a conclusão, não que premissas e conclusão são efetivamente verdadeiras; mesmo a lógica mais tradicional indica que a verdade atual das premissas é irrelevante para a lógica. Desse modo, a primeira mudança a ser feita no silogismo tradicional acima é formulá-lo na forma: “Se todos os homens são mortais, e Sócrates é um homem, então Sócrates é mortal.” Agora nós podemos observar que se pretende comunicar que esse argumento é válido em virtude da sua forma, não em virtude dos termos particulares ocorrendo nele. Se nós tivéssemos omitido “Sócrates é um homem” das nossas premissas, nós deveríamos ter um argumento não formal, apenas admissível porque, de fato, Sócrates é um homem; nesse caso, nós não poderíamos ter generalizado o argumento. Mas quando, como acima, o argumento é formal, nada depende dos termos que ocorrem nele. Desse modo, nós podemos substituir α por homens, β por mortais, e x por Sócrates, onde α e β são quaisquer classes, e x é um indivíduo. Então nós chegamos à afirmação: “Não importa que valores possíveis x e α e β possam ter, se todos os α’s são β’s e x é um a, então x é um β”; em outras palavras, “a função proposicional ‘se todos os α’s são β e x é um α, então x é um β’ é sempre verdadeira.” Aqui, finalmente, nós temos uma proposição de lógica – a única que é apenas sugerida pela afirmação tradicional sobre Sócrates e homens e mortais.

É claro que, se o que nós estamos visando é ao raciocínio formal, nós sempre deveremos chegar a afirmações como as acima, nas quais nenhuma coisa ou propriedade efetiva é mencionada; isso acontecerá através do mero desejo de não desperdiçar o nosso tempo provando em um caso particular o que pode ser provado de modo geral. Seria ridículo percorrer um longo argumento sobre Sócrates e, em seguida, percorrer novamente o mesmo argumento sobre Platão. Se o nosso argumento é um que (digamos) vale para todos os homens, nós devemos prová-lo relativo a “x,” com a hipótese de “se x é um homem.” Com [198]essa hipótese, o argumento reterá a sua validade hipotética mesmo quando x não é um homem. Mas agora nós deveremos descobrir que o nosso argumento ainda deve ser válido se, em vez de supor x ser um homem, nós devêssemos supô-lo ser um macaco ou um ganso ou um primeiro-ministro. Portanto, nós devemos não desperdiçar nosso tempo tomando como nossa premissa “x é um homem” mas tomar “x é um α,” onde α é qualquer classe de indivíduos, ou “Φx” onde Φ é qualquer função proposicional de algum tipo atribuído. Desse modo, a ausência de toda menção a coisas ou propriedades particulares na lógica ou na matemática pura é um resultado necessário do fato de que esse estudo é, como nós dizemos, “puramente formal.”

Neste ponto, nós encontramos a nós mesmos confrontados com um problema que é mais fácil de formular do que de resolver. O problema é: “Quais são os constituintes de uma proposição lógica?” Eu não sei a resposta, mas eu proponho explicar como o problema surge.

Tome-se (digamos) a proposição “Sócrates foi anterior a Aristóteles.” Aqui parece óbvio que nós temos uma relação entre dois termos, e que os constituintes da proposição (bem como também do fato correspondente) são simplesmente dos dois termos e a relação, ou seja, Sócrates, Aristóteles e anterior. (Eu ignoro o fato de que Sócrates e Aristóteles não são simples; também o fato de que o que parece ser o nome são realmente descrições truncadas. Nenhum desses fatos é relevante para a questão presente.) Nós podemos representar a forma geral dessas proposições por “x R y,” o que pode ser lido “x tem a relação R com y.” Essa forma geral pode ocorrer em proposições lógicas, mas nenhuma instância particular dela pode ocorrer. Nós devemos inferir que a forma geral mesma é um constituinte de tais proposições lógicas?

Dada uma proposição, tal como “Sócrates é anterior a Aristóteles,” nós temos certos constituintes e também uma certa forma. Mas a forma mesma não é um novo constituinte; se fosse, nós deveríamos necessitar de uma nova forma para englobar tanto ela quanto os outros constituintes. De fato, nós podemos transformar todos os constituintes de uma proposição em variáveis, enquanto mantendo a forma não mudada. Isso é o que nós fazemos quando usamos um esquema tal como “x R y,” o qual equivale a qualquer [199]uma de uma certa classe de proposições, a saber, aquelas afirmando relações entre dois termos. Nós podemos prosseguir para afirmações gerais, tais como “x R y é algumas vezes verdadeira” – ou seja, há casos onde relações duais valem. Essa afirmação pertencerá à lógica (ou matemática) no sentido no qual nós estamos usando a palavra. Mas, nessa afirmação, nós não mencionamos nenhuma coisa particular ou relação particular; nenhuma coisa particular ou relação pode entrar em uma proposição da lógica pura, pura. Nós somos deixados com formas puras como os únicos constituintes possíveis de proposições lógicas.

Eu não desejo afirmar positivamente que formas puras – ou seja, a forma “x R y” – efetivamente entram em proposições do tipo que nós estamos considerando. A questão da análise dessas proposições é uma difícil, com considerações conflitantes de um lado e do outro. Nós não podemos embarcar nessa questão agora, mas nós podemos aceitar, como uma primeira aproximação, a visão de que as formas são o que entram em proposições lógicas como os constituintes delas. E nós podemos explicar (embora não definir formalmente) o que nós queremos dizer pela “forma” de uma proposição como segue:-

A “forma” de uma proposição é aquilo que nela resta não mudado quando cada constituinte da proposição é substituído por outro.

Desse modo “Sócrates é anterior a Aristóteles” tem a mesma forma que “Napoleão é maior do que Wellington,” embora cada constituinte das duas proposições é diferente.

Desse modo, nós podemos estabelecer, como uma característica necessária (embora não suficiente) das proposições lógicas ou matemáticas, que elas devem ser tais que podem ser obtidas a partir de uma proposição contendo nenhuma variável (ou seja, nenhuma palavra tal como todos, alguns, um, o, etc.) transformando cada constituinte em uma variável e afirmando que o resultado é sempre verdadeiro ou algumas vezes verdadeiro, ou que é sempre verdadeiro com respeito a algumas das variáveis que o resultado é algumas vezes verdadeiro com respeito a outras, ou alguma variante dessas formas. E outra maneira de formular a mesma questão é dizer que a lógica (ou a matemática) está interessada apenas em formas, e está interessada nelas no modo de formular que elas são sempre ou [200]algumas vezes verdadeiras – com todas as permutações de “sempre” e “algumas vezes” que podem ocorrer.

Há em cada linguagem algumas palavras cuja única função é indicar a forma. Essas palavras, falando de modo geral, são as mais comuns em linguagens, tendo as mais poucas inflexões. Tome-se “Sócrates é humano.” Aqui “é” não é um constituinte da proposição, mas meramente indica a forma sujeito-predicado. Similarmente, “Sócrates é anterior do que Aristóteles,” “é (is)” e “do que (than)” meramente indica a forma; a proposição é a mesma que “Sócrates precede Aristóteles,” na qual essas palavras desapareceram e a forma é indicada de outra maneira. A forma, como uma regra, pode ser indicada de outra maneira que por palavras específicas: a ordem das palavras faz a maior parte do que é necessário. Mas esse princípio não precisa ser enfatizado. Por exemplo, é difícil ver como nós poderíamos expressar convenientemente formas moleculares de proposições (ou seja, o que nós chamamos de “funções-verdade”) sem absolutamente nenhuma palavra. Nós vimos no capítulo XIV que uma palavra ou símbolo é suficiente para esse propósito, uma palavra ou símbolo expressando incompatibilidade. Mas mesmo sem um, nós deveríamos encontrar a nós mesmos em dificuldade. Contudo, esse não é o ponto importante para o nosso propósito presente. O que é importante para nós é observar que a forma pode o interesse único de uma proposição geral, mesmo quando nenhuma palavra ou símbolo nessa proposição designa a forma. Se nós desejamos falar sobre a forma mesma, nós temos de ter uma palavra para ela; mas se, como na matemática, nós desejamos falar sobre todas as proposições que têm a forma, uma palavra para a forma usualmente será considerada não ser indispensável; provavelmente, em teoria, ela nunca é indispensável.

Assumindo – como eu penso que nós podemos – que as formas de proposições podem ser representadas pelas formas das proposições nas quais elas são expressas sem nenhuma palavra especial para as formas, nós deveríamos chegar a uma linguagem na qual tudo formal pertenceria à sintaxe e não ao vocabulário. Em uma tal linguagem, nós poderíamos expressar todas as proposições da matemática mesmo se não soubéssemos uma única palavra da linguagem. Se fosse perfeita, a linguagem da [201]lógica matemática seria uma tal linguagem. Nós deveríamos ter símbolos para as variáveis, tais como “x” e “R” e “y,” arranjados de várias maneiras; e o modo do arranjo indicaria que alguma coisa estava sendo dita ser verdadeira de todos os valores ou de alguns valores das variáveis. Nós não deveríamos ter de conhecer nenhuma palavra, porque elas apenas seriam necessárias para fornecer valores para as variáveis, o que é a tarefa do matemático aplicado, não do matemático puro ou lógico. É uma das marcas de uma proposição da lógica que, dada uma linguagem adequada, uma tal proposição pode ser afirmada em uma tal linguagem por uma pessoa que conhece a sintaxe sem conhecer uma única palavra do vocabulário.

Mas, afinal, há palavras que expressam a forma, tal como “é (is)” e “do que (than).” E em cada simbolismo até agora inventado para a lógica matemática há símbolos tendo significados formais constantes. Nós podemos tomar como um exemplo o símbolo para a incompatibilidade que é empregado na construção das funções-verdade. Tais palavras, ou símbolos, podem ocorre em lógica. A questão é: Como nós devemos defini-los?

Tais palavras ou símbolos expressam o que são chamados de “constantes lógicas.” Constantes lógicas podem ser definidas exatamente como nós definimos formas; de fato, em essência, elas são a mesma coisa. Uma constante lógica fundamental será aquela que é comum em meio a número de proposições, qualquer uma das quais pode resultar a partir de qualquer outra através da substituição de termos um pelo outro. Por exemplo, “Napoleão é maior do que Wellington” resulta a partir de “Sócrates é anterior do que Aristóteles” através da substituição de “Napoleão” por “Sócrates,” “Wellington” por “Aristóteles,” e “maior” por “anterior.” Algumas proposições podem ser obtidas dessa forma a partir do protótipo “Sócrates é anterior do que Aristóteles” e algumas não podemos; aquelas que podem são aquelas da forma “x R y,” ou seja, expressam relações duais. Nós não podemos obter a partir do protótipo acima, através de substituição termo por termo, proposições tais como “Sócrates é humano” ou “Os atenienses deram cicuta a Sócrates,” porque a primeira é da forma sujeito-[202]predicado e a segunda expressa uma relação de três termos. Se nós devemos ter quaisquer palavras em nossa linguagem lógica pura, elas têm de ser tais que expressem “constantes lógicas,” e “constantes lógicas” sempre serão o, ou serão derivadas a partir do, que é em comum em um grupo de proposições deriváveis umas das outras, no modo acima, através de substituição termo por termo. E isso que é comum é o que nós chamamos de “forma.”

Nesse sentido, todas as “constantes” que ocorrem na matemática pura são constantes lógicas. Por exemplo, o número 1 é derivado a partir de proposições da forma: “Há um termo c tal que Φx é verdadeiro quando, e apenas quando, x é c.” Isso é uma função de Φ, e várias proposições diferentes resultam a partir de se darem valores diferentes a Φ. Nós podemos (com uma pequena omissão dos passos intermediários não relevantes para o nosso propósito presente) tomar a função acima de Φ como o que é significado por “a classe determinada por Φ é a classe unidade” ou “a classe determinada por Φ é um membro de 1” (1 sendo uma classe de classes). Dessa maneira, proposições nas quais 1 ocorre adquirem um significado que é derivado a partir de uma certa forma lógica constante. E o mesmo será considerado ser o caso com todas as constantes matemáticas: todas são constantes lógicas, ou abreviações simbólicas, cujo uso completo em um contexto apropriado é definido através de constantes lógicas.

Mas embora todas as proposições lógicas (ou matemáticas) possam ser expressas inteiramente em termos de constantes lógicas junto com variáveis, não é o caso de que, inversamente, todas as proposições que podem ser expressas dessa maneira são lógicas. Até agora nós encontramos um critério necessário mais não suficiente das proposições matemáticas. Nós temos suficientemente definido o caráter das ideias primitivas em termos nos quais todas as ideias da matemática podem ser definidos, mas não nas proposições primitivas a partir das quais as proposições da matemática podem ser deduzidas. Essa é uma questão mais difícil, quanto à qual ainda não é conhecido qual é a resposta completa.

Nós podemos tomar o axioma do infinito como um exemplo de uma proposição que, embora ela possa ser enunciada em termos lógicos, [203]não pode ser afirmada ser verdadeira pela lógica. Todas as proposições da lógica têm uma característica que costumava ser expressa dizendo que elas eram analíticas, ou que as contraditórias delas eram autocontraditórias. Contudo, esse modo de expressão não é satisfatório. A lei da contradição é meramente uma entre as proposições lógicas; ela não tem preeminência especial; e a prova de que a contraditória de alguma proposição é autocontraditória é provável de requerer outros princípios de dedução além da lei da contradição. Mesmo assim, a característica das proposições lógicas da qual nós estamos em busca é uma que foi sentida, e intencionada ser definida, por aqueles que disseram que ela consistia na dedutibilidade a partir da lei da contradição. Essa característica, a qual, pelo momento, nós podemos chamar de tautologia, obviamente não pertence à afirmação de que o número de indivíduos no universo é n, seja o que for que n possa ser. Mas, quanto à diversidade de tipos, seria possível provar logicamente que há classes de n termos, onde n é qualquer inteiro finito; ou mesmo que há classes de ℵ₀ termos. Mas, devendo-se a tipos, tais provas, como nós dissemos no capítulo XIII, são falaciosas. Nós somos deixados com a observação empírica para determinar se há tantos quantos n indivíduos no mundo. Entre os mundos “possíveis,” no sentido leibniziano, haverá mundos tendo um, dois, três, … indivíduos. Não parece haver nenhuma necessidade lógica de porque deveria haver mesmo um indivíduo¹ – porque, de fato, deveria haver qualquer mundo que seja. A prova ontológica da existência de Deus, se ela fosse válida, estabeleceria a necessidade lógica de, pelo menos, um indivíduo. Mas geralmente ela é reconhecida como inválida, e, de fato, ela depende de uma visão equivocada da existência – ou seja, ela falha em compreender que a existência apenas pode ser afirmada de alguma coisa descrita, não de alguma coisa nomeada, de modo que é sem sentido argumentar a partir de “este é o assim-e-assim” e “o assim-e-assim existe” para “isso existe.” Se rejeitamos o argumento ontológico, [204]nós parecemos ser levados a concluir que a existência de um mundo é um acidente – ou seja, não é logicamente necessária. Se isso for assim, nenhum princípio da lógica pode afirmar a “existência,” exceto sob uma hipótese, ou seja, nenhuma pode ser da forma “a função proposicional assim-e-assim é, algumas vezes, verdadeira.” Proposições dessa forma, quando elas ocorrem na lógica, terão de ocorrer como hipóteses ou consequências de hipótese, não como proposições completas afirmadas. Proposições completas afirmadas da lógica serão todas tais que afirmam que alguma função proposicional é sempre verdadeira. Por exemplo, é verdadeiro que se p implica q, e q implica r, então p implica r, ou que, se todos α’s são β’s, e x é um α, então x é um β. Tais proposições podem ocorrer na lógica, e a verdade delas é independente da existência do universo. Nós podemos estabelecer que, se não houvesse nenhum universo, todas as proposições gerais seriam verdadeiras; pois a contraditória de uma proposição geral (como nós vimos no capítulo XV) é uma proposição afirmando a existência e, portanto, sempre seria falsa se nenhum universo existisse.

As proposições lógicas são tais que podem ser conhecidas a priori, sem estudo do mundo atual. Nós sabemos apenas através de um estudo de fatos empíricos que Sócrates é um homem, mas nós conhecemos a correção do silogismo em sua forma abstrata (ou seja, quando ele é formulado em termos de variáveis) sem necessitar de nenhum apelo à experiência. Essa é uma característica não das proposições lógicas em si mesmas, mas do modo no qual nós as conhecemos. Contudo, isso tem uma autoridade sobre a questão de qual pode ser a natureza delas, uma vez que há alguns tipos de proposições que seriam muito difíceis de supor que nós poderíamos conhecer sem a experiência.

Está claro que a definição de “lógica” ou “matemática” tem de ser buscada tentando dar uma nova definição da noção antiga de proposições “analíticas.” Embora nós não mais possamos ficar satisfeitos em definir proposições lógicas como aquelas que se seguem a partir da lei da contradição, nós ainda podemos e temos de admitir que elas são uma classe inteiramente diferente de diferente daquelas que nós chegamos a conhecer empiricamente. Todas elas têm a característica que, um momento atrás, nós concordamos em chamar de “tautologia.” Isso, [205]combinado com o fato de que elas podem ser expressas inteiramente em termos de variáveis e constantes lógicas (uma constante lógica sendo alguma coisa que permanece constante em uma proposição mesmo quando todos os seus constituintes são mudados) – fornecerá a definição de lógica ou matemática pura. Pelo momento, eu não sei como definir “tautologia.”² Seria fácil oferecer uma definição que pareceria satisfatória por um tempo; mas eu não conheço nenhuma que eu considere ser satisfatória, a despeito do sentimento completamente família que é característico do qual uma definição está em falta. Portanto, neste ponto, pelo momento, nós alcançamos a fronteira do nosso conhecimento em nossa viagem para trás nos fundamentos lógicos da matemática.

Agora nós chegamos a um fim da nossa introdução um pouco resumida à filosofia matemática. É impossível comunicar adequadamente as ideias que estão relacionadas a esse assunto enquanto nos abstivermos do uso de símbolos lógicos. Uma vez que a linguagem ordinária não tem palavras que naturalmente expressem exatamente o que nós desejamos expressar, é necessário, enquanto nós aderirmos à linguagem ordinária, forçar as palavras em significados incomuns; e o leitor é certo de, após um tempo senão no começo, recair na atribuição dos significados comuns às palavras, desse modo, chegando a noções erradas quanto ao que é intencionado ser dito. Além disso, a gramática e a sintaxe ordinárias são extraordinariamente enganadoras. Por exemplo, esse é o caso com respeito aos números; “dez homens (ten men)” é gramaticalmente a mesma forma que “homens brancos (white men),” de modo que 10 poderia ser considerado ser um adjetivo qualificando homens “(men).” Novamente, esse é o caso onde quer que funções proposicionais estejam envolvidas, e, em particular, com respeito à existência e às descrições. Porque a linguagem é enganadora, assim como porque ela é difusa e inexata quando aplicada à lógica (para o que ela nunca foi intencionada), o simbolismo lógico é absolutamente necessário para qualquer tratamento exato ou completo do nosso assunto. [206]Portanto, é esperado que aqueles leitores que desejem adquirir uma maestria dos princípios da matemática, não recuarão diante do labor de dominar os símbolos – um labor que, de fato, é muito menor do que poderia ser pensado. Como a revisão apressada acima deve ter tornado evidente, há inúmeros problemas não resolvidos no assunto, e muito trabalho tem de ser feito. Se qualquer estudante é levado a um estudo sério da lógica matemática por este pequeno livro, ele terá servido ao propósito principal para o qual ele foi escrito.

FIM

ORIGINAL:

RUSSELL, B. Introduction to Mathematical Philosophy. London: G. Allen & Unwin, 1919. p. 194-206. Disponível em: <https://archive.org/details/introductiontoma00russ/page/194/mode/1up>

TRADUÇÃO:

EderNB do Blog Mathesis

Licença: CC BY-NC-SA 4.0

1[203]As proposições primitivas nos Principia Mathematica são tais quando a admitirem a inferência de que, pelo menos, um indivíduo existe. Mas agora eu vejo isso como um defeito na pureza lógica.

2[205]A importância da “tautologia” para uma definição da matemática foi indicada para mim por meu antigo pupilo Ludwig Wittgenstein, quem estava trabalhando sobre o problema. Eu não seu se ele o resolveu, ou mesmo se ele está vivo ou morto.