Introdução à Filosofia Matemática
Por Bertrand Russell
Prefácio, Nota do Editor e Conteúdos
[97]Capítulo X Limites e Continuidade
A concepção de um “limite” é uma da qual a importância na matemática tem sido considerada continuamente maior do que tinha sido pensado. O todo do cálculo diferencial e integral, de fato, praticamente tudo na matemática superior, depende de limites. Anteriormente era suposto que os infinitesimais estivessem envolvidos nos fundamentos desses temas, mas Weierstrass mostrou que isso é um erro: sempre que os infinitesimais eram considerados ocorrer, o que realmente acontece é um conjunto de quantidades finitas tendo zero pelo seu limite inferior. Costumava ser pensado que “limite” era uma noção essencialmente quantitativa, a saber, a noção de uma quantidade da qual as outras aproximavam-se mais e mais, de modo que, entre essas outras, haveria algumas diferindo por menos do que qualquer quantidade atribuída. Mas de fato a noção de “limite” é uma noção puramente ordinal, absolutamente não envolvendo quantidade (exceto por acidente, quando a série interessada acontece de ser quantitativa). Um dado ponto em uma linha pode ser o limite de um conjunto de ponto na linha, sem ser necessário introduzir coordenadas ou mensurações ou nada quantitativo. O número cardinal ℵ0 é o limite (na ordem de magnitude) dos números cardinais 1, 2, 3, … n, …, embora a diferença numérica entre ℵ0 e um cardinal finito seja constante e infinita: a partir de um ponto de vista quantitativo, os números finitos não se aproximam de ℵ0 conforme eles aumentam. O que torna ℵ0 o limite dos números finitos é o fato de que, na série, ele surge imediatamente depois deles, o que é um fato ordinal, não um fato quantitativo.
[98]Há várias formas da noção de “limite,” de complexidades crescentes. A forma mais simples e fundamental, a partir da qual o resto é derivado, já foi definida, mas aqui nós repetiremos as definições que levam a ela, em uma forma geral na qual elas não demandam que a relação interessada deva ser serial. As definições são como se seguem:-
Os “mínimos” de uma classe α com respeito a uma relação P são aqueles membros de α e do campo de P (se algum) para os quais nenhum membro de α tem a relação P.
Os “máximos” com respeito a P são os mínimos como respeito ao inverso de P.
Os “sequentes” de uma classe α com respeito a uma relação P são os mínimos dos “sucessores” de α, e os “sucessores” de α são aqueles membros do campo de P para os quais cada membro da parte comum de α e do campo de P tem a relação P.
Os “precedentes” com respeito a P são os sequentes com respeito ao inverso de P.
Os “limites superiores” de α com respeito a P são os sequentes, com a condição de que α não tenha máximo; mas se α tem um máximo, ela não tem limites superiores.
Os “limites inferiores” com respeito a P são os limites superiores com respeito ao inverso de P.
Sempre que P tenha conexividade, uma classe pode ter no máximo um máximo, um mínimo, um sequente, etc. Desse modo, nos casos nos quais nós estamos interessados na prática, nós podemos falar de “o limite” (se algum).
Quando P é uma relação serial, nós podemos simplificar grandemente a definição acima de um limite. Nesse caso, nós podemos definir primeiro a “fronteira” de uma classe α, ou seja, os seus limites ou máximos, e então prosseguir para distinguir o caso onde a fronteira é o limite daquele onde ela é um máximo. Para esse propósito, é melhor usar a noção de “segmento.”
Nós falaremos do “segmento de P definido por uma classe α” como todos aqueles termos que têm a relação P com algum ou mais dos membros de α. Isso será um segmento no sentido definido [99]no capítulo VII; de fato, cada segmento no sentido ali definido é o segmento definido por alguma classe α. Se P é serial, então o segmento definido por α consiste em todos os termos que precedem algum ou outro termo de α. Se α tem um máximo, o segmento será todos os predecessores do máximo. Mas se α não tem máximo, todo membro de α precede algum outro membro de α, e, portanto, o todo de α está incluído no segmento definido por α. Por exemplo, tome-se a classe consistindo nas frações
½, ¾, 7/8, 15/16, …,
ou seja, em todas as frações da forma 1 – 1/2n para diferentes valores finitos de n. Essa série de frações não tem máximo, e é claro que o segmento que a define (em toda a série de frações em ordens de magnitude) é a classe de todas as frações próprias. Ou, novamente, considere os números primos, considerados como uma seleção a partir dos cardinais (finitos e infinitos) em ordem de magnitude. Nesse caso, o segmento definido consiste em todos os inteiros finitos.
Assumindo-se que P seja serial, a “fronteira” de uma classe α será o termo x (se ele existe) cujos predecessores são o segmento definido por α.
Um “máximo” de α é uma fronteira que é um membro de α.
Um “limite superior” de α é uma fronteira que não é um membro de α.
Se uma classe não tem fronteira, tampouco ela tem máximo ou limite. Esse é caso de um corte “irracional” de Dedeking, ou do que é chamada de uma “lacuna.”
Desse modo, o “limite superior” de um conjunto de termos α com respeito a uma série P é aquele termo x (se ele existe) que vem depois de todos os α’s, mas é tal que cada termo anterior vem antes de alguns dos α’s.
Nós podemos definir todos os “pontos-limitantes superiores” de um conjunto de termos β como todos aqueles que são os limites superiores de conjuntos de termos escolhidos a partir de β. É claro, nós deveremos ter de distinguir pontos-limitantes superiores dos pontos-limitantes inferiores. Por exemplo, se nós considerarmos a série dos números ordinais:
1, 2, 3, … ω, ω+1, … 2ω, 2ω +1, … 3ω, … ω2, … ω3, …,
[100]os pontos-limitantes superiores do campo dessa série são aqueles que não têm nenhum predecessor imediato, ou seja,
1, ω, 2ω, 3ω, … ω2, ω2+ω, … 2ω2, … ω3 …
Os pontos-limitantes superiores do campo dessa nova série serão
1, ω2, 2ω2, … ω3, ω3+ω2 …
Por outro lado, a série de ordinais – e, de fato, cada série bem-ordenada – não tem pontos-limitantes inferiores, porque não há nenhum termo, exceto o último, que não tem sucessores imediatos. Mas se nós considerarmos uma tal série como a série de razões, cada membro dessa série é tanto um ponto-limitante superior e inferior para conjuntos adequadamente escolhidos. Se nós considerarmos a série dos números reais, e selecionarmos a partir dela os números reais racionais, esse conjunto (os racinais) terá todos os números reais como pontos-limitantes superiores e inferiores. Os pontos-limitantes de um conjunto são chamados da sua “primeira derivativa,” e os pontos-limitantes da primeira derivativa são chamados de a segunda derivativa, e assim por diante.
Com respeito a limites, nós podemos distinguir vários graus do que pode ser chamado de “continuidade” em uma série. A palavra “continuidade” tinha sido usada por um longo tempo, mas tinha permanecido sem nenhuma definição precisa até a época de Dedekind e Cantor. Cada um desses dois homens deu uma significação precisa ao termo, mas a definição de Cantor é mais precisa do que a de Dedekind: uma série que tem uma continuidade cantoriana tem de ter uma continuidade dedekindiana, mas o inverso não vale.
A primeira definição que naturalmente ocorreria a um homem procurando um significado preciso para a continuidade de séries seria defini-la como consistindo no que nós chamamos de “compacticidade,” ou seja, no fato de que entre quaisquer dois termos da série há outros. Mas essa seria uma definição inadequada, por causa da existência de “lacunas” em séries tais como as séries de razões. Nós vimos no capítulo VII que há maneiras inumeráveis nas quais as séries de razões podem ser divididas em duas partes, das quais uma precede inteiramente à outra, e das quais a primeira não tem termo último, [101]enquanto que a segunda não tem termo primeiro. Um tal estado de coisas parece contrário ao sentimento vago que nós temos quanto ao que deveria caracterizar “continuidade,” e, o que é mais, mostra que a série de razões não é o tipo de série que é necessária para muitos propósitos matemáticos. Por exemplo, tome-se a geometria: nós desejamos ser capazes de dizer que quando duas linhas retas cruzam uma a outra, elas têm um ponto em comum, mas, se a série de pontos em uma linha for similar à série de razões, as duas linhas poderiam cruzar-se em uma “lacuna” e não ter ponto em comum. Esse é um exemplo imperfeito, mas muitos outros podem ser dados para mostrar que compacticidade é inadequada como uma definição matemática de continuidade.
Foram as necessidades da geometria, tanto quanto qualquer coisa, que levaram à definição de continuidade “dedekindiana.” Será lembrado que nós definimos uma série como dedekindiana quando cada subclasse do campo tem uma fronteira. (É suficiente assumir que sempre há uma fronteira superior, ou que sempre há uma fronteira inferior. Se uma dessas é assumida, a outra pode ser deduzida.) Isso quer dizer, uma série é dedekindiana quando não há lacunas. A ausência de lacunas pode surgir ou através dos termos tendo sucessores, ou através da existência de limites na ausência de máximos. Desse modo, uma série finita ou bem-ordenada é dedekindiana, e assim são os números reais. O tipo anterior de séries dedekindianas é excluído assumindo-se que a nossa série é compacta; nesse caso, a nossa série tem de ter uma propriedade que pode, para muitos propósitos, ser apropriadas chamada de continuidade. Desse modo, nós somos levados à definição:
Uma série tem “continuidade dedekindiana” quando ela é dedekindiana e compacta.
Mas essa definição ainda é ampla demais para muitos propósitos. Por exemplo, suponha que nós desejamos ser capazes de atribuir ao espaço geométrico aquelas propriedades que deverão tornar certo que cada ponto pode se especificado através de coordenadas que são números reais: isso não é assegurado apenas pela continuidade dedekindiana. Nós queremos estar seguros de que cada ponto que não pode ser especificado por coordenadas racionais possa ser especificado como o limite de uma progressão de pontos [102]cujas coordenadas são racionais, e isso é uma propriedade adicional que a nossa definição não nos capacita a deduzir.
Dessa forma, nós somos levados a uma investigação mais próxima de séries com respeito a limites. Essa investigação foi realizada por Cantor e formou a base da definição dele de continuidade, embora, em sua forma mais simples, essa definição oculte um pouco as considerações que deram origem a ela. Portanto, nós deveremos primeiro viajar através de algumas concepções de Cantor nesse assunto antes de dar a definição dele de continuidade.
Cantor define uma série como “perfeita” quando todos os seus pontos são pontos-limitantes e todos os pontos-limitantes pertencem a ela. Mas essa definição não expressa bastante precisamente o que ele quer dizer. Nenhuma correção é requerida enquanto se disser respeito à propriedade de que todos os pontos são pontos-limitantes; essa é uma propriedade pertencente às séries compactas, e a nenhuma outra, se todos os pontos devem ser pontos-limitantes superiores ou todos pontos-limitantes inferiores. Mas se é apenas assumido que eles são pontos limitantes de uma maneira, sem especificar quais, haverá outras séries que terão a propriedade em questão – por exemplo, a série dos decimais nas quais um decimal terminando em um 9 recorrente é distinguido da terminação decimal correspondente e colocado imediatamente antes dela. Uma tal série é quase compacta, mas tem termos excepcionais que são consecutivos, e dos quais o primeiro não tem predecessor imediato, enquanto o segundo não tem sucessor imediato. Além dessa série, as séries nas quais cada ponto é um ponto-limitante são séries compactas; e isso vale sem qualificação, se for especificado que cada ponto deve ser um ponto-limitante superior (ou que cada ponto deva ser um ponto-limitante inferior).
Embora Cantor não considere explicitamente a questão, nós temos de distinguir tipos diferentes de pontos-limitantes de acordo com a natureza das menores subséries pelas quais eles podem ser definidos. Cantor assume que eles devem ser definidos através de progressões, ou de regressões (as quais são os inversos das progressões). Quanto cada membro da nossa série é o limite de uma progressão ou regressão, Cantor chama as nossas séries de “condensadas em si mesmas” (insichdicht).
[103]Agora nós chegamos à segunda propriedade através da qual a perfeição devia ser definida, a saber, a propriedade que Cantor chama aquela de ser “fechada (closed)” (abgeschlossen). Como nós dissemos, isso foi primeiro definido como consistindo no fato de que todos os pontos-limitantes de uma série pertencem a ela. Mas isso apenas tem qualquer significância efetiva se a a nossa série é dada como contida em alguma outra série maior (como é o caso, por exemplo, com uma seleção de números reais), e os pontos-limitantes são tomados em relação a séries maiores. Caso contrário, se uma série é considerada simplesmente por sua própria conta, ela não pode falhar em conter os seus pontos-limitantes. O que Cantor quer dizer não é exatamente o que ele diz; de fato, em outras ocasiões, ele diz alguma coisa bastante diferente, a qual é o que ele quer dizer. O que ele realmente quer dizer é que cada série subordinada que é do tipo que poderia ser esperado ter um limite tem um limite dentro da série dada; ou seja, cada série subordinada que não tem máximo tem um limite, ou seja, cada série subordinada tem uma fronteira. Mas Cantor não afirma isso para toda série subordinada, mas apenas para progressões e regressões. (Não está claro até onde ele reconhece que isso é limitação.) Desse modo, finalmente, nós descobrimos que a definição que nós queremos é a seguinte:-
Uma série é dita ser “fechada” (abgeschlossen) quando toda progressão ou regressão contida na série tem um limite na série.
Então nós temos a definição adicional:-
Uma série é “perfeita” quando ela é condensada em si mesma e fechada, ou seja, quando cada propriedade é o limite de uma progressão ou regressão, e cada progressão ou regressão contida na série tem um limite na série.
Ao buscar uma definição de continuidade, o que Cantor tem em mente é a busca por uma definição que deverá se aplicar à série de números reais e a qualquer série similar a ela, mas não a outras. Para esse propósito, nós temos que adicionar uma propriedade adicional. Entre números reais, alguns são racionais, alguns são irracionais; embora o número de irracionais seja maior do que o número de racionais, contudo, há racionais entre quaisquer dois números reais, por mais que [104]em pouco os dois possam diferir. Como nós vimos, o número de racionais é N0. Isso dá uma propriedade adicional que é suficiente para caracterizar completamente a continuidade, a saber, a propriedade de conter uma classe de ℵ0 membros de um modo tal que alguns dessa classe ocorrem entre quaisquer dois termos da nossa série, por mais que próximos. Essa propriedade, adicionada à perfeição, é suficiente para definir uma classe de séries que são similares e, de fato, são um número serial. Essa classe Cantor define como aquela da série contínua.
Nós podemos simplificar levemente a definição dele. Para começar, nós dizemos:
Uma “classe mediana” de uma série é uma subclasse do campo tal que os membros dela devem ser encontrados entre quaisquer dois termos da série.
Desse modo, os racionais são uma classe mediana na série dos números reais. É óbvio que não podem haver classes medianas exceto em séries compactas.
Então nós descobrimos que a definição de Cantor é equivalente à seguinte:-
Uma séria é “contínua” quando (1) ela é dedekindiana, (2) ela contém uma classe mediana tendo ℵ0 termos.
Para evitarmos confusão, nós deveremos falar desse tipo como “continuidade cantoriana.” Será percebido que ela implica a continuidade dedekindiana, mas o inverso não é o caso. Todas as séries tendo continuidade cantoriana são similares, mas nem todas as séries tendo continuidade dedekindiana.
As noções de limite e continuidade que nós estivemos definindo não devem ser confundidas com as noções do limite de uma função por aproximações a um dado argumento, ou com a continuidade de uma função na vizinhança de um dado argumento. Essas são noções diferentes, muito importantes, mas derivativas a partir da acima e mais complicada. A continuidade de movimento (se o movimento é contínuo) é uma instância da continuidade de uma função; por outro lado, a continuidade de espaço e tempo (se eles são contínuos) é uma instância da continuidade de séries, ou (para falar mais cautelosamente) de um tipo de continuidade que pode, por suficiente [105]manipulação matemática, ser reduzida à continuidade de séries. Em vista da importância fundamental para o movimento na matemática aplicada, assim como por outras razões, será bom lidar brevemente com as noções de limite e continuidade enquanto aplicadas a funções; mas isso assunto será melhor reservado para um capítulo separado.
As definições de continuidade que nós estivemos considerando, a saber, aquelas de Dedekind e Cantor, não correspondem muito estritamente à ideia vaga que está associada com a palavra na mente do homem na rua ou do filósofo. Eles concebem a continuidade antes como ausência de separatividade, o tipo de obliteração geral de distinção que caracteriza uma névoa espessa. Uma névoa dá uma impressão de vastidão sem multiplicidade ou divisão definidas. É esse tipo de coisa que um metafísico quer dizer por “continuidade,” declarando-a, muito verdadeiramente, ser característica da sua vida mental e daquela de crianças e animais.
A ideia geral vagamente indicada pela palavra “continuidade,” quando assim empregada, ou pela palavra “fluxo,” é uma que certamente é muito diferente daquela que nós temos estado definindo. Por exemplo, tome-se a série dos números reais. Cada um é o que é bastante definida e intransigentemente; ele não passa por graus imperceptíveis um para o outro; ele é uma unidade rígida, separada, e a sua distância de cada outra unidade é finita, embora ela possa ser menor do que qualquer montante finito dado atribuído antecipadamente. A questão da relação entre o tipo de continuidade existindo entre os números reais e o tipo exibido, por exemplo, pelo que nós vemos em um dado momento, é algum difícil intrincado. Não deve ser defendido que os dois tipos sejam simplesmente idênticos, mas, eu penso, pode ser bem sustentado que a concepção matemática que nós estivemos considerando neste capítulo dá o esquema lógica abstrato para o que deve ser possível para trazer material empírico para manipulação apropriada, se esse material deve ser chamado de “contínuo” em qualquer sentido precisamente definido. Seria bastante impossível [106]justificar essa tese dentro dos limites do presente volume. O leitor que estiver interessado pode ler uma tentativa de justificar isso com respeito ao tempo, em particular, pelo presente autor, no Monist para 1914-5, assim como em parte de Nosso Conhecimento do Mundo Exterior (Our Knowledge of the External World). Com essas indicações, nós devemos deixar esse problema interessante como ele é, para retornarmos a tópicos mais estritamente conectados com a matemática.
ORIGINAL:
RUSSELL, B. Introduction to Mathematical Philosophy. London: G. Allen & Unwin, 1919. p. 97-106. Disponível em: <https://archive.org/details/introductiontoma00russ/page/97/mode/1up>
TRADUÇÃO:
EderNB do Blog Mathesis
Licença: CC BY-NC-SA 4.0
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