Introdução à Filosofia Matemática IX Séries Infinitas e Ordinais

Introdução à Filosofia Matemática

Por Bertrand Russell

Prefácio, Nota do Editor e Conteúdos

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[89]Capítulo IX Séries Infinitas e Ordinais

Uma “série infinita” pode ser definida como uma série da qual o campo é uma classe infinita. Nós já tivemos ocasião de considerar um tipo de série infinita, a saber, as progressões. Neste capítulo, nós deveremos considerar o assunto de modo mais geral.

A característica mais digna de nota de uma série infinita é que o seu número serial pode ser alterado ao meramente rearranjar os seus termos. Nesse aspecto, há uma certa oposição entre números cardinais e seriais. É possível manter o número cardinal de uma classe reflexiva imutável a despeito da adição de termos a ele; por outro lado, é possível mudar o número serial de uma série sem adicionar ou retirar nenhum termo, através de mero rearranjo. Ao mesmo tempo, no caso de quaisquer séries infinitas, também é possível, como com os cardinais, acrescentar termos sem alterar o número serial: tudo depende do modo no qual eles são adicionados.

Para tornar isso mais claro, será melhor começar com exemplos. Primeiro consideremos vários tipos diferentes de séries que podem ser formadas dos números indutivos arranjados em vários planos. Nós começamos com a série

1, 2, 3, 4, … n, …,

a qual, nós já vimos, representa o menor dos números seriais infinitos, o qual Cantor chama de ω. Procedamos para dispersar essa série ao repetidamente realizamos a [90]operação de remoção para o fim do primeiro número par que ocorre. Desse modo, nós obtemos as várias séries em sucessão:

1, 3, 4, 5, … n, … 2,

1, 3, 5, 6, … n+1, … 2, 4,

1, 3, 5, 7, … n+2, … 2, 4, 6,

e assim por diante. Se nós imaginarmos esse processo realizado tão longamente quanto possível, nós finalmente alcançamos a série

1, 3, 5, 7, … 2n+1, … 2, 4, 6, 8, … 2n, …,

na qual, primeiro, nós temos todos os números ímpares e, em seguida, todos os números pares.

Os números seriais dessas várias séries são ω+1, ω+2, ω+3, … 2ω . Cada um desses números é “maior” do que qualquer um dos seus predecessores, no seguinte sentido:-

Um número serial é dito ser “maior” do que outro se qualquer série contendo o primeiro número contém uma parte tendo o segundo número, mas nenhuma série tendo o segundo número contém uma parte tendo o primeiro número.

Se nós compararmos as duas séries

1, 2, 3, 4, … n, …

1, 3, 4, 5, … n+1, … 2,

nós vemos que a primeira é similar à parte da segunda que omite o último termo, a saber, o número 2, mas a segunda não é similar a nenhuma parte da primeira. (Isso é óbvio, mas é facilmente demonstrável.) Desse modo, a segunda série tem um número serial maior do que a primeira, de acordo com a definição – ou seja, ω+1 é maior do que ω. Mas, se nós adicionarmos um termo ao começo de uma progressão em vez de ao fim, nós ainda temos uma progressão. Desse modo, 1+ω=ω. Desse modo, 1+ω não é igual a ω+1. Isto é característico da aritmética-relação, de modo geral: se μ e ν são dois números-relação, a regra é que μ+ν não é igual a ν+μ. O caso dos ordinais finitos, no qual há igualdade, é bastante excepcional.

A série que nós finalmente há pouco alcançamos consistiu em, primeiro, todos os números ímpares e, em seguida, todos os números pares, e o seu [91]número serial é 2ω. Esse número é maior do que ω ou ω+n, onde n é finito. Deve ser observado que, de acordo com a definição geral de ordem, cada um desses arranjos de inteiros deve ser considerado como resultando a partir de alguma relação definida. Por exemplo, aquela que meramente remove 2 para o fim será definida pela relação seguinte: “x e y são inteiros finitos, e, ou y é 2 e x não é 2, ou nem é 2 e x é menor do que y.” Aquela que coloca primeiro todos os números ímpares e então todos os números pares será definida por: “x e y são inteiros finitos, e ou x é ímpar e y é par ou x é menor do que y e ambos são ímpares ou ambos são pares.” Como uma regra, nós não deveríamos nos preocupar em dar essas fórmulas no futuro; mas o fato de que elas poderiam ser dadas é essencial.

O número que nós chamamos de 2ω, a saber, o número de uma série consistindo em duas progressões, é, algumas vezes, chamado de ω.2. A multiplicação, como a adição, depende da ordem dos fatores: uma progressão de duplas fornece uma série como

x₁, y₁, x₂, y₂, x₃, y₃, … x_n, y_n, …,

a qual é ela mesma uma progressão; mas uma dupla de progressões dá uma série que é duas vezes tão longa quanto uma progressão. Portanto, é necessário distinguir entre 2ω e ω.2. O uso é variável; nós deveremos usar 2ω para um par de progressões e ω.2 para uma progressão de pares, e, é claro, essa decisão governa a nossa interpretação geral de “α . β” quando α e β são números-relação: “α . β” terá de equivaler a uma soma apropriadamente construída de relações α cada uma tendo termos β.

Nós podemos prosseguir indefinidamente com o processo de dispersão dos números indutivos. Por exemplo, nós podemos colocar primeiro os números ímpares, em seguida, os seus dobros, então, os dobros desses, e assim por diante. Desse modo, nós obtemos a séries

1, 3, 5, 6, …; 2, 6, 10, 14, …; 4, 14, 20, 28, …;

8, 24, 40, 56, …;

da qual o número é ω², uma vez que ela é uma progressão de progressões. É claro, qualquer uma das progressões nessa nova série pode ser [92]dispersada como nós dispersamos a nossa progressão original. Nós podemos prosseguir para ω³, ω⁴, … ω^ω, e assim por diante; por mais longe que tenhamos ido, nós sempre podemos ir mais adiante.

A série de todos os ordinais que podem ser obtidos dessa maneira, ou seja, todos que podem ser obtidos através da dispersão de uma progressão, é ela mesma mais longa do que qualquer série que pode ser obtida através do rearranjo dos termos de uma progressão. (Isso não é difícil de provar.) O número cardinal da classe de tais ordinais pode ser mostrado ser maior do ℵ₀; é o número que Cantor chama de ℵ₁. O número ordinal da série de todos os números ordinais que podem ser formados de um ℵ₀, tomados em ordem de magnitude, é chamado de ω₁. Desse modo, uma série cujo número ordinal é ω₁ tem um campo cujo número cardinal é ℵ₁.

Nós podemos prosseguir de ω₁ e ℵ₁ para ω₂ e ℵ₂ através de um processo exatamente análogo àquele pelo qual nós avançamos de ω e ℵ₀ para ω₁ e ℵ₁. E aqui nada há para nos impedir de avançar indefinidamente dessa maneira para novos cardinais e novos ordinais. Não é conhecido se 2^ℵ0 é igual a qualquer um dos cardinais na série de alefes. Não é nem mesmo sabido se ele é comparável com eles em magnitude; por algo que nós sabemos, ele pode nem ser igual nem maior nem menor do que nenhum dos alefes. Essa questão está conectada com o axioma multiplicativo, do qual nós deveremos falar depois.

Todas as séries que nós estivemos considerando até agora neste capítulo têm sido o que são chamadas de “bem-ordenadas (well-ordered).” Uma série bem-ordenada é uma que tem um começo, e tem termos consecutivos, e tem um termo seguinte depois de qualquer seleção dos seus termos, com a condição de que haja quaisquer termos depois da seleção. Por um lado, isso exclui séries compactas, nas quais há termos entre quaisquer dois, e, por outro lado, séries que não tem começo, ou nas quais há partes subordinadas não tendo começo. A série de inteiros negativos em ordem de magnitude, não tendo começo, mas terminando com -1, não é bem-ordenada; mas, tomada em ordem inversa, começando com -1, ela é bem ordenada, sendo, de fato, uma progressão. A definição é:

[93]Uma série “bem-ordenada” é uma na qual cada subclasse (exceto, é claro, a classe nula) tem um primeiro termo.

Um número “ordinal” significa o número-relação de uma série bem-ordenada. Dessa maneira, ele é uma espécie de número serial.

Entre séries bem-ordenadas, aplica-se uma forma generalizada de indução matemática. Uma propriedade é dita ser “transinfinitamente hereditária” se, quando ela pertence a uma certa seleção dos termos em uma série, ela pertence ao sucessor imediato deles, com a condição de que eles tenham um. Em uma série bem-ordenada, uma propriedade transinfinitamente hereditária pertencente ao primeiro termo da série pertence à série toda. Isso torna possível provar muitas proposições relativas a séries bem-ordenadas que não são verdadeiras de todas as séries.

É fácil arranjar os números indutivos em séries que não são bem-ordenadas, e até os arranjar em séries compactas. Por exemplo, nós podemos adotar o seguinte plano: considere os decimais de 1 (inclusivo) a 1 (exclusivo), arranjados em ordem de magnitude. Isso forma uma série compacta; entre quaisquer dois há sempre um número infinito de outros. Agora omitamos o ponto no começo de cada um, e nós temos uma série compacta consistindo em todos os inteiros infinitos exceto aqueles que dividem por 10. Se nós desejarmos incluir aqueles que dividem por 10, não há dificuldade; em vez de começarmos com 1, nós incluiremos todos os decimais menores do que 1, mas quando nós removemos o ponto, nós transferiremos para a direita quaisquer 0’s que ocorrem no começo do nosso decimal. Omitindo esses, e retornando àqueles que não têm 0’s no começo, nós podemos formular a regra para o arranjo dos nossos inteiros como se segue: de dois inteiros que não começam com o mesmo dígito, aquele que começa com o dígito menor vem antes. De dois que começam com o mesmo dígito, mas diferem no segundo dígito, aquele com o segundo menor dígito vem primeiro, mas, primeiro de todos, aqueles sem nenhum segundo dígito; e assim por diante. Geralmente, se dois inteiros concordam com respeito aos primeiros n dígitos, mas não com respeito ao (n+1)^ésimo, aquele que não tem nem o dígito (n+1)^ésimo nem um menor do que outro vem primeiro. Essa regra de arranjo, [94]como o leitor pode facilmente convencer a si mesmo, dá origem a séries compactas contendo todos os inteiros não divisíveis por 10; e, como nós vimos, não há dificuldade sobre a inclusão daqueles que são divisíveis por 10. Segue-se a partir desse exemplo que é possível construir séries compactas tendo ℵ₀ termos. De fato, nós já vimos que há ℵ₀ razões, e razões em ordem de magnitude formam uma série compacta; desse modo, nós temos aqui outro exemplo. Nós deveremos retomar esse tópico no próximo capítulo.

Das leis formais usuais da adição, multiplicação e exponenciação, todas são obedecidas por cardinais transinfinitos, mas apenas algumas são obedecidas por ordinais transinfinitos, e aquelas que são obedecidas por eles, são obedecidas por todos os números-relações. Pelas “leis formais usuais” nós queremos dizer o seguinte:-

I. A lei comutativa:

α + β = β + α e α x β = β x α.

II. A lei associativa:

(α + β) + γ = α + (β + γ) e (α x β)x γ = α x (β x γ).

III. A lei distributiva:

α(β + γ) = αβ + αγ.

Quando a lei comutativa não vale, a forma acima da lei distributiva tem de ser distinguida de

(β + γ) α = βα + γα

Como nós deveremos ver imediatamente, uma forma pode ser verdadeira e a outra, falsa.

IV. As leis da exponenciação:

α^β.α^γ = α^{β + γ}, α^γ.β^γ = (αβ)^γ, (α^β)^γ= α^βγ

Todas essas leis valem para cardinais, quer finitos, quer infinitos, e para ordinais finitos. Mas quando nós chegamos a ordinais infinitos, ou, de fato, a números-relações em geral, algumas valem e outras não. A lei comutativa não vale; a lei associativa vale; a lei distributiva (adotando a convenção [95]que nós adotamos acima com respeito à ordem dos fatores em um produto) vale na forma

(β + γ) α = βα + γα,

mas não na forma

α(β + γ) = αβ + αγ;

as leis exponenciais

α^β.α^γ = α^{β + γ} e (α^β)^γ= α^βγ

ainda valem, mas não a lei

α^γ.β^γ = (αβ)^γ

a qual, obviamente, está conectada com a lei comutativa para a multiplicação.

As definições de multiplicação e exponenciação que são assumidas nas proposições acimas são um pouco complicadas. O leitor que deseje conhecer o que elas são e como as leis acima são provadas tem de consultar o segundo volume de Principia Mathematica, *172-176.

Aritmética transinfinita foi desenvolvida por Cantor em um estágio anterior ao da aritmética cardinal transinfinita, porque ela tem vários usos técnicos que o levaram a ela. Mas a partir do ponto de vista da filosofia da matemática, ela é menos importante e menos fundamental do que a teoria dos cardinais transinfinitos. Cardinais são essencialmente mais simples do que ordinais, é um curioso acidente histórico que eles apareceram primeiro como uma abstração a partir dos segundos, e apenas gradualmente vieram a ser estudados por sua própria conta. Isso não se aplica ao trabalho de Frege, no qual os cardinais, finitos e transinfinitos, foram tratados em independência completa dos ordinais; mas foi o trabalho de Cantor que tornou o mundo ciente do assunto, enquanto que Frege permaneceu quase desconhecido, provavelmente principalmente por conta da dificuldade do simbolismo dele. E os matemáticos, como outras pessoas, têm mais dificuldade em entender e usar noções que são comparativamente “simples” no sentido lógico do que em manipular noções mais complexas que são [96]mais familiares à sua prática ordinária. Por essas razões, foi apenas gradualmente que a verdadeira importância dos cardinais foi reconhecida na filosofia matemática. A importância dos ordinais, embora, de modo nenhum, pequena, é distintamente menor do que aquela dos cardinais, e está largamente misturada naquela da concepção mais geral de números-relação.

Próximo capítulo

ORIGINAL:

RUSSELL, B. Introduction to Mathematical Philosophy. London: G. Allen & Unwin, 1919. p. 89-96. Disponível em: <https://archive.org/details/introductiontoma00russ/page/89/mode/1up>

TRADUÇÃO:

EderNB do Blog Mathesis

Licença: CC BY-NC-SA 4.0