Introdução à Filosofia Matemática
Por Bertrand Russell
Prefácio, Nota do Editor e Conteúdos
[155]Capítulo XV Funções Proposicionais
Quando, no capítulo precedente, nós estávamos discutindo proposições, nos não tentamos fornecer uma definição da palavra “proposição.” Mas, embora a palavra não possa ser formalmente definida, é necessário dizer alguma coisa quanto ao seu significado, para evitar a confusão muito comum com “funções proposicionais,” as quais devem ser o tópico do capítulo presente.
Nós queremos dizer por uma “proposição” primariamente uma forma de palavras que expressa o que é ou verdadeiro ou falso. Eu digo “primariamente” porque eu não desejo excluir outros além de símbolos verbais, ou até meros pensamentos, se eles têm um caráter simbólico. Mas eu penso que a palavra “proposição” deveria ser limitada ao que pode, em algum sentido, ser chamado de “símbolos,” e, adicionalmente, àqueles símbolos tais que dão expressão à verdade ou falsidade. Desse modo, “dois e dois são quatro” e “dois e dois são cinco” serão proposições, e assim serão “Sócrates é um homem” e “Sócrates não é um homem.” A afirmação “Quaisquer que os números a e b possam ser, (a+b)2=a2+2ab+b2” é uma proposição; mas a fórmula nua “(a+b)2=a2+2ab+b2” não é, uma vez que ela não afirma nada definido a menos que seja adicionalmente dito a nós, ou sejamos levado a supor, que a e b devem ter todos os valores possíveis, ou devem ter tais-e-tais valores. A primeira dessas é tacitamente assumida, como uma regra, na enunciação de fórmulas matemáticas, as quais, dessa maneira, tornam-se proposições; mas, se nenhuma suposição similar fosse feita, elas seriam “funções proposicionais.” De fato, uma “função proposicional” é uma expressão contendo um ou mais constituintes indeterminados, [156]tal que, quando valores são atribuídos a esses constituintes, a expressão tornar-se uma proposição. Em outras palavras, ela é uma função cujos valores são proposições. Mas essa definição posterior tem de ser usada com cautela. Uma função descritiva, por exemplo “a proposição mais difícil no tratado matemático de A,” não será uma função proposicional, embora os seus valores sejam proposições. Mas em um tal caso as proposições são apenas descritas: em uma função proposicional, os valores têm efetivamente de enunciar proposições.
Exemplos de funções proposicionais são fáceis de fornecer: “x é humano” é uma função proposicional; enquanto x permanece indeterminado, ela não é nem verdadeira nem falsa, mas quando um valor é atribuído a x ela torna-se uma proposição verdadeira ou falsa. Qualquer equação matemática é uma função proposicional. Enquanto as variáveis não têm valor definido, a equação é meramente uma expressão esperando determinação para se tornar uma proposição verdadeira ou falsa. Se ela é uma equação contendo uma variável, ela torna-se verdadeira quando a variável é igualada a uma raiz da equação, caso contrário, ela torna-se falsa; mas se ela é uma “identidade,” ela será verdadeira quando a variável for qualquer número. A equação para uma curva em um plano ou para uma superfície no espaço é uma função proposicional, verdadeira para as coordenadas pertencendo a pontos sobre a curva ou superfície, falsa para outros valores. Expressões da lógica tradicional tais como “todo A é B” são funções proposicionais: A e B têm de ser determinados como classes definidas antes que essas expressões tornem-se verdadeiras ou falsas.
A noção de “casos” ou “instâncias” depende de funções proposicionais. Por exemplo, considere-se o tipo de processo sugerido pelo que é chamado de “generalização,” e tomemos algum exemplo muito primitivo, digamos, “relâmpago é seguido pelo trovão.” Nós temos um número de “instâncias” disso, ou seja, um número de proposições tais como: “isso é um clarão de relâmpago, e é seguido por um trovão.” Do que essas “instâncias” são ocorrências? Elas são instâncias da função proposicional: “Se x é um clarão de relâmpago, x é seguido por um trovão.” O processo de generalização (com cuja validade, afortunadamente, nós [157]não estamos preocupados) consiste na passagem a partir dessas instâncias para a verdade universal da função proposicional: “Se x é um brilho de relâmpago, x é seguido por um trovão.” De uma maneira análoga, será considerado que funções proposicionais estão sempre envolvidos sempre que nós falamos de instâncias ou casos ou exemplos.
Nós não temos de perguntar, ou tentar responder, a questão: “O que é uma função proposicional?” Uma função proposicional completamente sozinha pode ser tomada como um mero esquema, uma mera casca, um receptáculo vazio para significado, não alguma coisa já significante. Nós estamos preocupados com funções proposicionais, falando de modo amplo, de duas maneiras: primeiro, enquanto envolvidas nas noções de “verdadeiro em todos os casos” e “verdadeiro em alguns casos”; segundo, enquanto envolvidas na teoria das classes e relações. O segundo desses tópicos nós postergaremos para um capítulo posterior; o primeiro tem de nos ocupar agora.
Quando nós dizemos que alguma coisa é “sempre verdadeira” ou “verdadeira em todos os casos,” é claro que o “alguma coisa” envolvido não pode ser uma proposição. Uma proposição é exatamente verdadeira ou falsa, e há um fim para a questão. Não há instâncias ou casos de “Sócrates é um homem” ou “Napoleão morreu em Santa Helena.” Essas são proposições, e seria sem sentido perguntar se elas são verdadeiras “em todos os casos.” Essa frase é apenas aplicável a funções proposicionais. Por exemplo, tome-se o tipo de coisa que é frequentemente dito quando a causação está sendo discutida. (Nós não estamos preocupados com a verdade ou falsidade do que é dito, mas apenas com a sua análise lógica.) É dito a nós que, em cada instância, A é seguido por B. Agora, se há “instâncias” de A, A tem de ser algum conceito geral do qual é significante dizer “x1 é A,” “x2 é A,” “x3 é A,” e assim por diante, onde x1, x2, x3 são particulares que não são idênticos uns com os outros. Isso se aplica, por exemplo, ao nosso caso anterior do relâmpago. Nós dizemos que o relâmpago (A) é seguido pelo trovão (B). Mas os clarões separados são particulares, não idênticos, exceto compartilhando a propriedade comum de serem relâmpagos. A única maneira de expressar uma [158]propriedade comum de modo geral é dizer que uma propriedade comum de um número de objetos é uma função proposicional que se torna verdadeira quando qualquer um desses objetos é tomado como o valor da variável. Nesse caso, todos os objetos são “instâncias” da verdade da função proposicional – para uma função proposicional, embora ela mesma não possa ser verdadeira ou falsa, é verdadeiro em certas instâncias e falsa em certas outras, a menos que ela seja “sempre verdadeira” ou “sempre falsa.” Quando, para retornarmos ao nosso exemplo, nós dizemos que, em cada instância, A é seguido por B, nós queremos dizer que, o que quer que x possa ser, se x é um A, ele é seguido por um B; quer dizer, nós estamos afirmando que uma certa função proposicional é “sempre verdadeira.”
Sentenças envolvendo palavras tais como “todos (all),” “cada (every),” “um (a),” “o (the),” “alguns (some)” requerem funções proposicionais para a sua interpretação. O modo no qual as funções proposicionais ocorrem pode ser explicado através de duas das palavras acima, a saber, “todos” e “alguns.”
Na última análise, há apenas duas coisas que podem ser feitas com uma função proposicional: uma é afirmar que ela é verdadeira em todos os casos, a outra é afirmar que ela é verdadeira em, pelo menos, um caso, ou em alguns casos (como nós devemos dizer, assumindo que não deve haver nenhuma implicação de uma pluralidade de casos). Todas os outros usos de funções proposicionais podem ser reduzidos a esses dois. Quando nós dizemos que uma função proposicional é verdadeira “em todos os casos,” ou “sempre” (como nós também devemos dizer, sem nenhuma sugestão temporal), nós queremos dizer que todos os seus valores são verdadeiros. Se “Φx” é a função, e a é o tipo correto de objeto para ser um argumento para “Φx,” então Φa deve ser verdadeira, qualquer a que possa ser escolhido. Por exemplo, “se a é humano, a é mortal” é verdadeira se a é humano ou não; de fato, todo proposição dessa forma é verdadeira. Desse modo, a função proposicional “se x é humano, x é mortal” é “sempre verdadeira,” ou “verdadeira em todos os casos.” Ou, novamente, a afirmação “não há unicórnios” é a mesma que a afirmação “a função proposicional ‘x não é um unicórnio’ é verdadeira em todos os casos.” As afirmações no capítulo precedente sobre proposições, por exemplo, “‘p ou q’ implica ‘q ou p,’” são realmente afirmações [159]de que certas funções proposicionais são verdadeiras em todos os casos. Por exemplo, nós não afirmamos o princípio acima como sendo verdadeiro desta ou daquela p ou q particular, mas como sendo verdadeiro de qualquer p ou q em relação à qual ele pode ser tornado significante. A condição de que uma função deve ser significante para um dado argumento é a mesma que a condição de que ela deve ter um valor para aquele argumento, ou verdadeiro ou falso. O estudo das condições de significância pertence à doutrina dos tipos, o qual nós não deveremos investigar além do esboço dado no capítulo precedente.
Não apenas os princípios da dedução, mas todas as proposições primitivas da lógica, consistem em asserções de que certas funções proposicionais são sempre verdadeiras. Se esse não fosse o caso, elas teriam de mencionar coisas ou conceitos particulares – Sócrates, ou vermelhidão, ou leste ou oeste, ou similares, - e claramente não é a província da lógica fazer afirmações que sejam verdadeiras relativamente a tal coisa ou conceito mas não relativamente a outros. É parte da definição da lógica (mas não o todo da sua definição) que todas as suas proposições sejam completamente gerais, ou seja, elas consistem na afirmação de que alguma função proposicional não contendo nenhum termo constante é sempre verdadeira. No nosso capítulo final nós deveremos retornar à discussão das funções lógicas não contendo nenhum termo constante. Pelo presente, nós prosseguiremos para a outra coisa que deve ser feita com uma função proposicional, a afirmação de que ela é “algumas vezes verdadeira,” ou seja, verdadeira em, pelo menos, uma instância.
Quando nós dizemos “há homens,” isso quer dizer que a função proposicional “x é um homem” algumas vezes é verdadeira. Quando nós dizemos “alguns homens são gregos,” isso significa que a função proposicional “x é um homem e um grego” algumas vezes é verdadeira. Quando nós dizemos “canibais ainda existem na África,” isso quer dizer que a função proposicional “x é um canibal agora na África” algumas vezes é verdadeira, ou seja, é verdadeira para alguns valores de x. Dizer “Há, pelo menos, n indivíduos no mundo” é dizer que a função proposicional “α é uma classe de indivíduos e um membro do número cardinal n” algumas vezes é verdadeira, ou, como nós podemos dizer, é verdadeira para certos [160]valores de α. Essa forma de expressão é mais conveniente quando é necessário indicar qual é a variável constituinte que nós estamos tomando como o argumento da nossa função proposicional. Por exemplo, a função proposicional acima, a qual pode ser encurtada para “α é uma classe de n indivíduos,” contém duas variáveis, α e n. O axioma do infinito, na linguagem das funções proposicionais, é: “A função proposicional ‘se n é um número indutivo, é verdadeiro para alguns valores de α que α é uma classe de n indivíduos’ é verdadeiro para todos os valores possíveis de n.” Aqui há uma função subordinada, “ α é uma classe de n indivíduos,” a qual é dita ser, com respeito a α, algumas vezes verdadeira; e a afirmação de que isso acontece se n é um número indutivo é dita ser, com respeito a n, sempre verdadeira.
A afirmação de que uma função Φx é sempre verdadeira é a negação da afirmação de que não- Φx é algumas vezes verdadeira, e a afirmação de que Φx é algumas vezes verdadeira é a negação da afirmação de que não- Φx é sempre verdadeira. Dessa forma, a afirmação “todos os homens são mortais” é a negação da afirmação de que a função “x é um homem imortal” é algumas vezes verdadeira. E a afirmação “há unicórnios” é a negação da afirmação de que a função “x não é um unicórnio” é sempre verdadeira.1 Nós dizemos que Φx é “nunca verdadeira” ou “sempre falsa” se não-Φx é sempre verdadeira. Se nós escolhermos, nós podemos tomar um do par “sempre,” “algumas vezes” como uma ideia primitiva, e definir o outro através do primeiro e da negação. Dessa forma, se nós escolhêssemos “algumas vezes” como a nossa ideia primitiva, nós podemos definir: “‘Φx é sempre verdadeira’ deve significar ‘é falso que não-Φx é algumas vezes verdadeira.’”2 Mas, por razões conectadas com a teoria dos tipos, parece mais correto tomar tanto “sempre” quanto “algumas vezes” como ideias primitivas e definir através delas a negação de proposições nas quais elas ocorrem. Isso quer dizer, assumindo que nós já tenhamos [161]definido (ou adotado como uma ideia primitiva) a negação de proposições do tipo ao qual x pertence, nós definimos: “A negação de ‘Φx sempre’ é ‘não-Φx algumas vezes’; e a negação de ‘Φx algumas vezes’ é ‘não-Φx sempre.’” De uma maneira similar, nós podemos redefinir a disjunção e outras funções-verdade, enquanto aplicadas a proposições contendo variáveis aparentes, em termos das definições e ideias primitivas para proposições não contendo variáveis aparentes. Proposições não contendo variáveis aparentes são chamadas de “proposições elementares.” A partir dessas nós podemos subir passo a passo, usando aqueles métodos que foram indicados, para a teoria das funções-verdade enquanto aplicadas a proposições contendo uma, duas, três, … variáveis, ou qualquer número até n, onde n é qualquer valor atribuído finito.
As formas que são tomadas como as mais simples na lógica formal tradicional estão realmente longe de ser assim e todas envolvem a afirmação de todos os valores ou alguns valores de uma função proposicional composta. Para começar, tome-se “todo S é P.” Nós aceitaremos que S é definido por uma função proposicional Φx, e P, por uma função proposicional Ψx. Por exemplo, S é homens, Φx será “x é humano”; se P é mortais, Ψx será “há um tempo no qual x morre.” Então “todo S é P” significa: “‘Φx implica Ψx’ é sempre verdadeira.” Deve ser observado que “todo S é P” não se aplica apenas aqueles termos que atualmente são S’s; ela diz alguma coisa igualmente sobre termos que não são S’s. Suponha que nos deparemos com x do qual nós não sabemos se ele é um S ou não; ainda assim, a nossa afirmação “todo S é P” diz-nos alguma coisa sobre x, a saber, que se x for um S, então x é um P. E isso é tão verdadeiro quando x não é um S quando x é um S. Se isso não fosse igualmente verdadeiro nos dois casos, a reductio ad absurdum não seria um método válido; pois a essência desse método consiste em usar implicações em casos onde (como posteriormente se revela) a hipótese é falsa. Nós podemos colocar isso de outra maneira. Para entender que “todo S é P,” não é necessário ser capaz de enumerar que termos são S’s; com a condição que nós saibamos o que é significado por ser um S e o que é por ser um P, nós podemos entender completamente o que é efetivamente afirmado [162]por “todo S é P,” por mais que pouco nós possamos saber das instâncias atuais de qualquer um. Isso mostra que não são meramente os termos atuais que são S’s que são relevantes para a afirmação “todo S é P,” mas todos os termos relativos para os quais a suposição de que eles são S’s é significante, ou seja, todos os termos que são S’s, juntos com todos os termos que não são S’s – ou seja, o todo do “tipo” lógico apropriado. O que se aplica a afirmações sobre todos também se aplica a afirmações sobre alguns. Por exemplo, “há homens” significa que “x é humano” é verdadeiro para alguns valores de x. Aqui todos os valores de x (ou seja, todos os valores para os quais “x é humano” é significante, quer verdadeira, quer falsa) são relevantes, e não apenas aqueles que, de fato, são humanos. (Isso se torna óbvio se nós considerarmos como nós poderíamos provar que essa afirmação é falsa.) Desse modo, toda afirmação sobre “todos” ou “alguns” envolve não apenas os argumentos que tornam uma certa função verdadeira, mas todos que a tornam significante, ou seja, todos para os quais ela tem um valo, de qualquer maneira, quer verdadeiro, quer falso.
Agora nós podemos prosseguir com a nossa interpretação das formas tradicionais da lógica formal antiquada. Nós assumimos que S é aqueles termos x para os quais Φx é verdadeira, e P é aqueles para os quais Ψx é verdadeira. (Como nós deveremos ver em um capítulo posterior, todas as classes são derivadas dessa maneira a partir de funções proposicionais.) Então:
“Todo S é P” significa “‘Φx implica Ψx’ é sempre verdadeira.”
“Algum S é P” significa “‘Φx implica Ψx’ é algumas vezes verdadeira.”
“Nenhum S é P” significa “‘Φx implica não-Ψx’ é sempre verdadeira.”
“Algum S não é P” significa “‘Φx e não-Ψx’ é algumas vezes verdadeira.”
Será observado que as funções proposicionais que são afirmadas aqui para todos e alguns dos valores não são as Φx e Ψx mesmas, mas funções-verdade de Φx e Ψx para o mesmo argumento. A maneira mais fácil de conceber esse tipo de coisas que é intencionado não é começar a partir de Φx e Ψx de modo geral, mas a partir de Φa e Ψa, onde a é alguma constante. Suponha que nós estamos considerando todos “os homens são mortais”: nós começáramos como
“Se Sócrates é humano, Sócrates é mortal,”
[163]e então nós consideraremos “Sócrates” como substituído por uma variável x sempre que “Sócrates” ocorre. O objeto a ser assegurado é que, embora x permaneça uma variável, sem nenhum valor definido, contudo, ele deve ter o mesmo valor em “Φx” que em “Ψx” quando nós estamos afirmando que “Φx implica Ψx” é sempre verdadeiro. Isso requer que nós devamos começar com uma função cujos valores sejam tais que “Φa implica Ψa,” em vez de com duas funções separadas Φx e Ψx; pois, se começarmos com duas funções separadas, nós nunca podemos assegurar que x, embora permanecendo indeterminado, deverá ter o mesmo valor em ambas.
Por brevidade, nós dizemos “Φx sempre implica Ψx” quando nós queremos dizer que “Φx implica Ψx” é sempre verdadeira. Proposições da forma “Φx sempre implica Ψx” são chamadas de “implicações formais”; esse nome é dado igualmente se houver várias variáveis.
As definições acima mostram quão distantes das formas mais simples estão aquelas proposições como “todo S é P,” com as quais a lógica tradicional começa. É típico da falta de análise envolvida que a lógica tradicional trata “todo S é P” como uma proposição da mesma forma que “x é P” – ou seja, trata “todos os homens são mortais” como da mesma forma que “Sócrates é mortal.” Como nós vimos há pouco, a primeira é da forma “Φx sempre implica Ψx,” enquanto que a segunda é da forma “Ψx.” A separação enfática dessas duas formas, a qual foi efetuada por Peano e Frege, foi um avanço muito vital em lógica simbólica.
Será percebido que “todo S é P” e “nenhum S é P” não diferem realmente na forma, exceto pela substituição de não-Φx por Ψx, e que o mesmo se aplica a “algum S é P” e “algum S não é P.” Também deveria ser observado que as regras tradicionais de conversação são falhas, se nós adotarmos a visão, a qual é única tecnicamente tolerável, de que proposições tais como “todo S é P” não envolvem a “existência” de S’s, ou seja, não requerem que deverão haver termos que são S’s. As definições acima levam ao resultado de que, se Φx é sempre falso, ou seja, se não há S’s, então “todo S é P” e “nenhum S é P” serão ambas verdadeiras, seja o que for que [164]P possa ser. Pois, de acordo com a definição no último capítulo, “Φx implica Ψx” significa “não-Φx ou Ψx,” a qual é sempre verdadeira se não-Φx é sempre verdadeira. No primeiro momento, esse resultado poderia levar o leitor a desejar definições diferentes, mas um pouco de experiência prática logo mostra que nenhuma definição diferente seria inconveniente e ocultaria as ideias importantes. A proposição “Φx sempre implica Ψx, e Φx é algumas vezes verdadeira” é essencialmente composta, e seria muito estranha dar isso como a definição de “todo S é P,” pois então nós deveríamos não ter linguagem restante para “Φx sempre implica Ψx,” a qual é cem vezes necessária para cada vez que a outra é necessária. Mas, com as nossas definições, “todo S é P” não implica “algum S é P,” uma vez que a primeira permite a não existência de S e a segunda não; desse modo, a conversão per accidens torna-se inválida, e alguns modos do silogismo são falaciosos, por exemplo, Darapti: “Tod M é S, todo M é P, portanto, algum S é P,” o qual falha se não há M.
A noção de “existência” tem várias formas, uma das quais nos ocupará no próximo capítulo; mas a forma fundamental é aquela que é imediatamente derivada a partir da noção de “algumas vezes verdadeiro.” Nós dizemos que um argumento a “satisfaz” a uma função Φx se Φa é verdadeira; esse é o mesmo sentido no qual as raízes de uma equação são ditas satisfazerem à equação. Agora, se Φx é algumas vezes verdadeira, nós podemos dizer que há x’s para os quais ela é verdadeira, ou nós podemos dizer que “existem argumentos satisfazendo à Φx.” Esse é o significado fundamental da palavra “existência.” Outros significados são ou derivados a partir desse ou corporificam mera confusão de pensamento. Nós podemos dizer corretamente que “homens existem,” significando que “x é um homem” é algumas vezes verdadeira. Mas se nós fizemos um pseudossilogismo: “Homens existem, Sócrates é um homem, portanto, Sócrates existe,” nós estamos falando absurdo, uma vez que “Sócrates” não é, como “homens,” meramente um argumento indeterminado para uma dada função proposicional. A falácia é estritamente análoga àquela do argumento: “Homens são numerosos, Sócrates é um homem, portanto, Sócrates é numeroso.” Nesse caso é óbvio que a conclusão é absurda, mas, [165]no caso da existência isso não é óbvio, por razões que aparecerão mais completamente no próximo capítulo. Pelo presente, deixe-nos meramente observar que, embora seja correto dizer “homens existem,” é incorreto, ou antes, sem sentido, atribuir existência a um dado particular x que acontece de ser um homem. De modo geral, “existem termos satisfazendo a Φx” significa “Φx é algumas vezes verdadeira”; mas “a existe” (onde a é um termo significando Φx) é um mero barulho ou forma, destituído de significância. Será considerado que mantendo em mente essa simples falácia nós podemos resolver muitos antigos quebra-cabeças filosóficos relativos ao significado da existência.
Outro conjunto de noções quanto às quais a filosofia tem permitido a si mesma cair em confusões sem esperança por não separar suficientemente proposições e funções proposicionais são as noções de “modalidade”: necessário, possível e impossível. A visão tradicional era que, entre proposições verdadeiras, algumas eram necessárias, enquanto que outras eram meramente contingentes ou assertóricas; enquanto que entre as proposições falsas, algumas eram necessárias, enquanto que outras meramente aconteciam de não serem verdadeiras. Contudo, de fato, nunca havia nenhuma explicação clara do que era acrescentado à verdade através da concepção de necessidade. No caso de funções proposicionais, a divisão tríplice é óbvia. Se “Φx” é um valor indeterminado de certa função proposicional; será necessário, se a função for sempre verdadeira, possível, se ela for algumas vezes verdadeira; e impossível, se ela nunca for verdadeira. Esse tipo de situação surge com respeito à probabilidade, por exemplo. Suponha que uma bola x seja tirada de uma sacola que contém um número de bolas: se todas as bolas são brancas, “x é branca” é necessária; se algumas são brancas, é possível; se algumas são brancas, é possível; se nenhuma, é impossível. Aqui tudo que é conhecido sobre x é que ele satisfaça a uma certa função proposicional, a saber, “x era uma bola na sacola.” Essa é uma situação que é geral em problemas de probabilidade, e não incomum na vida prática – por exemplo, quando uma pessoa diz de quem nós não sabemos nada, exceto que ele traz uma carta de introdução do nosso amigo assim-e-assim. Em todos esses [166]casos, como respeito à modalidade em geral, a função proposicional é relevante. Para o pensamento claro, em muitas direções muito diversas, o hábito de manter funções proposicionais precisamente separadas de proposições é da máxima importância, e a falha em fazer no passado foi uma desgraça para a filosofia.
ORIGINAL:
RUSSELL, B. Introduction to Mathematical Philosophy. London: G. Allen & Unwin, 1919. p. 155-166. Disponível em: <https://archive.org/details/introductiontoma00russ/page/155/mode/1up>
TRADUÇÃO:
EderNB do Blog Mathesis
Licença: CC BY-NC-SA 4.0
1[160]O método de dedução é dado no Principia Mathematica, vol. i. *9.
2Por razões linguísticas, para evitar sugerir ou o plural ou o singular, é frequentemente conveniente dizer “Φx não é sempre falsa” em vez de “Φx algumas vezes” ou “Φx é algumas vezes verdadeira.”
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