Nosso Conhecimento do Mundo Exterior VI O Problema do Infinito Historicamente Considerado

Nosso Conhecimento do Mundo Exterior como um Campo para o Método Científico em Filosofia

Por Bertrand Russell

Preleção anterior

[155]VI O Problema do Infinito Historicamente Considerado

Será lembrado que, quando nós enumeramos os fundamentos sob os quais a realidade do mundo sensível foi questionada, um daqueles mencionados foi a suposta impossibilidade da infinidade e continuidade. À vista de nossa discussão anterior da física, pareceria que nenhuma evidência empírica conclusiva existe em favor da infinidade ou continuidade nos objetos do sentido ou na matéria. Mesmo assim, a explicação que presume a infinidade e continuidade permanece incomparavelmente mais fácil e mais natural, a partir de um ponto de vista científico, do que qualquer outra, e, uma vez que Georg Cantor mostrou que as supostas contradições são ilusórias, não há mais nenhuma razão para se esforçar atrás de uma explicação finitista do mundo.

Todas as supostas dificuldades da continuidade têm a sua fonte no fato de que uma série contínua tem de ter um número infinito de termos, e, de fato, são dificuldades relativas ao infinito. Consequentemente, liberando o infinito de contradição, nós estamos, ao mesmo tempo, revelando a possibilidade da continuidade como presumida na ciência.

O tipo de maneira pela qual a infinidade tem sido usada para o descredito do mundo do sentido pode ser ilustrado pelas duas primeiras antinomias de Kant. Na primeira, a tese afirma: “O mundo tem um começo no tempo, e, com respeito ao espaço, ele está encerrado dentro de limites”; a antítese afirma: [156]“O mundo não tem começo e nem limites no espaço, mas é infinito tanto com respeito ao tempo quanto ao espaço.” Kant professa provar essas duas proposições, ao passo que, se o que nós dissemos sobre a lógica moderna tem algum sentido, deve ser impossível provar qualquer uma. Contudo, para resgatar o mundo do sentido, é suficiente destruir a prova de uma das duas. Para o nosso presente propósito, é a prova de que o mundo é finito que nos interessa. O argumento de Kant com respeito ao espaço depende do seu argumento com respeito ao tempo. Portanto, nós apenas necessitamos examinar o argumento com respeito ao tempo. O que ele diz é como se segue:

“Pois assumamos que o mundo não tenha começo com respeito ao tempo, de maneira que, para cada instante dado, uma eternidade tenha decorrido, e, pontanto, uma série infinita de estados sucessivos das coisas no mundo passou-se. Mas a infinidade da série consiste exatamente nisto, que ela nunca possa ser completada por síntese sucessiva. Portanto, uma infinita série mundana (world-series) passada é impossível, e, por consequência, um começo do mundo é uma condição necessária da sua existência; a qual era a primeira coisa a ser provada.”

Mais críticas diferentes poderiam ser continuadas sobre esse argumento, mas nós nos contentaremos com um mínimo. Para começar, é um erro definir o infinito de uma série como “a impossibilidade de conclusão por síntese sucessiva.” A noção de infinito, como nós deveremos ver na próxima preleção, é primariamente uma propriedade de classes, e apenas derivativamente aplicável a séries; classes que são infinitas são todas dadas de uma vez, através da definição de propriedade dos seus membros, de maneira que não há questão de “conclusão” ou de “síntese sucessiva.” E a palavra “síntese,” ao sugerir a atividade mental de sintetização, introduz mais ou menos sorrateiramente aquela referência à mente pela qual toda a filosofia de Kant estava infectada. Em segundo lugar, quando Kant diz que [157]uma série infinita “nunca” pode ser completada por síntese sucessiva, tudo o que ele, mesmo concebivelmente, tem um direito de dizer é que ela não pode ser completada em um tempo finito. Dessa forma, no máximo, o que ele prova é que, se o mundo não tem começo, ele deve ter existido por um tempo infinito. Contudo, essa é uma conclusão muito ruim, de forma alguma adequada aos propósitos dele. E com esse resultado nós poderíamos, se escolhêssemos, deixar a primeira antinomia.

Contudo, é digno de nota considerar como Kant chegou a cometer uma tolice tão elementar. Obviamente, o que aconteceu na imaginação dele foi alguma coisa como esta: começando a partir do presente e indo para trás no tempo, nós temos, se o mundo não tem começo, uma série infinita de eventos. Como nós percebemos a partir da palavra “síntese,” ele imaginou uma mente tentando apreender sucessivamente, na ordem inversa à qual ela ocorreu, ou seja, indo a partir do presente para trás. Essa série é uma que obviamente não tem fim. Mas a série de eventos até o presente tem um fim, uma vez que ela termina com o presente. Devido ao subjetivismo inveterado dos hábitos mentais dele, ele falhou em observar que ele tinha invertido o sentido da série, ao substituir a síntese para trás por acontecimentos para frente, e, dessa forma, ele supôs que era necessário identificar a série mental, a qual não tem fim, com a série física, a qual tem um fim mas nenhum começo. Isso foi um erro, eu penso, o qual, operando inconscientemente, levou a atribuir validade a uma peça singularmente frágil de raciocínio falacioso.

A segunda antinomia ilustra a dependência do problema da continuidade daquele da infinidade. A tese afirma: “Toda substância complexa no mundo consiste em partes simples, e não existe em lugar algum nada senão o simples e o que é composto por ele.” A antítese afirma: “Nenhuma coisa complexa no mundo consiste em [158]partes simples, e em toda parte dele não existe nada simples.” Aqui, como antes, as provas tanto da tese quando da antítese estão abertas à crítica, mas, para o propósito de justificação da física e do mundo do sentido, é suficiente encontrar uma fálacia em uma das porvas. Para esse propósito, nós escolheremos a prova da antítese, a qual começa como se segue:

“Assuma que uma coisa complexa (como uma substância) consista em partes simples. Uma vez que toda relação externa e, portanto, toda composição a partir de substâncias, é apenas possível no espaço, o espaço ocupado por uma coisa complexa deve consistir em tantas partes quanto nas quais a coisa consiste. Agora, o espaço não consiste em partes simples, mas em espaços.”

O resto do argumento dele não necessita nos preocupar, pois o nervo da prova jaz em uma afirmação: “o espaço não consiste em partes simples, mas em espaços.” Isso é como a objeção de Bergson a “a proposição absurda de que o movimento é formado de imobilidades.” Kant não nos diz porque um espaço tem de consistir em espaços em vez de em partes simples. A geometria considera o espaço como formado por pontos, os quais são simples; e embora, como nós vimos, essa visão não seja científica nem logicamente necessária, ela permanece prima facie possível e a sua mera possibilidade é suficiente para viciar o argumento de Kant. Pois, se a prova dele da antinomia fosse válida, e se a antítese pudesse ser evitada apenas através da suposição de pontos, então a antinomia mesma concederia uma razão conclusiva em favor dos pontos. Portanto, por que Kant considerou impossível que o espaço devesse ser composto de pontos?

Eu penso que, provavelmente, duas considerações influenciaram-no. Em primeiro lugar, a coisa essencial sobre o espaço é a ordem espacial, e meros pontos, por si mesmos, não equivalerão à ordem espacial. É óbvio que o argumento dele [159]assume o espaço absoluto; mas são apenas as relações espaciais que são importantes sozinhas, e eles não podem ser reduzidos aos pontos. Portanto, esse fundamento para a visão dele depende de sua ignorância da teoria lógica da ordem e de suas oscilações entre o espaço absoluto e o relativo. Mas também há outro fundamento para a opinião dele, o qual é mais relevante para o nosso tópico presente. Esse é o fundamento derivado a partir da divisibilidade infinita. Um espaço pode ser dividido ao meio (halved) e, em seguida, dividido ao meio novamente e assim por diante, ad infinitum, e, em cada estágio do processo, as partes ainda são espaços, não pontos. Para alcançar pontos por um semelhante método, seria necessário chegar ao fim de um processo sem fim (unending), o que é impossível. Mas, exatamente como uma classe infinita pode ser dada toda de uma vez, por seu conceito definidor, embora ela não possa ser alcançada por enumeração sucessiva, assim um conjunto infinito de pontos pode ser dado todo de uma vez como formando uma linha ou área ou volume, embora eles nunca possam ser alcançados pelo processo de divisão sucessiva. Dessa forma, a divisibilidade infinita do espaço não fornece fundamento para a negação de que o espaço seja composto de pontos. Kant não fornece os fundamentos dele para essa negação, e, portanto, nós apenas podemos conjecturar quais eles foram. Mas os dois fundamentos acima, que nós vimos serem falaciosos, parecem suficientes para explicarem a opinião dele, e, pontanto, nós podemos concluir que a antítese da segunda antinomia não está provada.

A ilustração acima das antinomia de Kant apenas foi introduzida para mostrar a relevância do problema do infinito para o problema da realidade dos objetos do sentido. No restante da presente preleção, eu desejo formular e explicar o problema do infinito, mostrar como ele surge e mostrar a irrelevância de todas as soluções propostas pelos filósofos. Na preleção seguinte, eu tentarei explicar a verdadeira solução, a qual foi descoberta por matemáticos, mas que, mesmo assim, pertence essencialmente [160]à filosofia. A solução é definitiva, no sentido de que ele satisfaz inteiramente e convence todos que a estudam cuidadosamente. Por mais de dois mil anos o intelecto humano esteve confundido pelo problema; as suas múltiplas falhas e o seu último sucesso tornam esse problema perculiarmente apto para a ilustração do método.

O problema parece ter primeiro surgido de alguma maneira como a seguinte.¹ Pitágoras e os seus seguidores, quem estavam interessados, como Descartes, na aplicação do número à geometria, adotaram nessa ciência métodos mais aritméticos do que aqueles com os quais Euclides nos fez familiares. Eles, ou os seus contemporâneos atomistas, aparentemente acreditavam que o espaço é composto de pontos indivísiveis, enquanto que o tempo é composto de instantes indivísiveis.² Por si mesma, essa crença não teria levantado as dificuldades que eles encontraram, mas, presumivelmente, ela era acompanhada por outra crença, de que o número de pontos em qualquer área finita, ou de instantes em qualquer período finito, tem de ser finito. Eu não suponho que essa segunda crença fosse algo consciente, porque, provavelmente, nenhuma outra possibilidade tinha lhes ocorrido. Mas, mesmo assim, a crença operou e, muito em breve, trouxe-os em conflito com os fatos que eles mesmos descobriram. Contudo, antes de explicar como isso ocorreu é necessário dizer uma palavra em explicação da frase “número finito.” A explicação exata é uma questão para a nossa próxima preleção; pelo presente, deve ser suficiente que eu quero dizer 0 e 1 e 2 e 3 e assim por diante, para sempre – em outras palavras, qualquer número que possa ser obtido através de [161]sucessivamente se adicionarem ums. Isso inclui todos os números que possam ser expressos através dos nossos números ordinários, e, uma vez que tais números podem ser feitos maiores e maiores, sem nunca se alcançar um máximo insuperável, é fácil supor que não há outros números. Mas essa suposição, natural como ela é, está equivocada.

Se os pitagóricos mesmos acreditavam que espaço e tempo fossem compostos de pontos e instantes indivisíveis, isso é uma questão discutível.³ Pareceria que a distinção entre espaço e matéria ainda não tinha sido claramente feita, e, portanto, quando uma visão atomística é expressa, é difícil decidir se se quis dizer partículas de matéria ou pontos de espaço. Há uma passagem⁴ interessante na Physics⁵ de Aristóteles, onde ele diz:

“Todos os pitagóricos sustentavam a existência do vazio (void), e diziam que ele entra no céu mesmo, a partir do fólego sem limites (boundless breath), na medida que o céu também respira (breaths) no vazio; e o vazio diferencia as naturezas, como [162]se fosse um tipo de separação de consecutivos, e como fosse a diferenciação delas; e que também é isso o que está nós números, pois é o vazio que os diferencia.”

Isso parece implicar que eles consideravam a matéria como consistindo em átomos com espaço vazio entre eles. Mas se assim, eles devem ter pensado que o espaço poderia ser estudado apenas prestando atenção aos átomos, pois, de outra maneira, seria difícil explicar os seus métodos aritméticos em geometria, ou a afirmação deles de que “as coisas são números.”

A dificuldade que assedia os pitagóricos em suas tentativas de aplicar os números surgiu através de sua descoberta dos incomensuráveis, e essa, por sua vez, surgiu como se segue. Pitágoras, como todos nós aprendemos na juventude, descobriu a proposição de que a soma dos quadrados dos lados de um triângulo retângulo (right-angled triangle) é igual ao quadrado da hipotenusa. É dito que ele sacrificou um boi (ox) quando ele descobriu o teorema; se for assim, o boi foi o primeiro mártir para a ciência. Mas o teorema, embora ele permanecesse sua principal reivindicação para a imortalidade, logo foi descoberto ter uma consequência fatal para sua inteira filosofia. Considere um triângulo retângulo cujos dois lados sejam iguais, tais como um triângulo que seja formado pelos dois lados de um quadrado e uma diagonal. Aqui, em virtude do teorema, o quadrado da diagonal é o dobro do quadrado de cada um dos lados. Mas Pitágoras ou seus primeiros seguidores facilmente provaram que o quadrado de um número inteiro não pode ser o dobro do quadrado de outro.⁶ [163]Dessa forma, o comprimento do lado e o comprimento da diagonal são incomensuráveis; quer dizer, por mais que seja pequena a unidade de comprimento que você tome, se ela está contida em um número exato de vezes no lado, ela não está contida em nenhum número exato de vezes na diagonal, e vice-versa.

Agora, esse fato poderia ter sido assimilado por algumas filosofias sem nenhuma grande dificuldade, mas, para a filosofia de Pitagóras, ele foi absolutamente fatal. Pitágoras sustentava que o número é a essência constitutiva de todas as coisas, contudo, nenhum par de números poderia expressar a razão do lado de um quadrado para a diagonal. Pareceria provável que nós podéssemos expandir essa dificuladade, sem nos afastarmos do pensamento dele, assumindo que ele considerava o comprimento de uma linha como determinado pelo número de átomos contido nela – uma linha de comprimento de duas polegadas (two inches) conteria tantos átomos quanto o dobro de uma linha de uma polegada de comprimento, e assim por diante. Mas se isso fosse verdadeiro, então tem de haver uma razão numérica definida entre quaisquer dois comprimentos finitos, porque foi suposto que o número de átomos em cada um, por mais que grande, tem de ser finito. Aqui está uma contradição insolúvel. É dito que os pitagóricos resolveram manter a existência dos incomensuráveis um segredo profundo, revelado apenas a uns poucos dos líderes supremos da seita; e um dos números deles, Hipaso do Metaponto, é dito ter sido naufragado no mar por impiedosamente revelar a descoberta terrível aos seus inimigos. Precisa ser lembrado que Pitágoras foi o fundador de uma nova religião assim como o professor de uma nova ciência: se a ciência chegasse a ser duvidada, os discípulos poderiam cair em pecado, e, talvez, até comer feijões, o que, de acordo com Pitágoras, é tão ruim quando comer os ossos dos pais.

[164]O problema primeiro levantado pela descoberta dos incomensuráveis provou-se, conforme o tempo passava, ser um problema dos mais severos e, ao mesmo tempo, um dos problemas de mais lango alcance que confrontou o intelecto humano em seu empreendimento de entender o mundo. Ele revelou de uma vez só que mensurações numéricas de comprimentos, se deviam ser tornadas precisas, deviam requerer uma aritmética mais avançada e mais difícil do que qualquer uma que os antigos possuiam. Portanto, eles começaram a trabalhar para reconstruir a geometria sobre uma base que não assumisse a possibilidade universal de mensuração aritmética - uma reconstrução que, como pode ser visto em Euclides, eles efetuaram com habilidade extraordinária e grande perspicácia (acumen) lógica. Os modernos, sob a influência da geomtria cartesiana, reafirmaram a possibilidade universal de mensuração numérica, extendendo a aritmética, parcialmente para esse propósito, de modo a incluir o que são chamados de números “irracionais,” os quais fornecem as razões de comprimentos incomensuráveis. Mas, embora números irracionais tenham sido usados há muito tempo sem escrúpulos, foi apenas em anos bastante recentes que definições logicamente satisfatórias deles têm sido dadas. Com essas definições, a primeira e mais óbvia forma da dificuldade que confrontou os pitagóricos foi resolvida; mas outras formas da dificuldade permanecem para ser consideradas, e são essas que nos introduzem ao problema da infinidade em sua forma pura.

Nós vimos que, aceitando a visão de que um comprimento (length) é composto de pontos, a existência dos incomensuráveis prova que todo comprimento finito deve conter um número infnito de pontos. Em outras palavras, se nós devêssemos retirar pontos um por um, nós nunca deveríamos retirar todos os pontos, por mais que longamente nós continuássemos o processo. Portanto, o número de pontos não pode ser contado, pois a contagem (counting) é um processo que enumera coisas uma por uma. A [165]propriedade de ser incapaz de ser contada, é característidas de coleções infintas, e é uma fonte de muitas de suas qualidades paradoxais. Tão paradoxais são essas qualdiades que, até os nossos dias, elas eram consideradas constituírem contradições lógicas. Uma longa linhagem de filósofos, desde Zenão⁷ até M. Bergson, tem baseado muito de sua metafísica sobre a suposta impossibilidade de coleções infintas. Falando amplamente, as dificuldades foram formuladas por Zenão, e nenhum material foi adicionado até que nós alcançassemos Paradoxien des Unendlichen, de Bolzano, uma pequena obra escrita em 1847-8, e publicada postumamente em 1851. Tentativas intermediárias para lidar com o problema são futéis e neglienciáveis. A solução definitiva das dificuldades é devida não a Bolzano, mas a Georg Cantor, cuja obra sobre esse tema primeiro apareceu em 1882.

Para entendermos Zenão, e para compreendermos quão pouco a moderna metafísica ortodoxa acrescentou às realizações dos gregos, nós precisamos considerar por um momento o mestre dele, Parmênides, no interesse do qual os paradoxos foram inventados.⁸ Parmênides expôs suas visões em um poema dividido em duas partes, chamadas de “a via da verdade” e “a via da opinião” – como a “Aparência” e a “Realidade” do Sr. Bradley, exceto que Parmênides nos conta primeiro sobre a realidade e, em seguida, sobre a aparência. “A via da opinião,” na filosofia dele, é, amplamente falando, o pitagorismo; ela começa com um aviso: “Aqui eu devo encerrar meu discurso e pensamento dignos de confiança sobre a verdade. Doravante aprender as opiniões dos mortais, dando ouvidos à ordenação enganosa de minhas palavras.” O que se passou antes foi revelado por uma deusa, quem lhe contou o que [166]realmente é. A realidade, ela diz, é incriada, indestrutível, imutável, indivisível; ela é “imóvel nos elos de correntes poderosas, sem começo e sem fim; uma vez que o vir a ser (coming into being) e o deixar de ser (passing away) foram expulsos e crença verdadeira descartou-os.” O princípio fundamental de sua investigção é afirmado em uma sentença que não estaria fora de lugar em Hegel:⁹ “Tu não podes conhecer o que não é – isso é impossível – nem o proferir; pois é a mesma coisa que pode ser pensada e que pode ser.” E novamente: “Tem de ser que o que pode ser pensado e falado seja; pois é possível para ele ser, e não é possível para que é nada ser.” A impossibilidade de mudança segue-se a partir desse princípio; pois o que é passado pode ser falado e, portanto, pelo princípio, ainda é.

Dessa forma, a grande concepção de uma realidade por trás das ilusões passageiras do sentido, uma realidade, una, indivisível e imutável, foi introduzida na filosofia ocidental por Parmênides, não, pareceria, por razões místicas ou religiosas, mas sobre a base de um argumento lógico quanto à impossibilidade do não ser. Todos os grandes sistemas metafísicos – notavelmente aqueles de Platão, Spinoza e Hegel – são o resultado dessa ideia fundamental. É difícil desembaraçar a verdade do erro nessa visão. A controvérsia de que o tempo é irreal e que o mundo do sentido é ilusório, eu penso, deve ser considerada como baseada em raciocínio falacioso. Mesmo assim, há algum sentido – mais fácil de dizer do que formular – no qual o tempo é uma característica sem importância e superficial da realidade. Passado e futuro têm de ser reconhecidos serem tão reais quanto o presente, e uma certa emancipação a partir da escravidão do tempo é essencial para o pensamento filosófico. A importância do [167]tempo é antes prática do que teórica, antes em relação aos nossos desejos do que em relação à verdade. Uma imagem mais verdadeira do mundo, eu penso, é obtida ao representar as coisas como entrando no fluxo do tempo a partir de um eterno mundo exterior do que a partir uma visão que considera o tempo como tirano devorador de tudo o que é. Tanto no pensamento quanto no sentimento, compreender a insignificância do tempo é o portão da sabedoria. Mas insignificância não é irrealidade; e, portanto, o que nós devemos ter a dizer sobre os argumentos de Zenão em suporte a Parmênides tem de ser principalmente crítico.

A relação de Zenão com Parmênides é explicada por Platão¹⁰ no diálogo no qual Socrátes, como um jovem, aprende a perspicácia (acumen) lógica e desinteressabilidade filosófica a partir da dialética dele. Eu cito a partir da tradução Jowett:

“Eu vejo, Parmênides, disse Socrátes, que Zenão é o seu segundo eu também nos escritos dele; ele coloca de outra maneira o que você diz, e satisfaser-se-ia em nos enganar para acreditarmos que você está contando-nos o que é novo. Pois você, em seus poemas, diz que Tudo é um (All is one), e disso você aduz provas excelentes; e ele, por outro lado, diz que Não há muitos (There is no many); e, em nome disso, ele oferece evidência irresistível. Enganar o mundo, como vocês têm feito dizendo a mesma coisa de maneiras diferentes, um de vocês afirmando o um (the one), e o outro negando os muitos (the many), é um esforço de arte além do alcance da maioria de nós.”

“Sim, Socrátes, disse Zenão. Mas, embora você seja tão perspicaz quanto um cão de caça espartando na perseguição do rastro, você não apreende bem o verdadeiro motivo da composição, o qual não é um trabalho tão ambicioso como você imagina; pois você fala do que foi um acidente; eu não tive nenhuma intenção séria de enganar o mundo. A verdade [168]é que esses meus escritos foram projetados para protegerem os argumentos de Parmênides contra aquele quem zombam dele e para revelarem os muitos resultados ridículos e contraditórios que eles supõem se segurirem a partir da afirmação do um. A minha resposta é um discurso aos partidários dos muitos, cujo ataque eu retorno com juros replicando a eles que a hipotése deles do ser (being) dos muitos, se levada a cabo aparece sob uma luz ainda mais ridícula do que a hipótese do ser (being) do um.”

Os quatro argumentos de Zenão contra o movimento foram projetados para exibirem as contradições que resultam a partir da suposição de que existe uma tal coisa como a mudança, e, dessa forma, para suportarem a doutrina parmenediana de que a realidade é imutável.¹¹ Infelizmente, nós apenas conhecemos os argumentos dele através de Aristóteles,¹² quem os formulou para os refutar. Aqueles filósofos que, nos dias presentes, tiveram suas doutrinas formuladas por oponentes compreenderão que uma apresentação justa ou adequada da posição de Zenão dificilmente deve ser esperada de Aristóteles; mas através de algum cuidado na interpretação parece possível reconstruir os assim chamados de “sofismas” que têm sido “refutados” por cada principiante (tyro) desde aquela época até esta.

Os argumentos de Zenão pareceriam ser “ad hominem”; quer dizer, eles parecem assumir premissas concedidas por seus oponentes e mostrar que, concedendo essas premissas, é possível deduzir consequências que seus oponentes têm de negar. Para decidir se eles são argumentos válidos ou “sofismas,” é necessário advinhar as premissas tácitas, e decidir quem era o “homo” quem eles tinham como alvo. Alguns sustentam que eles [169]tinham como alvo os pitagóricos,¹³ enquanto outros sustentaram que eles pretendiam refutar os atomistas.¹⁴ M. Evellin, pelo contrário, sustenta que eles constituem uma refutação da divisibilidade infinita,¹⁵ enquanto que M. G. Noël, nos interesses de Hegel, sustenta que os dois primeiros argumentos refutam a divisibilidade infinita, enquanto que os dois seguintes refutam os indivísiveis.¹⁶ Em meio a uma variedade tão desconcertante de interpretação, nós podemos, pelo menos, não reclamar de nenhuma restrição à nossa liberdade de escolha.

As questões históricas levantadas pelas discussões acima mencionadas, sem dúvida, são largamente insolúveis, devido ao material muito escasso a partir do qual a nossa evidência é derivada. Os pontos que parecem relativamente claros são os seguintes: (1) Que, a despeito de MM. Milhaud e Paul Tannery, Zenão está ansioso para provar que o movimento é realmente impossível, e que ele deseja provar isso porque ele segue Parmênides na negação da pluralidade;¹⁷ (2) que o terceiro e quarto argumentos prosseguem sobre a hipótese dos indivisíveis, uma hipótese que, se adotada ou não pelos pitagóricos, foi certamente muito defendida, como pode ser vista a partir do tratado On Indivisible Lines, atribuído a Aristóteles. Com respeito aos dois primeiros argumentos, eles pareceriam ser válidos sobre a hipótese dos indivisíveis, e, também, sem essa hipótrese, para serem tais como [170]seriam válidos se as contradições tradicionais nos números infinitos fossem insolúveis, o que elas não são.

Portanto, nós podemos concluir que a polêmica de Zenão está dirigida contra a visão de que espaço e tempo consistem em pontos e instantes; e que, como contra a visão de que uma extensão (stretch) finita de espaço ou tempo consiste em um número finito de pontos e instantes, os argumentos dele não são sofismas, mas perfeitamente válidos.

A conclusão que Zenão deseja que nós extraímos é que a pluralidade é uma ilusão, e espaços e tempos são realmente indivisíveis. A outra conclusão que é possível, a saber, que o número de pontos e instantes é infinito, não era mais defensável enquanto o infinito estivesse infectado com contradições. Em um fragmento, o qual não é um dos quatro famosos argumentos contra o movimento, Zenão diz:

“Se as coisas são muitas, elas têm de ser exatamente tantas quanto elas são, e nem mais nem menos. Agora, se elas são tantas quanto elas são, elas serão finitas em número.

Se as coisas são muitas, elas serão infinitas em número; pois sempre haverá outras coisas entre elas, e ainda outras entre essas. E, dessa forma, as coisas são infinitas em número.”¹⁸

Esse argumento tenta provar que, se há muitas coisas, o número delas tem de ser tanto finito quanto infinito, o que é impossível; consequentemente, nós devemos concluir que há apenas uma coisa. Mas o ponto fraco no argumento é a frase: “Se elas são extamente tantas quanto elas são, elas serão finitas em número.” Essa frase não é muito clara, mas é evidente que ela assume a impossibilidade de números infinitos definidos. Sem essa suposição, a qual agora é conhecida ser falsa, os argumentos de Zenão, embora elas sejam suficientes (sobre certas suposições muito razoáveis) para afastar a hipótese dos indivisíveis [171]finitos, não são suficientes para provar que movimento e mudança e pluralidade são impossíveis. Contudo, elas não são, em nenhuma visão, meras sofismas tolos (foolish quibbles): elas são argumentos sérios, levantando dificuldades que requereram dois mil anos para serem respondidas, e que, mesmo agora, são fatais para os ensinamentos da maior parte dos filósofos.

O primeiro argumento de Zenão é o argumento da pista de corrida (race-course), o qual é parafraseado por Burnet como se segue:¹⁹

“Você não pode chegar ao fim de uma pista de corrida. Você não pode atravessar um número infinito de pontos em um tempo finito. Você tem de atravessar a metade de qualquer distância dada antes que você atravesse o todo, e, novamente, a metade dessa, antes que você possa atravessá-la. Isso prossegue ad infinitum, de maneira que há um número infinito de pontos em qualquer espaço dado, e você não pode tocar um número infinito um por um em um tempo finito.”²⁰

Em primeiro lugar, aqui Zenão apela para o fato de que [172]qualquer distância, por mais que pequena, pode ser dividido ao meio (halved). É claro, a partir disso segue-se que tem de haver um número infinito de pontos em uma linha. Mas, Aristóteles representa ele argumentando, você não pode tocar um número infinito de pontos um por um (one by one) em um tempo finito. As palavras “um por um” são importantes. (1) Se todos os pontos tocados são considerados (concerned), então, embora você passe através deles continuamente, você não os toca “um por um.” Quer dizer, após tocar um, não há outro no qual você toque em seguida: dois pointos não estão próximos um a outro, mas, entre quaisquer dois, sempre haverá um número infinito de outros, o qual não pode ser enumerado um por um. (2) por outro lado, se apenas os pontos médios sucessivos são considerados, obtidos por sempre dividir ao meio o que resta do curso, então os pontos são alcançados um por um e, embora eles sejam infinitos em número, de fato, eles são alcançados em um tempo finitos. Os argumentos dele em favor do contrário podem ser supostos apelarem para a visão de que um tempo finito precisa consistir em um número finito de instantes, caso no qual o que ele diz seria perfeitamente verdadeiro sobre a suposição de que a possibildiade de dicotomia contínua seja inegável. Por outro lado, se nós supormos o argumento dirigido contra os partidários da divisibilidade infinita, nós temos de supó-lo como se segue:²¹ “Os pontos dados pela divisão ao meio sucessiva das distâncias ainda para serem atravessadas são infinitos em número, e são alcançados em sucessão, cada um sendo alcançado em tempo finito posterior àquele do seu antecessor; mas a soma de um número infinito de tempos finitos tem de ser infinita, e, portanto, o processo nunca será completado.” É muito possível que, historicamente, essa seja a interpretação correta, mas, nessa forma, o argumento é inválido. Se metade do curso toma metade de um minuto, e o próximo quarto [173]toma um quarto de um minuto, e assim por diante, o curso todo tomará um minuto. Nessa interpretação, a força aparente do argumento jaz unicamente na suposição equívocada de que não pode haver nada além do todo de uma série infinita, o que não pode ser visto ser falso observando que 1 está além do todo da série infinita ½, ¾, 7/8, 15/16, …

O segundo argumento de Zenão é aquele relativo a Aquiles e a tartaruga, o qual alcançou mais notoriedade do que os outros. Ele é parafraseado por Burnet como se segue:²²

“Aquile nunca ultrapassará a tartaruga. Ele precisa primeiro alcançar o lugar de onde a tartaruga partiu. Por essa altura, a tartaruga terá alcançado alguma distância adiante. Então, Aquiles tem de compensar isso, e, novamente, a tartaruga está adiante. Ele está sempre chegando mais perto, mas ele nunca comensa [a distância].”²³

Esse argumento é essencialmente o mesmo que o anterior. Ele mostra que, se Aquiles alguma vez ultrapassa a tartaruga, terá de ser após um número infinito de instantes terem decorrido desde que ele partiu. Isso é verdadeiro; mas a visão quee um número infinito de instantes constituem um tempo infinitamente longo não é verdadeira, e, portanto, a conclusão de que Aquiles nunca ultrapassará a tarturaga não se segue.

O terceiro argumento,²⁴ aquele da flecha, é muito interessante. O texto tem sido questionado. Burnet aceita as alterações de Zeller e parafraseia desta maneira:

“A flecha no voo está em repouso. Pois, se tudo está em [174]respouso enquanto ocupa um espaço igual a si mesmo, e o que está em voo, em qualquer momento dado, sempre ocupa um espaço igual a si mesmo, não pode se mover.”

Mas de acordo com Prantl, a tradução literal do texto não emendado da formulação de Aristóteles do argumento é como se segue: “Se cada coisa, quando ela está se comportando de uma maneira uniforme, está continuamente ou se movendo ou em repouso, mas o que está se movendo está sempre no agora, portanto a flecha movente está imóvel (motionless).” Essa forma do argumento evoca a sua força muito mais claramente do que a paráfrase de Burnet.

Aqui, se não nos dois primeiros argumentos, a visão de que uma parte finita de tempo consiste em uma série finita de instantes sucessivos parece ser assumida; de qualquer maneira, a plausibilidade do argumento parece depender da suposição de que há instantes sucessivos. Do começo ao fim de um instante, é dito, um corpo movente está onde ele está: ele não pode se mover durante o instante, pois isso requereria que o instante tivesse partes. Dessa forma, suponha que nós consideremos um período consistindo de mil instantes, e suponha que a flecha está em voo do começo ao fim desse período. Em cada um dos mil instantes, a flecha está onde ela está, embora, no instante seguinte, ela esteja em outro lugar. Ela nunca está se movendo, mas, de alguma maneira miraculosa, a mudança de posição tem de ocorrer entre os instantes, quer dizer, não em nenhum momento que seja. Isso é o que M. Bergson chama de representação cinematográfica da realidade. Quanto mais a dificuldade for meditada, mais real ela se torna. A solução jaz na teoria da série contínua: nós consideramos difícil supor que, quando a flecha está em voo, há uma posição seguinte ocupada no momento seguinte; mas, de fato, não há nenhuma posição seguinte e nenhum momento seguinte, e, quando uma vez que isso seja imaginativamente compreendido, a dificuldade é vista desaparecer.

[175]O quarto e último dos argumentos de Zenão é²⁵ o argumento do estádio.

O argumento, como formulado por Burnet, é como se segue:

“Metade do tempo pode ser igual ao dobro do tempo. Suponhamos que três fileiras de corpos, um dos quais (A) está em repouso, enquanto os outros dois (B, C) estão movendo-se com velocidade igual em direções opostas. Pelo momento em que todos eles estão na mesma parte do curso, B terá passado o dobro de corpos em C do que em A. Portanto, o tempo que ele leva para passar C é duas vezes tão longo quanto o tempo que ele leva para passar A. Mas o tempo que B e C levam para alcançar a posição de A é o mesmo. Portanto, o dobro do tempo é igual à metade.”

Gaye²⁶ dedicou um interessante artigo à interpretação desse argumento. A sua tradução da formulação de Aristóteles é como se segue:

“O quarto argumento é aquele relativo às duas fileiras de corpos, cada fileira sendo composta de um número igual de corpos de igual tamanho, passando cada um em uma pista de corrida enquanto eles prosseguiam com velocidade igual em direções opostas; uma fileira originalmente ocupando o espaço entre o objetivo (goal) e o ponto médio do curso, e a outra aquele entre o ponto médio e o ponto de partida (stating-point). Isso, ele pensa, envolve a conclusão de que metade um dado tempo é igual ao dobro do tempo. A falácia do raciocínio jaz na suposição de que um corpo ocupa um tempo igual ao passar com velocidade igual por um corpo que está em movimento e um corpo de tamanho igual que está em repouso, uma [176]suposição que é falsa. Por exemplo (assim segue o argumento), sejam A A … os corpos estacionários de tamanho igual B B … os corpos, iguais em número e em tamanho a A A …, originalmente ocupando a metade do curso a parte do ponto de partida para o meio dos A’s, e C C … aqueles originalmente ocupando a outra metade a partir do objetivo para o meio dos A’s, iguais em número, tamanho e velocidade, a B B … Então três consequências seguem-se. Primeira, conforme os B’s e C’s passam uns pelos outros, o primeiro B alcança o último C no mesmo momento em que o primeiro C alcança o último B. Segunda, nesse momento o primeiro C passou por todos os A’s, ao passo que o primeiro B passou por apenas metade dos A’s e, consequentemente, ocupou apenas metade do tempo ocupado pelo primeiro C, uma vez que cada um dos dois ocupa um tempo igual ao passar por cada A. Terceira, no mesmo momento todos os B’s passaram por todos C’s: pois o primeiro C e o primeiro B alcançarão simultaneamente os fins opostos do curso, uma que (assim diz Zenão) o tempo ocupado pelo primeiro C ao passar por cada um dos B é igual àquele ocupado por ele ao passar por cada um dos A’s porque um tempo igual é ocupado tanto pelo primeiro C quanto pelo primeiro C ao passar por todos os A’s. Esse é o argumento: mas ele supõe a suposição falaciosa acima mencionada.”

Esse argumento não é muito fácil de seguir, e é apenas é válido como contra a suposição de que um tempo finito consiste em um número finito de instantes. Nós podemos reformulá-lo em linguagem diferente. Suponhamos três instrutores militares (drill-seargeants), A, A’, A’’, de pé em uma fileira, enquanto as duas filas de soldados marcham além deles em direções opostas. No primeiro momento que nós [177]consideramos, os três homens B, B’, B’’ em uma fileira, e os três homens C, C’, C’’ na outra fileira, estão respectivamente opostos a A, A’ e A’’. No momento exatamente seguinte, cada fileira se moveu, e agora B e C’’ estão opostos a A’. Dessa forma B e C’’ são opostos um ao outro. Então, quando B passa por C’? Deve ter sido em algum lugar entre os dois momentos que se supõem consecutivos, e, portanto, os dois momentos não podem realmente ter sido consecutivos. Segue-se que devem haver outros momentos entre quaisquer outros dois momentos dados, e, portanto, tem de haver um número infinito de momentos em qualquer intervalo dado de tempo.

A dificuldade acima, de que B tem de ter passado por C’ em algum tempo entre dois momentos consecutivos, é genuína, mas não é precisamente a dificuldade levantada por Zenão. O que Zenão professa provar é que “metade de um dado tempo é igual ao dobro desse tempo.” A explicação mais inteligível do argumento conhecida por mim é aquela de Gaye.²⁷ Contudo, uma vez que a explicação dele não é fácil de formular em resumo, eu reformularei o que me parece ser a essência lógica da controvérsia de Zenão. Se nós supusermos que o tempo consiste em uma série de instantes consecutivos, e que o movimento consiste em passar através de uma série de pontos consecutivos, então o mais rápido movimento possível é um que, a cada instante, está em um ponto consecutivo àquele na qual ele estava no instante anterior. Qualquer movimento mais lento tem de ser um que tenha intervalos de repouso intercalados, e qualquer movimento mais rápido tem de omitir inteiramente alguns pontos. Tudo isso é evidente a partir do fato de que nós não podemos ter mais do que um evento para cada instante. Mas agora, no caso de nossos A’s e B’s e C’s, B é oposto a um novo A a cada instante e, portanto, o número de A’s passados dá o número de instantes desde o começo do movimento. Mas durante o movimento B passou pelo dobro de [178]C’s e, todavia, não pode ter passado por mais do que um a cada instante. Consequentemente, o número de instantes desde que o movimento começou é duas vezes o número de A’s passados, embora nós anteriormente o consideremos igual a esse número. A conclusão de Zenão seque-se a partir desse resultado.

De alguma forma, os argumentos de Zenão proporcionaram fundamentos para quase todas as teorias do espaço e tempo e infinidade que foram construídas desde o seu dia até o nosso. Nós vimos que todos os argumentos dele são válidos (com certas hipóteses razoáveis) sobre a suposição de que espaços e tempos finitos consistem em um número finito de pontos e instantes, e que o terceiro e o quarto, de fato, quase certamente prosseguiram sobre essa suposição, enquanto que o primeiro e o segundo, os quais talvez fossem pretendidos para refutar a suposição oposta, foram, nesse caso, faláciosos. Portanto, nós podemos escapar desse paradoxo ou sustentando que, embora espaço e tempo consistam em pontos e instantes, o número deles em qualquer finito é infinito, ou negando que espaço e tempo consistam em pontos e instantes de qualquer maneira; ou por último, negando completamente a realidade de espaço e tempo. Pareceria que Zenão mesmo, como um apoiador de Parmênides, extraiu a última dessas três possíveis deduções, com respeito ao tempo, de qualquer maneira. Nisso, um número muito grande de filósofos seguiram-no. Muitos outros, como M. Bergson, preferiram negar que espaço e tempo consistam em pontos e instantes. Qualquer uma dessas soluções encontrará as dificuldades na forma na qual Zenão as levantou. Mas, como nós vimos, as dificuldades também podem ser encontradas se números infinitos são admissíveis. E sobre os fundamentos de que são independentes de espaço e tempo, os números infinitos, e as séries nas quais nenhum par de termos são consecuticos, devem, em qualquer caso, ser admitidas. Por exemplo, considere todas as frações menores do que 1, arranjadas em ordem de magnitude. [179]Entre quaisquer duas delas, há outras, por exemplo, a média aritmética do dois. Dessa forma, nenhum par de funções é consecutivo, e o número total delas é infinito. Será descoberto que muito do que Zenão diz com respeito às séries de pontos sobre uma linha pode igualmente ser bem aplicado às séries de frações. E nós não podemos negar que há frações, de mdo que duas das maneiras acima de escapar estão fechadas para nós. Segue-se que, se nós devemos resolver a inteira classe de dificuldades deriváveis a partir de Zenão, por analogia, nós temos de descobrir alguma teoria defensável dos números infinitos. Portanto, quais são as dificuldades que, até os últimos trinta anos, conduziram os filosófos á crença de que números infinitos são impossíveis?

As dificuldades do infinito são de dois tipos, dos quais o primeiro pode ser chamado de logro (sham), enquanto que os outros envolvem, para sua solução, uma certa quantidade de pensamento novo e não completamente fácil. As dificuldades de logro são aquelas sugeridas pela etimologia, e aquelas sugeridas pela confusão do infinito matemático com o que os filósofos impertinentemente chamam de o “verdadeiro” infinito. Etimologicamente, “infinito” deveria significar “não tendo nenhum fim (having no end).” Mas, de fato, algumas séries infinitas têm fins, algumas não têm; enquanto algumas coleções são infinitas sem serem seriais, e portanto, não podem propriamente serem consideradas ou sem fim (endless) ou tendo fim (having ends). A série dos instantes, desde qualquer um anterior a qualquer um posterior (ambos inclusos) é infinita, mas tem dois fins; a série dos instantes, desde o começo do tempo até o momento presente tem um fim, mas é infinita. Kant, em sua primeira antinomia, parece ter sustentado que é mais difícil para o passado ser infinito do que para o futuro sê-lo, sobre o fundamento de que o passado está agora completo e que nada infinito pode ser completo. É muito difícil ver como ele pode ter imaginado que há qualquer sentido nessa observação; mas parece mais provável que ele estava [180]pensando no infinito como o “sem fim (unended).” É estranho que ele não tenha percebido que o futuro também tem um fim no presente, e está, precisamente, em um nível com o passado. A sua consideração dos dois como diferentes nesse aspecto ilustra exatamente aquele tipo de escravidão ao tempo que, como nós concordamos ao falar de Parmênides, o verdadeiro filósofo tem de aprender a deixar para trás.

As confusões introduzidas dentro das noções de filósofos pelo assim chamado de “verdadeiro” inifnito são curiosas. Eles veem que essa noção não é a mesma que o infinito matemático, mas eles escolhem acreditar que ela é a noção que os matemáticos estão tentando, em vão, alcançar. Portanto, eles informam aos matemáticos, gentilmente, mas firmemente, que eles estão equívocados em aderirem ao “falso” infinito, uma vez que, evidentemente, o “verdadeiro” infinito é alguma coisa bastante diferente. A resposta para isso é que o que eles chamam de o “verdadeiro” infinito é uma noção totalmente irrelevante para o problema do infinito matemático, com o qual ela tem apenas uma analogia fantasiosa e verbal. Tão remota ela é que eu não proponho confundir a questão ao mesmo mencionar o que o “verdadeiro” infinito é. É o falso infinito que nos interessa, e nós temos de mostrar que o epíteto “falso” é imerecido.

Contudo, há certas dificuldades genuínas no entendimento do infinito, certos hábitos da mente derivados a partir da consideração dos números finitos e facilmente extensíveis para os números infinitos sobre a noção errada de que eles representam necessidades lógicas. Por exemplo, todo número com o qual nós estamos acostumados, exceto o 0, tem outro número imediatamente antes dele, a partir do qual ele resulta através da adição de 1; mas o primeiro número infinito não tem essa propriedade. Os números anteriores a ele formam uma série infinita, contendo todos os números finitos ordinários, não tendo máximo, nem último, número finito, após o qual, [181]um pequeno passo mergulhar-nos-ia no infinito. Se se supõe que o primeiro número infinito seja alcançado através de uma sucessão de pequenos passos, é fácil mostrar que ele é autocontraditório. De fato, o primeiro número infinito está além da inteira série sem fim (unending) de números finitos. “Mas,” será dito, “não pode haver nada além do todo de uma série sem fim.” Nós podemos assinalar que esse é o princípio mesmo do qual Zenão depende nos argumentos da pista de corrida e do Aquiles. Tome-se o da pista de corrida: há o momento quando o corredor ainda tem metade da sua distância para correr; em seguida, o momento quando ele ainda tem um quarto; em seguida, quando ele ainda tem um oitavo; e assim por diante, em uma série estritamente sem fim. Além do todo dessa série está o momento quando ele alcança o objetivo. Dessa forma, certamente, pode haver alguma coisa além do todo de uma série sem fim. Mas resta para mostrar que esse fato é o único que poderia ter sido esperado.

A dificuldade, como a maior parte das dificuldades mais vagas assediando o infinito matemático, é derivada, eu penso, a partir da operação mais ou menos inconsciente da ideia de contagem. Se você começa a trabalhar em contar os termos em uma coleção infinita, você nunca completará a sua tarefa. Dessa forma, no caso do corredor, se metade, três quartos, sete oitavos, e assim por diante do curso fossem marcadas, e o corredor não fosse admitido passar por nenhuma das marcas até que o árbitro dissesse “Agora,” então a conclusão de Zenão seria verdadeira na prática, e ele nunca alcançaria o objetivo.

Mas isso não é essencial para a existência de uma coleção, ou mesmo para o conhecimento e raciocínio relativos a ela, que nós devamos ser capazes de passar em revista os seus termos um por um. Isso pode ser visto no caso das coleções finitas; nós podemos falar de “gênero humano (humankind)” ou “a raça humana (the human race),” embora muitos dos indivíduos nessa coleção não são pessoalmente [182]conhecidas por nós. Nós podemos fazer isso porque nós conhecemos várias características que cada indivíduo tem se ele pertence à coleção, e não se ele não pertence. E exatamente o mesmo acontece no caso de coleções infinitas: elas podem ser conhecidas pelas características, embora os termos dela não possam ser enumerados. Nesse sentido, mesmo assim, uma série pode formar um todo, e pode haver novos termos além do todo dele.

Algumas peculiaridades puramente aritméticas dos números infinitos também têm causado perplexidade. Por exemplo, um número infinito não é aumentado pela adição de um a ele, ou dobrando-o. Tais peculiaridades têm parecido a muitos contradizerem a lógica, mas, de fato, elas apenas contradizem hábitos mentais inveterados. A dificuldade inteira do tema jaz na necessidade de pensar em uma maneira não familiar, e em compreender que muitas propriedades que nós temos considerados inerentes ao número, de fato, são peculiares aos números finitos. Se isso for lembrado, a teoria positiva do infinito, a qual ocupará a próxima preleção, não será considerada tão difícil como ela é para aqueles que se apegam obstinadamente aos prejuízos instilados pela aritmética que foi aprendida na infância.

Próxima preleção

ORIGINAL:

RUSSELL, B. Our Knowledge of the External World as a Field for Scientific Method in Philosophy. Chicago and London: The Open Court Publishing Company, 1915. pp.155-182. Disponível em: <https://archive.org/details/ourknowledgeofex00inruss/page/155/mode/1up>

TRADUÇÃO:

EderNB do Blog Mathesis

Licença: CC BY-NC-SA 4.0

1 [160]No que diz respeito aos primeiros filósofos gregos, o meu conhecimento é derivado principalmente da valiosa obra de Burnet, Early Greek Philosophy (2ª ed., Londres, 1908). Eu também fui bastante auxiliado pelo Sr. D.S. Roberton do Trinity College, quem supriu as deficiências do meu conhecimento de grego e trouxe referências importanes a minha atenção.

2 Cf. Aristóteles, Metaphysics, M. 6, 1080b, 18 sqq. e 1083b, 8 sqq.

3 [161]Há alguma razão para pensar que os pitagóricos distinguiram quantidade discreta de contínua. G. K. Allman, diz, em seu Greek Geometry from Thales to Euclid (p.23): “Os pitagóricos fizeram uma divisão quádrupla da ciência matemática, atribuindo uma de suas partes a os quantos (the how many), τὸ πόσον, e a outra a o quanto (the how much), τὸ πηλίκον; e eles atribuíram a cada uma dessas partes uma divisão dupla. Pois eles disseram que a quantidade discreta, ou os quantos (how many), ou subsistem por si mesmos ou devem ser considerados em relação a algum outro; mas que a quantidade contínua, ou o quanto (how much), ou é estável ou está em movimento. Consequentemente, eles afirmavam que a aritmética contempla aquela quantidade discreta que subsiste por si mesma, mas a música aquela que está relacionada a outra; e que a geometria considera a quantidade contínua na medida que ela é imóvel; mas a astronomia τὴν σφαιρικήν) na medida em que ela é de uma natureza automotriz (self-motive). (Proclus, ed. Friedlein, p.35. Quanto à distinção entre τὸ πηλίκον, quantidade contínua, e τὸ πόσον, discreta, ver Iambl., in Nicomachi Geraseni Arithmeticam introductionem, ed. Tennulius, p. 148.)” Cf. p.48.

4 Referenciada por Burnet, op. cit. p. 120.

5 iv., 6. 213b, 22; H. Ritter e L. Preller, Historia Philosophia Graeca, 8ª., Gotha, 1898, p.75 (essa obra será referida no futuro como “R. P.”)

6 [162]A prova pitagórica é aproximadamente como se segue. Se possível, que a razão da diagonal para o lado do quadrado seja de m/n, onde m e n são números inteiros não tendo fator comum. Então nós devemos ter m²=2n². Agora, o quadrado de um número ímpar é ímpar, mas m², sendo igual a 2n², é par. Consequentemente, m deve ser par. Mas o quadrado de um número par divide por 4, portanto n², a qual é a metade de m², deve ser par. Portanto, n deve [163]ser par. Mas, uma vez que m é par, e m e n não têm fator comum, n deve ser ímpar. Dessa forma, n deve ser igualmente ímpar e par, o que é impossível; e, portanto, a diagonal e o lado não podem ter uma razão racional.

7 [165]Com respeito a Zenão e aos pitagóricos, eu derivei muita informação e críticas valiosas a partir do Sr. P. E. B. Jourdain.

8 Assim Platão faz Zenão falar no Parmênides, a propósito de sua filosofia como um todo; e toda evidência interna e extena suporta essa visão.

9 [166]“Com Parmênides,” Hegel diz, “o filosofar propriamente começou.” Werke (edição de 1840), vol. xiii. p. 274.

10 [167]Parmenides, 128 A-D.

11 [168]Essa interpretação é combatida por Milhaud, Les philosophes-géomètres de la Grèce, p. 140 n., mas as razões dele não parecem convincentes para mim. Todas as interpretações no que se segue estão abertas a disputa, mas todas têm o suporte de autoridades respeitáveis.

12 Physics vi. 9. 2396 (R. P. 136-139).

13 [169]Cf. Gaston Milhaud, Les philosophes-géomètres de la Grèce, p. 140 n.; Paul Tannery, Pour L’histoire de la science hellène, p. 249; Burnet, op. cit., p. 362.

14 Cf. R.K. Gaye, “On Aristotle, Physics, Z ix.” Journal of Philology, vol. xxxi., esp. p. iii. Também Moritz Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 1ª ed., vol. i., 1880, p. 168, quem, contudo, subsequentemente, adotou a opinião de Paul Tannery, Vorlesungen, 3ª ed. (vol. i. p. 200).

15 “Le mouvement et les partisans des indivisibles,” Revue de Metáphysique et de Morale, vol. i. pp. 382-395.

16 “Le mouvement et les arguments de Zénon d’Élée,” Revue de Metáphysique et de Morale, vol. i. pp. 107-125.

17 Cf. M. Brochard, “Les prétendus sophismes de Zénon d’Élée,” Revue de Metáphysique et de Morale, vol. i. pp. 209-215.

18 [170]Simplício, Phys., 140, 28 D (R.P. 133); Burnet, op. cit., pp. 364-365.

19 [171]Op. cit., p. 367.

20 As palavras de Aristóteles são: “O primeiro é um sobre a não existência do movimento sobre o solo, de modo que o que é movido sempre deve alcançar o ponto médio antes que o ponto final, sobre o qual nós demos nossa opinião na parte anterior de nosso discurso.” Phys., vi. 9. 939B (R.P. 136). Aristóteles parece referir-se a Phys., vi. 2. 223AB [R.P. 136A]: “Todo o espaço é contínuo, pois tempo e espaço estão divididos nas mesmas e em iguais divisões…. Portanto, também o argumento de Zenão é falacioso, que é impossível atravessar uma coleção infinita ou tocar uma coleção infinita um por um em um tempo finito. Pois há dois sentidos nos quais o termo ‘infinito’ é aplicado igualmente ao comprimento (length) e tempo, e, de fato, a todas as coisas contínuas, quer com respeito à divisibilidade, quer com respeito aos fins. Agora, não é possível tocar coisas infinitas com respeito ao número em um tempo finito, mas é possível tocar coisas infinitas com respeito à divisibilidade: pois o tempo mesmo também é infinito nesse sentido. De maneira que, de fato, nós atravessamos um infinito, [espaço] em um infinito [tempo] e não em um finito [tempo], e nós tocamos coisas infinitas com coisas infinitas, não com coisas finitas.” Philoponus, um comentador do século VI (R.P, 136A, Exc. Paris Philop. In Arist. Phys., 803, 2. Vit.), fornece a ilustração seguinte: “Pois se uma coisa fosse movida o espaço de um côvado (cubit) em uma hora, uma vez que em cada espaço há um número infinito de pontos a coisa movida precisa tocar todos os pontos do espaço: então ela atravessará uma coleção infinita em um tempo finito, o que é impossível.”

21 [172]Cf. O Sr. C. D. Broad, “Note on Achilles and the Tortoise,” Mind, N.S., vol. xxii. pp. 318-9.

22 [173]Op. cit.

23 As palavras de Aristóteles são: “O segundo é o assim chamado de Aquiles. Ele consiste nisto, que o mais lento nunca será ultrapassado pelo mais rápido, pois o perseguidor sempre precisa chegar primeiro ao ponto a partir do qual o perseguido há pouco partiu, de maneira que o mais lento necessariamente sempre tem de estar mais ou menos adiantado.” Phys., vi. 9. 239B (R.P. 137).

24 Phys., vi. 9. 239B (R.P. 138).

25 [175]Phys., vi. 9. 239B (R.P. 139).

26 Loc. cit.

27 [177]Loc. cit., p. 105.