Introdução à Filosofia Matemática XII Seleções e o Axioma Multiplicativo

Introdução à Filosofia Matemática

Por Bertrand Russell

Prefácio, Nota do Editor e Conteúdos

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[117]Capítulo XII Seleções e o Axioma Multiplicativo

Neste capítulo nós temos de considerar um axioma que pode ser enunciado, mas não provado, em termos de lógica, e que é conveniente, embora não indispensável, em certas porções da matemática. Ele é conveniente no sentido de que muitas proposições interessantes, as quais parece natural supor verdadeiras, não podem ser provadas sem a ajuda dele; mas ele não é indispensável, porque mesmo sem essas proposições os tópicos nos quais elas ocorrem ainda existem, embora de uma forma uma pouco mutilado.

Antes de enunciarmos o axioma multiplicativo, nós temos de explicar primeiro a teoria das seleções e a definição da multiplicação quando o número de fatores pode ser infinito.

Ao definir as operações aritméticas, o único procedimento correto é construir uma classe (ou relação, no caso de números-relação) atual tendo o número requerido de termos. Isso às vezes demanda um certo montante de engenhosidade, mas é essencial para provar a existência do número definido. Como o mais simples exemplo, tome-se o caso da adição. Suponha que sejam dados a nós um número cardinal μ, e uma classe α que tem μ termos. Como nós deveremos definir μ+μ? Para esse propósito nós temos duas classes tendo μ termos, e elas não devem se sobrepor. Nós podemos construir tais classes a partir de α de várias maneiras, das quais a seguinte talvez seja a mais simples: Primeiro de tudo, formem-se os pares ordenados cujo primeiro termo é uma classe consistindo em um único membro de α, e cujo segundo termo é a classe-nula; então, em segundo lugar, formem-se todos os pares ordenados cujo primeiro termo é [118]a classe-nula e cujo segundo termo é uma classe consistindo em um único membro de α. Essas duas classes de pares não têm membros em comum, e a soma lógica das duas classes terá μ+μ termos. Exatamente analogamente nós podemos definir μ+ν, dado que μ é o número de alguma classe α e ν é o número de alguma classe β.

Como uma regra, tais definições são meramente uma questão de um artifício técnico adequado. Mas no caso da multiplicação, onde o número de fatores pode ser infinito, problemas importantes surgem a partir da definição.

Quando o número de fatores é finito, a multiplicação não oferece dificuldade. Dadas duas classes α e β, das quais a primeira tem μ termos e a segunda, ν termos, nós podemos definir μ x ν como o número de pares ordenados que podem ser formados através da escolha do primeiro termo a partir de α e do segundo termo a partir de β. Será visto que essa definição não requer que α e β não deveriam se sobrepor; ela até permanece adequada quando α e β são idênticas. Por exemplo, que α seja a classe cujos membros são x₁, x₂, x₃. Então a classe que é usada para definir o produto de μ x μ é classe de pares:

(x₁, x₁), (x₁, x₂), (x₁, x₃); (x₂, x₁), (x₂, x₂), (x₂, x₃); (x₃, x₁), (x₃, x₂), (x₃, x₃).

Essa definição permanece aplicável quando μ ou ν ou ambos são infinitos, e pode ser estendida passo a passo para três ou quatro ou qualquer número finito de fatores. Nenhuma dificuldade surge com respeito a essa definição, exceto que ela não pode ser estendida para um número infinito de fatores.

O problema da multiplicação quando o número de fatores pode ser infinito surge desta maneira: Suponha que uma classe k consista em classes; suponha que o número de termos em cada uma dessas classes seja dado. Como nós deveríamos definir o produto de todos esses números? Se nós podemos estruturar a nossa definição de modo geral, ela será aplicável se k for finito ou infinito. Deve ser observado que o problema é ser capaz de lidar com o caso quando k é infinito, não com o caso quando os seus membros são. Se [119]k não é infinito, o método definido acima é exatamente aplicável quando os seus membros são infinitos como quando eles são finitos. É o caso quando k é infinito, mesmo se os seus membros possam ser finitos, que nós temos de encontrar um modo de lidar.

O método seguinte de definição da multiplicação é devido no geral ao dr. Whitehead. Ele é explicado e tratado extensamente em Principia Mathematica, vol. i *80ff., e vol. ii. *144.

Para começarmos, suponhamos que k seja uma classe de classes que nenhuma das quais sobrepõem-se – digamos, os distritos eleitorais em um país onde não haja voto plural, cada distrito eleitoral sendo considerado como uma classe de eleitores. Agora comecemos a trabalhar para escolhermos um termo a partir de cada classe para ser o seu representante, como distritos eleitorais fazem quando eles elegem os membros do parlamento, assumindo-se que, por lei, cada distrito eleitoral elege um homem que é um eleitor nesse distrito eleitoral. Desse modo, nós chegamos a uma classe de representantes, quem formam o parlamento, um sendo selecionado a partir de cada distrito eleitoral. Há quantas possíveis maneiras diferentes de escolher um parlamento? Cada distrito eleitoral pode selecionar um dos seus eleitores, e, portanto, se há μ eleitores em um distrito eleitoral, ele pode fazer μ escolhas. As escolhas dos diferentes distritos eleitorais são independentes; desse modo, é óbvio que, quanto o número total de distritos é finito, o número de parlamentos possíveis é obtido multiplicando-se os números de eleitores nos vários distritos eleitorais. Quando nós não sabemos se o número de distritos eleitorais é finito ou infinito, nós podemos aceitar o número de parlamentos possíveis como definindo o produto dos números dos distritos eleitorais separados. Esse é o método através do qual produtos infinitos são definidos. Agora nós podemos abandonar a nossa ilustração e prosseguir para afirmações exatas.

Que k seja uma classe de classes, e, para começar, assumamos que nenhum par de membros de k sobrepõem-se, ou seja que se α e β são dois membros diferentes de k, então nenhum membro de um é um membro da outra. Nós devemos chamar uma classe de uma “seleção” a partir de k quando ela consiste em apenas um termo de cada membro de k; ou seja, m é uma “seleção” a partir de k se cada membro de μ pertence a algum membro [120]de k, e se α for qualquer membro de k, μ e α têm exatamente um termo em comum. A classe de todas as “seleções” a partir de k nós deveremos chamar de a “classe multiplicativa” de k. O número de termos na classe multiplicativa de k, ou seja, o número de seleções possíveis a partir de k, é definido como o produto dos números dos membros de k. Essa definição é igualmente aplicável se k é finito ou infinito.

Antes que possamos ficar inteiramente satisfeitos com essas definições, nós temos de remover a restrição de que nenhum par de k deve sobrepor-se. Para esse propósito, em vez de definir primeiro uma classe chamada de uma “seleção,” nós definiremos primeiro uma relação que nós chamaremos de um “seletor.” Uma relação R será chamada de um “seletor” a partir de k se, a partir de cada membro de k, ela escolhe um termo como o representante desse membro, ou seja, se, dado qualquer membro α de k, há apenas um termo x que é um membro de α e tem a relação R com α; e isso deve ser tudo que R faz. A definição formal é:

Um “seletor” de uma classe de classes k é uma relação um-muitos, tendo k pelo seu domínio inverso, e tal que, se x tem a relação com α, então x é um membro de a.

Se R é um seletor a partir de k, e a é um membro de k, e x é o termo que tem a relação R com a, nós chamamos x de o “representante” de α com respeito à relação R.

Uma “seleção” a partir de k agora será definida como o domínio de um seletor; e a classe multiplicativa, como antes, será a classe das seleções.

Mas quando os membros de k sobrepõem-se, pode haver mais seletores do que seleções, uma vez que um termo x que pertence a duas classes α e β pode ser selecionado uma vez para representar α e uma vez para representar β, dando origem a seletores diferentes nos dois casos, mas para a mesma seleção. Para propósitos de definição de multiplicações, são os seletores que nós requeremos em vez das seleções. Desse modo, nós definimos:

“O produto dos números dos membros de uma classe de classes k é o número de seletores a partir de k.”

Nós podemos definir a exponenciação através de uma adaptação do plano acima. [121]É claro, nós poderíamos definir μ^ν como o número dos seletores de ν classes, cada uma das quais tem μ termos. Mas há objeções a essa definição, derivadas a partir do fato de que o axioma multiplicativo (do qual nós devemos falar em breve) está desnecessariamente envolvido se ele é adotado. Em vez disso, nós adotamos a seguinte construção.

Que α seja uma classe tendo μ termos, e β uma classe tendo ν termos.

Que γ seja um membro de β, e forme a classe de todos os pares ordenados que tem γ pelo seu segundo termo e um membro de α pelo seu primeiro termo. Haverá μ desses pares para um dado γ, uma vez que qualquer membro de α pode ser escolhido para o primeiro termo, e α tem μ membros. Se agora nós formarmos todas as classes desse tipo que resultam a partir da variação de γ, nós obtemos de modo geral ν classes, uma vez que γ pode ser qualquer membro β, e β tem ν membros. Essas ν classes são, cada uma delas, uma classe de pares, a saber, todos os pares que podem ser formados de um membro variável de α e um membro fixo de β. Nós definimos μ^ν como o número de seletores a partir de uma classe consistindo nessas ν classes. Ou nós podemos definir igualmente bem μ^ν como o número de seleções, pois, uma vez que as nossas classes de pares são mutuamente exclusivas, o número de seletores é o mesmo que o número de seleções. Uma seleção a partir da nossa classe será um conjunto de pares ordenados, dos quais haverá exatamente um tendo qualquer dado número de β pelo seu segundo termo, e o primeiro pode ser qualquer número de α. Dessa maneira, μ^ν é definido pelos seletores a partir de um certo conjunto de ν classes, cada uma tendo μ termos, mas o conjunto é um tendo uma certa estrutura e uma composição mais gerenciável do que é o caso no geral. A relevância disso para o axioma multiplicativo aparecerá em breve.

O que se aplica à exponenciação aplica-se também ao produto de dois cardinais. Nós poderíamos definir “μ x ν” como a soma do número de ν classes, cada uma tendo μ termos, mas nós preferimos defini-la como o número de pares ordenados a serem formados consistindo em um membro de α seguido por um membro de β, onde α tem μ termos, e β tem ν termos. Essa definição também é projetada para evitar a necessidade de pressupor o axioma multiplicativo.

[122]Com as nossas definições, nós podemos provar as leis formais da multiplicação e exponenciação. Mas há uma coisa que nós não podemos provar: nós não podemos provar que um produto é apenas zero quando um dos seus fatores é zero. Nós podemos provar isso quando o número de fatores é finito, mas não quando é infinito. Em outras palavras, nós não podemos provar que, dada uma classe de classes, nenhuma das quais é nula, tem de haver seletores para elas; ou que, dada uma classe de classes mutuamente exclusivas, tem de haver pelo menos uma classe consistindo de um termo de cada uma das classes dadas. Essas coisas não podem ser provadas; e embora, à primeira vista, elas pareçam obviamente verdadeiras, contudo, a reflexão traz-nos dúvida gradualmente crescente, pelos menos até que nos tornemos contentes em registrar a suposição e as suas consequências, como nós registramos o axioma das paralelas, sem supormos que nós podemos saber que se ela é verdadeira ou falsa. A suposição, formulada vagamente, é de que seletores e seleções existem quando nós deveríamos esperá-los. Há muitas maneiras equivalentes de a formular precisamente. Nós podemos começar com o seguinte:-

“Dada qualquer classe de classes mutuamente exclusivas, das quais nenhuma é nula, há, pelo menos, uma classe que tem exatamente um termo em comum com cada uma das classes dadas.”

Essa proposição nós chamaremos de o “axioma multiplicativo.”¹ Primeiro nós forneceremos várias formas equivalentes da proposição, e, em seguida, consideraremos certas maneiras nas quais a sua verdade ou falsidade é de interesse para a matemática.

O axioma multiplicativo é equivalente à proposição de que um produto apenas é zero quando, pelo menos, um dos seus fatores for zero; ou seja, que, se qualquer número de números cardinais for multiplicado, o resultado não pode ser 0 a menos que um dos números relacionados seja 0.

O axioma multiplicativo é equivalente à proposição de que, se R for qualquer relação, e k qualquer classe contida no domínio inverso de R, então há pelo menos uma relação um-muitos implicando R e tendo k para o seu domínio inverso.

O axioma multiplicativo é equivalente à suposição de que se α for qualquer classe, e k todas as subclasses de α com a exceção [123]da classe-nula, então há pelos menos um seletor a partir de k. Essa é a forma na qual o axioma foi primeiro trazido à atenção do mundo instruído por Zermelo, em seu “Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann.”² Zermelo considera o axioma como uma verdade inquestionável. Tem de ser confessado que, até que ele foi tornado explícito, os matemáticos tinham-no usado sem nenhum problema; mas pareceria que eles tinham feito isso inconscientemente. E o crédito devido a Zermelo por tê-lo feito explícito é inteiramente independente da questão de se ele é verdadeiro ou falso.

O axioma multiplicativo foi mostrado por Zermelo, na prova acima mencionada, ser equivalente à proposição de que cada classe pode ser bem-ordenada, ou seja, pode ser arranjada em uma série na qual cada subclasse tem um primeiro termo (exceto, é claro, a classe-nula). A prova completa dessa proposição é difícil, mas não é difícil perceber o princípio geral sobre o qual ela procede. Ela usa a forma que nós chamamos de “axioma de Zermelo,” ou seja, ela assume que, dada qualquer classe α, há, pelo menos, uma relação um-muitos R cujo domínio inverso consiste em todas as subclasses existentes de α e que é tal que, se x tem a relação R com ξ, então x é um membro de ξ. Uma tal relação escolhe um “representante” a partir de cada subclasse; é claro, frequentemente acontecerá que duas subclasses tenham o mesmo representante. Com efeito, o que Zermelo faz é contar os membros de α, um por um, através de R e indução transinfinita. Nós colocamos primeiro o representante de α, chame-o de x₁. Então, tomamos o representante da classe consistindo de todos de α exceto x₁; chame-o de x₂. Tem de ser diferente de x₁, porque cada representante é um membro da sua classe, e x₁ está excluído dessa classe. Prossiga similarmente para retirar x₂, e que x₃ seja o representante do que resta. Dessa maneira, nós primeiro obtemos uma progressão de x₁, x₂, … x_n, …, assumindo que α não seja finito. Então, nós retiramos a inteira progressão; que x_ω seja o representante do que é deixado de α. Desse modo, nós podemos prosseguir até que nada reste. Os representantes sucessivos formarão uma série [124]bem-ordenada contendo todos os membros de α. (É claro, o acima é apenas uma pista das linhas gerais da prova.) Essa proposição é chamada de “teorema de Zermelo.”

O axioma multiplicativo também é equivalente à suposição de que de quaisquer dois cardinais que não são iguais, um tem de ser o maior. Se o axioma é falso, haverá cardinais μ e ν tais que μ não é nem menor do que, igual a, nem maior do que ν. Nós vimos que ℵ₁ e 2^ℵ0 possivelmente formam uma instância de um tal par.

Muitas outras formas do axioma poderiam ser dadas, mas as acima são as mais importantes das formas conhecidas no presente. Quanto à verdade ou falsidade do axioma em qualquer uma das suas formas, nada é conhecido no presente.

As proposições que dependem do axioma, sem serem conhecidas como equivalentes a ele, são numerosas e importantes. Tome-se primeiramente a conexão de adição e multiplicação. Nós naturalmente pensamos que a soma de ν classes mutuamente exclusivas, cada uma tendo μ termos, deve ter μ x ν termos. Quando ν é finito, isso pode ser provado sem o axioma multiplicativo. Mas quando ν é infinito, isso não pode ser provado sem o axioma multiplicativo, exceto onde, devido a alguma circunstância especial, a existência de certos seletores pode ser provada. O modo como axioma entra é como se segue: suponha que nós temos dois conjuntos de ν classes mutuamente exclusivas, cada uma tendo μ termos, e nós desejamos provar que a soma de um conjunto tem tantos termos quanto a soma do outro. Para provar isso, nós temos de estabelecer uma relação um-um. Agora, uma vez que há em cada caso ν classes, há alguma relação um-um entre os dois conjuntos de classes; mas o que nós queremos é uma relação um-um entre os termos delas. Consideremos alguma relação um-um S entre as classes. Então se k e λ são os dois conjuntos de classes, e α é algum membro de k, haverá um membro β de λ que será o correlato de α com respeito a S. Agora, α e β têm cada um μ termos e, portanto, são correlatos. Portanto, há correlações um-um de α e β. O problema é que há tantas. Para obtermos uma correlação um-um da soma de k com a soma de λ, nós temos de escolher uma seleção a partir de um conjunto de classes [125]de correlatores, uma classe do conjunto sendo todos os correlatores de α com β. Se k e λ são infinitos, nós não podemos saber de maneira geral se uma tal seleção existe, a menos que nós possamos saber que o axioma multiplicativo é verdadeiro. Consequentemente, nós não podemos estabelecer o tipo usual de conexão entre adição e multiplicação.

Esse fato tem várias consequências curiosas. Para começar, nós sabemos que ℵ₀² = ℵ₀ X ℵ₀ = ℵ₀. É comumente inferido a partir disso que a soma de ℵ₀ classes, cada uma tendo ℵ₀ membros, deve ela mesma ter ℵ₀ membros, mas essa inferência é falaciosa, uma vez que nós não sabemos que o número de termos em uma tal soma é ℵ₀ X ℵ₀, nem, consequentemente, que ele é ℵ₀. Isso tem uma influência sobre a teoria dos ordinais transinfinitos. É fácil provar que um ordinal que tem ℵ₀ predecessor tem de ser um daqueles que Cantor chama de a “segunda classe,” ou seja, tal que uma série tendo esse número ordinal terá ℵ₀ termos no seu campo. Também e fácil ver que, se nós tirarmos qualquer progressão de ordinais da segunda classe, os predecessores do limite delas formam, no máximo, a soma de ℵ₀ classes, cada uma tendo ℵ₀ termos. A partir disso, é inferido – falaciosamente, a menos que o axioma multiplicativo seja verdadeiro – que os predecessores do limite são ℵ₀ em número, e, portanto, que o limite é um número da “segunda classe.” Quer dizer, é suposto estar provado que qualquer progressão de ordinais da segunda classe tem um limite que é novamente um ordinal da segunda classe. Essa proposição, com o corolário de que ω₁ (o menor ordinal da terceira classe) não é o limite de nenhuma progressão, está envolvida na maior parte da teoria reconhecida dos ordinais da segunda classe. Em vista da maneira na qual o axioma multiplicativo está envolvido, a proposição e seu corolário não podem ser considerados como provados. Eles podem ser verdadeiros, ou eles não podem. Tudo que pode ser dito no presente é que nós não sabemos. Desse modo, a maior parte da teoria dos ordinais da segunda classe tem de ser considerada como não provada.

Outra ilustração pode ajudar a tornar o ponto mais claro. Nós sabemos que 2 X ℵ₀ = ℵ₀. Consequentemente, nós poderíamos supor que a soma de ℵ₀ pares tem de ter ℵ₀ termos. Mas isso, embora nós possamos provar que algumas vezes é o caso, não pode ser provado acontecer sempre, [126]a menos que nós assumamos o axioma multiplicativo. Isso é ilustrado pelo milionário que comprava um par de meias sempre que ele comprava um par de botas, e nunca em nenhum outro momento, e que tinha uma paixão tão grande pela compra de ambos que, por fim, ele tinha ℵ₀ pares de botas e ℵ₀ pares de meias. O problema é: Quantas botas ele tinha, e quantas meias? Alguém naturalmente suporia que ele tinha duas vezes tantas botas e duas vezes tantas meias quanto ele tinha pares de cada uma, e que, portanto, ele tinha ℵ₀ de cada, uma vez que o número não é aumentado por duplicação. Mas isso é uma instância da dificuldade, já notada, de conectar a soma de ν classes, cada uma tendo μ termos, com μ x ν. Algumas vezes isso pode ser feito, algumas vezes, não pode. No nosso caso, isso pode ser feito com as botas, mas não com as meias, exceto através de instrumento muito artificial. A razão para a diferença é esta: entre as botas nós podemos distinguir direita e esquerda e, portanto, podemos fazer uma seleção de uma a partir de cada par, a saber, nós podemos escolher todas as botas direitas ou todas as botas esquerdas; mas com as meias nenhum princípio similar de seleção sugere a si mesmo, e nós não podemos estar certos, a menos que assumamos o axioma multiplicativo, de que há qualquer classe consistindo de uma meia a partir de cada par. Consequentemente, o problema.

Nós podemos colocar a questão de outra maneira. Para provar que uma classe tem ℵ₀ termos é necessário e suficiente encontrar alguma maneira de arranjar os termos dela em uma progressão. Não há dificuldade em fazer isso com as botas. Os pares são dados como formando um ℵ₀ e, portanto, como o campo de uma progressão. Dentro de cada par, tome-se a bota esquerda primeiramente e, em segundo lugar, a direita, mantendo a ordem do par não mudada; dessa maneira, nós obtemos uma progressão de todas as botas. Mas com as meias, nós deveremos de ter de escolher arbitrariamente, com cada par, qual colocar primeiro; e um número infinito de escolhas arbitrárias é uma impossibilidade. A menos que nós encontremos uma regra para seleção, ou seja, uma relação que é um seletor, nós nem sabemos que uma seleção é mesmo teoricamente possível. É claro, no caso de objetos no espaço, como meias, nós sempre podemos encontrar algum princípio de seleção. Por exemplo, tome-se o centro de massa das meias: haverá pontos p no espaço tal que, com qualquer [127]par, os centros de massa das duas meias não estão ambos a exatamente a mesma distância de p; desse modo, nós podemos escolher, a partir de cada par, aquela meia que tem o seu centro de massa mais próximo de p. Mas não há razão teórica de porque um método de seleção tal como esse deveria ser sempre possível, e o caso das meias, com um pouco de boa vontade a parte do leitor, pode servir para mostrar como uma seleção poderia ser impossível.

Deve ser observado que, se fosse impossível selecionar uma a partir de cada par de meias, seguir-se-ia que as meias não poderiam ser arranjadas em uma progressão, e, portanto, que não havia ℵ₀ delas. Esse caso ilustra que, se μ é um número infinito, um conjunto de μ pares pode não conter o mesmo número de termos que outro conjunto de μ pares; pois, dados ℵ₀ pares de botas, certamente há ℵ₀ botas, mas nós não podemos estar certos disso no caso das meias, a menos que assumamos o axioma multiplicativo ou retroceder para algum fortuito método geométrico de seleção tal como o acima.

Outro problema importante envolvendo o axioma multiplicativo é a relação de reflexividade com não indutividade. Será lembrado que no capítulo VII nós indicamos que um número reflexivo tem de ser não indutivo, mas que o inverso (até onde é conhecido no presente) apenas pode ser provado se nós assumirmos o axioma multiplicativo. O modo como isso acontece é como se segue:-

É fácil provar que uma classe reflexiva é uma que contém subclasses tendo ℵ₀ termos. (É claro, a classe mesma tem ℵ₀ termos.) Desse modo, nós temos de provar, se nós pudermos, que, dada qualquer classe não indutiva, é possível escolher uma progressão a partir dos seus termos. Agora, não há dificuldade em mostrar que uma classe não indutiva tem de conter mais termos do que qualquer classe não indutiva, ou, o que chega a ser a mesma coisa, que se α é uma classe não indutiva, e ν é qualquer número indutivo, há subclasses de α que têm ν termos. Dessa maneira, nós podemos formar conjuntos de subclasses finitas de α: Primeiro, uma classe não tendo nenhum termo, então classes tendo 1 termo (tantas quantas são membros de α), então classes tendo [128]2 termos, e assim por diante. Desse modo, nós obtemos uma progressão de conjuntos de subclasses, cada conjunto consistindo em todos aqueles que têm um certo dado número finito de termos. Até agora nós não usamos o axioma multiplicativo, mas apenas provamos que o número de coleções de subclasses de α é um número reflexivo, ou seja, que, se μ é o número de membros de α, de modo que 2^μ é o número de subclasses de α e 2^{2^μ} é o número de coleções de subclasses, então, com a condição de que μ não seja indutivo, 2^{2^μ} tem de ser reflexivo. Mas isso está muito longe do que nós começamos a provar.

Para avançarmos além desse ponto, nós temos de empregar o axioma multiplicativo. A partir de cada conjunto de subclasses escolhamos uma, omitindo-se apenas subclasse consistindo na classe-nula. Quer dizer, nós selecionamos uma subclasse contendo um termo, α₁, digamos; uma contendo dois termos, α₂, digamos; uma contendo três, α₃, digamos; e assim por diante. (Nós podemos fazer isso se o axioma multiplicativo for assumido; caso contrário, nós não sabemos se sempre podemos fazer isso ou não.) Agora nós temos uma progressão α₁, α₂, α₃, … de subclasses de α, em vez de uma progressão de coleções de subclasses; desse modo, nós estamos um passo mais próximo do nosso objetivo. Agora nós sabemos que, assumindo-se o axioma multiplicativo, se μ é um número não indutivo, 2^μ tem de ser um número reflexivo.

O próximo passo é observar que, embora nós não possamos estar certos de que novos membros de α entrem em qualquer estágio especificado na progressão α₁, α₂, α₃, … nós podemos estar certos de que novos membros continuam entrando de tempos em tempos. Ilustremos. A classe α₁, a qual consiste em um termo, é um novo começo; que esse termo único seja x₁. A classe α₂, consistindo em dois termos, de ou não pode conter x₁; se ela o faz, ela introduz um novo termo; e se ela não o faz, ela tem de introduzir dois novos termos, digamos, x₂, x₃. Nesse caso, é possível que α₃ consista em x₁, x₂, x₃, e assim não introduz nenhum termo, mas, nesse caso, α₄ tem de introduzir um novo termo. As primeiras ν classes α₁, α₂, α₃, … α^ν contêm, no máximo, 1+2+3+…+ν termos, ou seja, ν(ν+1)/2 termos; desse modo seria possível, se não houvesse repetições nas primeiras ν classes, prosseguir apenas com repetições a partir da classe (ν+1)^ésima [129]para a classe ν(ν+1)2^ésima. Mas, por essa altura, os termos antigos não mais seriam suficientemente numerosos para formar uma próxima classe com o número correto de membros, ou seja, ν(ν+1)/2+1, portanto, novos termos têm de entrar nesse ponto, se não antes. Segue-se que, se nós omitirmos a partir dessa progressão α₁, α₂, α₃, … todas aquelas classes que são compostas inteiramente de membros que ocorreram nas classes prévias, nós ainda deveremos ter uma progressão. Que a nossa nova progressão seja chamada de β₁, β₂, β₃…. (Nós deveremos ter α₁=β₁ e α₂=β₂ porque α₁ e α₂ têm de introduzir novos termos. Nós podemos ou não ter α₃=β₃, mas, falando de modo geral, β_μ será α_ν, onde ν é algum número maior do que μ; ou seja os β’s são alguns dos α’s.) Agora esses β’s são tais que um deles, digamos, β^μ, contem membros que não ocorreram em nenhum dos β’s anteriores. Que γ_μ seja a parte de β_μ que consiste em novos membros. Desse modo, nós obtemos uma nova progressão γ₁, γ₂, γ₃, … (Novamente, γ₁ será idêntico a β₁ e a α₁; se α₂ não contém um o membro único de α₁, nós deveremos ter γ₂=β₂=α₂, mas se α₂ contém esse membro único, γ₂ consistirá em outro membro de α₂.) Essa nova progressão de γ’s consiste em classes mutuamente exclusivas. Consequentemente, uma seleção a partir delas será uma progressão; ou seja, se x₁ é o membro de y₁, x₂ é um membro de y₂, x₃ é um membro de y₃, e assim por diante; então x₁, x₂, x₃, … é uma progressão, e é uma subclasse de α. Assumindo-se o axioma multiplicativo, uma seleção similar pode ser feita. Desse modo, ao usar duas vezes esse axioma, nós podemos provar que, se o axioma é verdadeiro, todo cardinal não indutivo tem de ser reflexivo. Isso também poderia ser deduzido a partir do teorema de Zermelo, que, se o axioma for verdadeiro, cada classe pode ser bem-ordenada; pois uma série bem-ordenada tem de ter ou um número finito ou reflexivo de termos no seu campo.

Há uma vantagem no argumento direto acima, como contra a dedução a partir do teorema de Zermelo, que o argumento acima não exige a verdade universal do axioma multiplicativo, mas apenas a sua verdade enquanto aplicado a um conjunto de ℵ₀ classes. Pode acontecer que o axioma valha para ℵ₀ classes, embora não para um número maior de classes. Por essa razão, é melhor, quando [130]possível, contentar a nós mesmos com uma suposição mais restrita. A suposição feita no argumento diretamente acima é que o produto de ℵ₀ fatores nunca é zero a menos a menos que um dos fatores seja zero. Nós podemos formular essa suposição na forma: “ℵ₀ é um número multiplicável,” onde ν é definido como “multiplicável” quando um produto de ν fatores nunca é zero a menos que um dos fatores seja zero. Nós podemos provar que um número finito é sempre multiplicável, mas nós não podemos provar que qualquer número infinito seja assim. O axioma multiplicativo é equivalente à suposição de que todos os números cardinais são multiplicáveis. Mas, para identificar o reflexivo com o não indutivo, ou para lidar com o problema das botas e meias, ou para mostrar que qualquer progressão de números da segunda classe é da segunda classe, nós apenas necessitamos da suposição muito menor de que ℵ₀ é multiplificável.

Não é improvável que haja muito a ser descoberto com respeito aos tópicos discutidos no presente capítulo. Podem ser encontrados casos onde proposições que parecem envolver o axioma multiplicativo podem ser provadas sem ele. É concebível que o axioma multiplicativo em sua forma geral pode ser mostrado ser falso. A partir desse ponto de vista, o teorema de Zermelo oferece a melhor esperança: o contínuo ou alguma série ainda mais densa poderia ser provado ser incapaz de ter os seus termos bem ordenados, o que provaria que o axioma multiplicativo é falso, em virtude do teorema de Zermelo. Mas, até agora, nenhum método de obter tais resultados foi descoberto, e o assunto permanece envolvido em obscuridade.

Próximo capítulo

ORIGINAL:

RUSSELL, B. Introduction to Mathematical Philosophy. London: G. Allen & Unwin, 1919. p. 117-130. Disponível em: <https://archive.org/details/introductiontoma00russ/page/117/mode/1up>

TRADUÇÃO:

EderNB do Blog Mathesis

Licença: CC BY-NC-SA 4.0

1[122]Ver Principia Mathematica, vol. i. *88. Também, vol. iii. *257-258.

2[123]Mathematische Annalen, vol. lix. pp. 514-6. Nessa forma nós deveremos falar dele como o axioma de Zermelo.