Introdução à Filosofia Matemática
Por Bertrand Russell
Prefácio, Nota do Editor e Conteúdos
[131]Capítulo XIII O Axioma do Infinito e os Tipos Lógicos
O axioma do infinito é uma suposição que pode ser enunciada como se segue:-
“Se n for qualquer número cardinal indutivo, há, pelo menos, uma classe de indivíduos tendo n termos.”
É claro, se isso for verdadeiro, segue-se que há muitas classes de indivíduos tendo n termos, e que o número total de indivíduos no mundo não é um número indutivo. Pois, pelo axioma, há, pelo menos, uma classe tendo n+1 termos, a partir do que se segue que há muitas classes de n termos e que n não é o número de indivíduos no mundo. Uma vez que n é qualquer número indutivo, segue-se que o número de indivíduos no mundo (se o nosso axioma for verdadeiro) tem de exceder qualquer número indutivo. Em vista do que nós descobrimos no capítulo precedente, sobre a possibilidade de cardinais que não são nem indutivos nem reflexivos, nós não podemos inferir a partir do nosso axioma que há, pelo menos, ℵ0 indivíduos, a menos que nós suponhamos o axioma multiplicativo. Mas nós sabemos que há, pelo menos, ℵ0 classes de classes, uma vez que cardinais indutivos são classes de classes e formam uma progressão, se o nosso axioma é verdadeiro. A maneira pela qual a necessidade desse axioma surge pode ser explicada como se segue:- Uma das suposições de Peano é que nenhuma dupla de cardinais indutivos têm o mesmo sucessor, ou seja, que nós não devemos ter m+1=n+1, a menos que m=n, e m e n sejam cardinais indutivos. No capítulo VIII, nós tivemos ocasião para usar o que é virtualmente o mesmo que a suposição acima de Peano, a saber, que, se n é um cardinal indutivo, [132]n não é igual a n+1. Pode ser pensado que isso poderia ser provado. Nós podemos provar que, se α é uma classe indutiva, e n é o número de membros de α, então n não é igual a n+1. Essa proposição é facilmente provada por indução, e poderia ser pensada implicar a outra. Mas, de fato, isso não ocorre, uma vez que não poderia haver nenhuma classe como α. O que isso implica é isto: Se n é um cardinal indutivo tal que há, pelo menos, uma classe tendo n membros, então n não é igual a n+1. O axioma do infinito assegura-nos (quer verdadeiramente, quer falsamente) que há classes tendo n membros, e, dessa maneira, possibilita-nos afirmar que n não é igual a n+1. Mas, sem esse axioma, nós deveríamos ser deixados com a possibilidade de que n e n+1 poderiam ambos de a classe-nula.
Ilustremos essa possibilidade através de um exemplo: Suponha que havia exatamente nove indivíduos no mundo. (Quanto ao que é significado pela palavra “indivíduo,” eu tenho de pedir ao leitor para ser paciente.) Então os cardinais indutivos de 0 a 9 seriam tais como nós esperamos, mas 10 (definido como 9+1) seria a classe-nula. Será lembrado que n+1 pode ser definido como se segue: n+1 é a coleção de todas aquelas classes que têm um termo x tal que, quando x é retirado, ali resta uma classe de n termos. Agora, aplicando essa definição, nós percebemos que, no caso suposto, 9+1 é uma classe consistindo de nenhuma classe, ou seja, é a classe-nula. O mesmo será verdadeiro de 9+2, ou, de modo geral, de 9+n, a menos que n seja zero. Desse modo, 10 e todos os cardinais indutivos subsequentes serão todos idênticos, uma vez que eles todos serão a classe-nula. Em um tal caso, os cardinais indutivos não formarão uma progressão, nem será verdadeiro que nenhuma dupla deles tenha o mesmo sucessor, pois 9 e 10 serão ambos sucedidos pela classe-nula (10 sendo ele mesmo a classe-nula). É para evitar tais catástrofes aritméticas que nós requeremos o axioma do infinito.
Como uma questão de fato, enquanto nós estivermos contentes com a aritmética de inteiros finitos, e não introduzimos ou inteiros infinitos ou classes ou séries infinitas de inteiros ou razões finitas, é possível obter todos os resultados desejados sem o axioma do infinito. Quer dizer, nós podemos lidar com a adição, multiplicação [133]e exponenciação de inteiros finitos e de razões, mas nós não podemos lidar com inteiros infinitos ou com irracionais. Desse modo, a teoria do transinfinito e a teoria dos números reais falham conosco. Agora tem de ser explicado como esses vários resultados surgem.
Assumindo que o número de indivíduos no mundo seja n, o número de classes de indivíduos será 2n. Isso é em virtude da proposição geral mencionada no capítulo VIII de que o número de classes contidas em uma classe que tem n membros é 2n. Agora 2n é sempre maior do que n. Consequentemente, o número de classes no mundo é maior do que o número de indivíduos. Agora, se nós supusermos que o número de indivíduos é 9, como nós fizemos há pouco, o número de classes será 29, ou seja, 512. Desse modo, se nós tomarmos os nossos números como sendo aplicados à contagem de classes em vez de à contagem de indivíduos, a nossa aritmética será normal até que nós alcancemos 512: o primeiro número a ser nulo será 513. E se nós avançarmos para classes de classes, nós ainda deveremos fazer melhor: o número delas será 2512, um número que é tão grande quanto a desnortear a imaginação, uma vez que ele tem aproximadamente 153 dígitos. E se nós avançarmos para classes de classes de classes, nós deveremos obter um número representado por 2 elevado a uma potência que tem aproximadamente 153 dígitos; o número de dígitos nesse número será aproximadamente três vezes 10152. Em momento de falta de papel, é indesejável escrever esse número, e se queremos maiores, nós podemos viajar mais adiante na hierarquia lógica. Dessa maneira, qualquer cardinal indutivo atribuído pode ser feito encontrar o seu lugar entre os números que não são nulos, meramente ao viajar adiante na hierarquia por uma distância suficiente.1
Com respeito às razões, nós temos um estado de coisas muito similar. Se a razão μ/ν deve ter as propriedades esperadas, tem de haver objetos suficientes de qualquer tipo que seja sendo contados para assegurar que a classe-nula não se obstrua subitamente. Mas isso pode ser assegurado, para qualquer razão μ/ν dada, sem o axioma do [134]infinito, ao meramente viajar acima na hierarquia por uma distância suficiente. Se nós não podemos ter sucesso na contagem de indivíduos, nós podemos tentar contar classes de indivíduos; se ainda nós não tivermos sucesso, nós podemos tentar classes de classes, e assim por diante. Por fim, por mais que poucos indivíduos possam existir no mundo, nós deveremos alcançar um estágio onde há muito mais do que μ objetos, qualquer que o número indutivo ν possa ser. Mesmo se absolutamente não houver nenhum indivíduo, isso ainda seria verdadeiro, pois então haveria uma classe, a saber, a classe-nula, 2 classes de classes (a saber, a classe-nula de classes e a classe cujo único membro é a classe-nula de indivíduos), 4 classes de classes de classes, 16 no próximo estágio, 65,536 no próximo estágio, e assim por diante. Desse modo, nenhuma suposição tão grande quanto o axioma do infinito é requerida para alcançar qualquer razão dada ou qualquer cardinal indutivo dado.
É quando nós desejamos lidar com a classe ou série inteira de cardinais indutivos ou de razões que o axioma é requerido. Nós necessitamos da inteira classe dos cardinais indutivos para estabelecermos a existência de ℵ0, e da inteira série para estabelecer a existência de progressões: para esses resultados, é necessário que nós devamos ser capazes de produzir uma única classe ou série na qual nenhum cardinal indutivo seja nulo. Nós necessitamos da inteira série de razões em ordem de magnitude para definir os números reais como segmentos: essa definição não dará o resultado desejado a menos que a série de razões seja compacta, o que ela não pode ser se o número total de razões, no estágio interessado, for finito.
Seria natural supor – como eu mesmo supus em dias antigos – que, através de construções tais como nós estivemos considerando, o axioma do infinito poderia ser provado. Pode ser dito: Assumamos que o número de indivíduos seja n, onde n pode ser 0 sem estragar o nosso argumento; então, se nós formamos o conjunto completo de indivíduos, classes, classes de classes, etc, todos combinados, o número de termos no nosso conjunto inteiro será
n+2n+22^n … ad inf.,
o qual é ℵ0. Desse modo, combinando todos os tipos de objetos, e não [135]nos confinando a objetos de nenhum tipo, nós certamente deveremos obter uma classe infinita, e, portanto, não deveremos necessitar do axioma do infinito. Assim poderia ser dito.
Agora, antes de entrar nesse argumento, a primeira coisa a observar é que já um ar de hocus pocus sobre ele: alguma coisa lembra a alguém do conjurador que tira coisas do chapéu. O homem que emprestou o chapéu está bastante certo de que antes não havia um coelho vivo nele, mas ele fica perdido para saber como o coelho entrou ali. Assim o leitor, se ele tem um robusto senso de realidade, sentir-se-á convencido de que é impossível manufaturar uma coleção infinita a partir de uma coleção finita de indivíduos, embora ele possa ser incapaz de dizer onde está a falha na construção acima. Seria um erro enfatizar demais tais sentimentos de hocus pocus; como outras emoções, eles facilmente podem nos desencaminhar. Mas eles propiciam um fundamento prima facie para analisar muito de perto qualquer argumento que os excite. E, em minha opinião, quando o argumento acima é analisado, ele será descoberto ser falacioso, embora a falácia seja algo sútil e de modo nenhum fácil de se evitar consistentemente.
A falácia envolvida é a falácia que pode ser chamada de “confusão dos tipos.” Explicar a questão de “tipos” completamente requereria um volume inteiro; além disso, é o propósito deste livro evitar aquelas partes das questões que ainda estão obscuras e controversas, isolando, para a conveniência dos principiantes, aquelas partes que podem ser aceitas como corporificando verdades matematicamente determinadas. Agora, a teoria dos tipo enfaticamente não pertence à parte acabada e certa do nosso assunto: muito dessa teoria ainda está imperfeito, confuso e obscuro. Mas a necessidade de alguma doutrina de tipo é menos duvidosa do que a forma precisa que doutrina deva tomar; e, em conexão com o axioma do infinito, é particularmente fácil perceber a necessidade de alguma doutrina similar.
Por exemplo, essa necessidade resulta a partir da “contradição do maior cardinal.” Nós vimos no capítulo VIII que o número de classes contidas em uma dada classe é sempre maior do que [136]o número de membros da classe, e nós inferimos que não há o maior cardinal. Mas se nós pudéssemos, como sugerido há um momento, combinar em uma classe os indivíduos, classes de indivíduos, classes de classes de indivíduos, etc, nós deveríamos obter uma classe da qual as suas próprias subclasses seriam membros. Essa classe consistindo em todos os objetos que podem ser contados, de qualquer tipo, tem de ter, se há uma tal classe, um número cardinal que é o maior possível. Uma vez que todas as suas subclasses serão membros dela, não pode haver mais delas do que há membros. Consequentemente, nós chegamos a uma contradição.
Quando primeiro me deparei com essa contradição, no ano de 1901, eu tentei descobrir alguma falha na prova de Cantor de que não há o maior cardinal, a qual nós fornecemos no capítulo VIII. Aplicando essa prova à suposta classe de todos os objetos imagináveis, eu fui levado a uma nova e mais simples contradição, a saber, a seguinte:-
A classe compreensiva que nós estamos considerando, a qual deve englobar tudo, tem de englobar a si mesma como um dos seus membros. Em outras palavras, se há uma coisa tal como “tudo (everything),” então “tudo” é alguma coisa (something), e é um membro da classe “tudo.” Mas normalmente uma classe não é um membro de si mesma. Por exemplo, a humanidade não é um homem. Agora, forme-se a coleção de todas as classes que não são membros de si mesmas. Essa é uma classe: ela é ou não é membro de si mesma? Se ela for, ela é uma daquelas classes que não são membros de si mesmas, ou seja, ela não é um membro de si mesma. Se ela não for, ela não é uma daquelas classes que não são membros de si mesmas, ou seja, ela é um membro de si mesma. Desse modo, das duas hipóteses – quer dizer, que ela é, e que ela não é, um membro de si mesma – cada uma implica a sua contraditória. Isso é uma contradição.
Não há dificuldade em manufaturar contradições similares ad lib. A solução dessas contradições através da teoria dos tipos está estabelecida completamente em Principia Mathematica,2 e também, mais brevemente, em artigos pelo presente autor no American Journal [137]of Mathematics3 e na Revue de Metaphysique et de Moral.4 Pelo presente, um esboço da solução deve ser suficiente.
A falácia consiste na formação do que nós podemos chamar de classes “impuras,” ou seja, classes que não são puras quanto ao “tipo.” Como nós deveremos ver em um capítulo posterior, classes são ficções lógicas, e uma afirmação que parece ser sobre uma classe apenas será significante se ele é capaz de tradução para uma forma na qual nenhuma menção seja feita à classe. Isso coloca uma limitação nas maneiras nas quais o que são nominalmente, mas não realmente, nomes para classes podem ocorrer significativamente: uma sentença ou conjunto de símbolos nos quais esses pseudonomes ocorrem de maneiras erradas não são falsos, mas estritamente destituídos de significado. A suposição de que uma classe é, ou que ela não é, um membro de si mesma, é sem sentido exatamente dessa maneira. E, de modo mais geral, supor que uma classe de indivíduos é um membro, ou não é um membro, de outra classe de indivíduos será suposto sem sentido; e construir simbolicamente qualquer classe cujos membros não sejam todos do mesmo grau na hierarquia lógica é usar símbolos de uma maneira que os faz não mais simbolizar nada.
Desse modo, se há n indivíduos no mundo, e 2n classes de indivíduos, nós não podemos formar uma nova classe, consistindo tanto de indivíduos quanto de classes e tendo n+2n membros. Dessa maneira, a tentativa de escapar da necessidade do axioma do infinito falha. Eu não pretendo ter explicado a doutrina de tipos, ou feito mais do indicar, em esboço, porque há necessidade de uma tal doutrina. Eu apenas objetivei dizer exatamente tanto quanto foi requerido para mostrar que nós não podemos provar a existência de números e classes infinitos através daqueles métodos de conjurador como nós estivemos examinando. Contudo, restam certos outros possíveis métodos que têm de ser considerados.
Vários argumentos professando provar a existência de classes infinitas são fornecidos nos Principles of Mathematics, §339 (p.357). [138]Na medida que esses argumentos assumem que, se n é um cardinal indutivo, n não é igual a n+1, já se lidou com eles. Há um argumento, sugerido por uma passagem do Parmenides de Platão, para o efeito de que, se há um número tal como 1, então 1 tem ser; mas 1 não é idêntico com o ser, e, portanto, 1 e ser sendo dois, e, portanto, há um número tal como 2, e 2 junto com 1 e sendo dado uma classe de três termos, e assim por diante. Esse argumento é falacioso, parcialmente porque “ser” não é um termo tendo nenhum significado definido, e ainda mais porque, se um significado definido fosse inventado para ele, seria considerado que os números não têm ser – de fato, eles são o que são chamados de “ficções lógicas,” como nós deveremos ver quando chegarmos a considerar a definição de classes.
O argumento de que o número dos números de 0 até n (ambos inclusive) é n+1 depende da suposição de que até e incluindo n nenhum número é igual ao seu sucessor, o que, como nós vimos, não será sempre verdadeiro se o axioma do infinito for falso. Tem de ser entendido que a equação n=n+1, a qual poderia ser verdadeira para um n finito se n excedesse o número total de indivíduos no mundo, é bastante diferente da mesma equação enquanto aplicada a um número reflexivo. Enquanto aplicada a um número reflexivo, ela quer dizer que, dada uma classe de n termos, essa classe é “similar” àquela obtida através da adição de outro termo. Mas enquanto aplicada a um número que é grande demais para o mundo atual, ela meramente significa que não há nenhuma classe de n indivíduos, e nenhuma classe de n+1 indivíduos; isso não significa que, se nós escalarmos a hierarquia de tipos suficientemente longe para assegurar a existência de uma classe de n termos, então nós deveremos encontrar essa classe “similar” a uma de n+1 termos, pois se n for indutivo, esse não será o caso, bastante independentemente da verdade ou falsidade do axioma do infinito.
Há um argumento empregado tanto por Bolzano5 quanto por Dedekind6 para provar a existência de classes reflexivas. Brevemente, o argumento é este: Um objeto não é idêntico com a ideia do [139]objeto, mas há (pelo menos, no reino do ser) uma ideia de qualquer objeto. A relação de um objeto com a ideia dele é um-um, e as ideias são apenas algumas entre objetos. Consequentemente, a relação “ideia de” constitui uma reflexão da inteira classe de objetos em uma parte de si mesma, a saber, naquela parte que consiste em ideias. Portanto, a classe de objetos e a classe de ideias são ambas infinitas. Esse argumento é interessante, não apenas por sua própria conta, mas porque os equívocos neles (ou o que eu julgo ser equívocos) são de um tipo que é instrutivo de notar. O principal erro consiste em assumir que há uma ideia de cada objeto. É claro, é excessivamente difícil decidir o que é significado por uma “ideia”; mas assumamos que nós sabemos. Então, nós devemos supor que, começando com (digamos) Sócrates, há a ideia de Sócrates, e assim ad inf. Agora, é evidente que esse não é o caso no sentido de que todas essas ideias têm existência empírica atual nas mentes das pessoas. Além do terceiro ou quarto estágio elas tornam-se míticas. Se o argumento deve ser sustentado, as “ideias” intencionadas tem de ser ideias platônicas estabelecidas no céu, pois, certamente, elas não estão sobre a terra. Mas então, imediatamente torna-se duvidoso se há tais ideias. Se nós devemos saber que há, tem de ser na base de alguma teoria lógica, provando que é necessário para uma coisa que deva haver uma ideia dela. Certamente, nós não podemos obter esse resultado empiricamente, ou aplicá-lo, como Dedekind faz, ao “meine Gedankenwelt” – o mundo dos meus pensamentos.
Se nós estivéssemos preocupados em examinar completamente a relação de ideia e objeto, nós deveríamos ter de entrar em um número de investigações psicológicas e lógicas, as quais não são relevantes para o nosso propósito principal. Mas mais alguns pontos deveriam ser notados. Se “ideia” deve ser entendida logicamente, ela pode ser idêntica ao objeto, ou ela pode equivaler a uma descrição (no sentido a ser explicado em um capítulo subsequente). No caso anterior, o argumento falha, porque era essencial para a prova da reflexividade que objeto e ideia devesse ser distintos. No segundo caso, o argumento também falha, porque a relação de objeto e descrição não é [140]um-um: há inumeráveis descrições corretas de qualquer dado objeto. Sócrates (por exemplo) pode ser descrito como “o mestre de Platão,” ou como “o filósofo que bebeu a cicuta,” ou como “o esposo de Xantipa.” Se – para tomar a hipótese restante – “ideia” deve ser interpretada psicologicamente, deve ser sustentado que não há nenhuma entidade psicológica definida que poderia ser chamada de a ideia do objeto: há inumeráveis crenças e atitudes, cada uma das quais poderia ser chamada de uma ideia do objeto no sentido no qual nós poderíamos dizer “a minha ideia de Sócrates é bastante diferente da sua,” mas não há nenhuma entidade central (exceto Sócrates mesmo) para ligar várias “ideias de Sócrates,” e, desse modo, não há essa relação um-um de ideia e objeto como o argumento supõe. Nem, é claro, como nós já tínhamos notados, é psicologicamente verdadeiro que há ideias (em um sentido por mais que estendido) de mais do que uma minúscula proporção de coisas no mundo. Por todas essas razões, o argumento acima em favor da existência lógica de classes reflexivas deve ser rejeitado.
Poderia ser pensado que, o que quer que possa ser dito de argumentos lógicos, os argumentos empíricos deriváveis a partir do espaço e do tempo, da diversidade de cores, etc, são bastante diferentes para provar a existência atual de um número infinito de particulares. Eu não acredito nisso. Nós não temos razão, exceto preconceito, para acreditarmos na dimensão infinita do espaço e do tempo, de qualquer maneira, no sentido no qual espaço e tempo são fatos físicos, não ficções matemáticas. Nós naturalmente consideramos espaço e tempo como contínuos, ou, pelo menos, como compactos; mas, novamente, isso é principalmente preconceito. A teoria dos “quanta” na física, se verdadeira ou falsa ilustra o fato de que física nunca pode propiciar prova da continuidade, embora possa, bastante possivelmente, propiciar refutação. Os sentidos não são suficientemente exatos para distinguir entre movimento contínuo e sucessão rápida discreta, como qualquer um pode descobrir em um cinema. Um mundo no qual todo movimento consistisse em uma série de pequenos saltos finitos seria empiricamente indistinguível de um no qual o movimento fosse contínuo. Requereria muito espaço para [141]defender essas teses adequadamente; pelo presente, eu meramente estou sugerindo-as para a consideração do leitor. Se elas são válidas, segue-se que não há razão empírica para acreditar que o número de particulares no mundo seja infinito, e que nunca pode haver; também que no presente não há razão empírica para acreditar que o número é finito, embora seja teoricamente concebível que, algum dia, possa haver evidência apontando, embora não conclusivamente, nessa direção.
A partir do fato de que o infinito não é autocontraditório, mas também não é logicamente demonstrável, nós temos de concluir que nada pode ser conhecido a priori quanto a se o número de coisas no mundo é finito ou infinito. Portanto, a conclusão é adotar a fraseologia de Leibniz de que alguns dos mundos possíveis são finitos, alguns infinitos, e nós não temos meios de saber a qual desses dois tipos o nosso mundo atual pertence. O axioma do infinito será verdadeiro em alguns mundos possíveis e falso em outros; se ele é verdadeiro ou falso neste mundo, nós não podemos dizer.
Por todo este capítulo, os sinônimos “indivíduo” e “particular” têm sido usados sem explicação. Seria impossível explicá-los adequadamente sem uma investigação mais longa sobre a teoria dos tipos do que seria apropriado para o presente trabalho, mas umas poucas palavras antes de nós deixarmos esse tópico podem fazer alguma coisa para diminuir a obscuridade que, caso contrário, envolveria o significado dessas palavas.
Em uma afirmação ordinária, nós podemos distinguir um verbo, expressando um atributo ou uma relação, dos substantivos que expressam o sujeito do atributo ou os termos da relação. “César vive” atribui um atributo a César; “Brutus matou César” expressa uma relação entre Brutus e César. Usando a palavra “sujeito” em um sentido generalizado, nós podemos chamar tanto Brutus quando César de sujeito nessa proposição: o fato de que Brutus é gramaticamente sujeito e César, objeto, é irrelevante, uma vez que a mesma ocorrência pode ser expressa nas palavras “César foi morto por Brutus,” onde César é o sujeito gramatical. [142]Dessa maneira, no tipo mais simples de proposição, nós deveremos ter um atributo ou uma relação valendo de ou entre um, dois ou mais “sujeitos” no sentido estendido. (Uma relação pode ter mais do que dois termos: por exemplo, “A dá B a C” é uma relação de três termos.) Agora, frequentemente acontece que, em uma investigação mais de perto, os sujeitos aparentes são descobertos não serem realmente sujeitos, mas serem capazes de análise; contudo, o único resultado disso é que múltiplos sujeitos tomam os lugares deles. Também acontece que o verbo pode ser gramaticalmente tornado sujeito: por exemplo, nós podemos dizer, “Matar é uma relação que vale entre Brutus e César.” Mas, em tais casos, a gramática é enganadora, e em uma afirmação direta, seguindo as regras que deveriam guiar a gramática filosófica, Brutus e César aparecerão como os sujeitos e matar, como o verbo.
Desse modo, nós somos conduzidos à concepção de termos que, quando eles ocorrem em proposições, apenas podem ocorrer como sujeitos, e nunca de nenhuma outra maneira. Isso é parte da antiga definição escolástica de substância; mas, persistência através do tempo, a qual pertenceu a essa noção, não faz parte da noção que na qual nós estamos interessados. Nós deveremos definir “nomes próprios” como aqueles termos que apenas ocorrem como sujeitos em proposições (usando “sujeito” no sentido estendido há pouco explicado). Nós deveremos definir adicionalmente “indivíduos” ou “particulares” como os objetos que podem ser nomeados por nomes próprios. (Seria melhor defini-los diretamente, em vez de através do tipo de símbolos pelos quais eles são simbolizados; mas, para fazermos isso, nós deveríamos ter de mergulhar mais profundamente em metafísica do que é desejável aqui.) É claro, é possível que haja um regresso sem fim: que seja o que for que apareça como um particular é, realmente, em investigação mais próxima, uma classe ou algum tipo de complexo. É claro, se esse for o caso, o axioma do infinito tem de ser verdadeiro. Mas, se esse não for o caso, tem de ser teoricamente possível para a análise alcançar os sujeitos últimos, e é isso que dá o significado de “particulares” ou “indivíduos.” É ao número desse que o axioma do infinito é suposto de aplicar-se. Se é verdadeiro deles, é verdadeiro [143]das classes deles, e das classes das classes deles, e assim por diante; similarmente, se é falso deles, é falso por toda essa hierarquia. Consequentemente, é natural enunciar o axioma relativo a eles do que relativo a qualquer outro estágio na hierarquia. Mas, se o axioma é verdadeiro ou falso, parece não haver método conhecido de descobrir.
ORIGINAL:
RUSSELL, B. Introduction to Mathematical Philosophy. London: G. Allen & Unwin, 1919. p. 131-143. Disponível em: <https://archive.org/details/introductiontoma00russ/page/131/mode/1up>
TRADUÇÃO:
EderNB do Blog Mathesis
Licença: CC BY-NC-SA 4.0
1[133]Sobre esse assunto, ver Principia Mathematica, vol. ii. *120 ff. Sobre os problemas correspondentes com respeito a razões, ver, ibid., vol. iii. *303 ff.
2[136]Vol. i, Introdução, cap. ii., *12 e *20; vol. ii., Afirmação Prefatória.
3[137]“Mathematical Logic as based on the Theory of Types,” vol. xxx, 1908, pp. 222-262.
4“Les paradoxes de la logique,” 1906, pp. 627-650.
5[138]Bolzano, Pardoxien des Unendlichen, 13.
6Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? No. 66.
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