Por George Berkeley
[324]118. Até aqui sobre Filosofia Natural. Agora nós chegamos a realizar alguma investigação concernente àquele outro grande ramo do conhecimento especulativo, a saber, a Matemática1. Esse, por mais celebrado que ele possa ser por sua clareza e certeza de demonstração, a qual dificilmente deve ser encontrada em qualquer outro lugar, mesmo assim, não pode ser suposto completamente livre de erros, se em seus princípios ali se esconde algum erro secreto que é comum aos professores dessas ciências e ao resto do gênero humano. Os matemáticos, embora eles deduzam seus teoremas de uma grande altura de evidência, todavia, seus princípios primeiros estão limitados pela consideração da Quantidade. E eles não ascendem à qualquer investigação que diga respeito àquelas máximas transcendentais que influenciam todas as ciências particulares; cada parte das quais, a Matemática não excetuada, consequentemente, participa dos erros envolvidos nelas. Que os princípios estabelecidos por matemáticos são verdadeiros, e o modo de dedução deles a partir daqueles princípios, claro e incontestável, nós não negamos. Mas nós sustentamos que podem existir certas máximas errôneas de extensão maior do que o objeto da Matemática e, por essa razão, não expressamente mencionadas, embora tacitamente supostas ao longo de todo o progresso daquela ciência; e que os efeitos nocivos daqueles secretos erros não examinados estão espalhados através de todos os ramos da mesma. Para ser simples, nós suspeitamos de que os matemáticos não estão menos profundamente preocupados do que outros homens com os erros surgindo a partir da doutrina das ideias gerais abstratas e da existência de objetos fora da mente.
119. A aritmética foi considerada ter por seu objeto as ideias abstratas de número. Do qual, para entender as propriedades e hábitos mútuos, supõe-se parte não desprezível de conhecimento especulativo. A opinião da natureza pura e intelectual dos números em abstrato tornou-os [325]estimados por aqueles filósofos que parecem ter sido afetados por uma incomum finura e elevação de pensamento. Ela estabeleceu um preço para as especulações numéricas mais insignificantes, as quais, na prática, são inúteis, mas servem apenas para entretenimento; e têm até agora infectado as mentes de alguns, para que eles sonhassem os poderosos mistérios envolvidos nos números e tentassem a explicação das coisas naturais por eles. Mas, se nós rigorosamente investigarmos nossos próprios pensamentos, e considerarmos o que tem sido pressuposto, nós talvez possamos entreter uma opinião baixa desse voos e abstrações elevados, e contemplar todas as investigações sobre números apenas como tantas difficiles nugae, até onde elas não são subservientes à prática, e [não] promovem o benefício da vida.
120. A unidade em abstrato nós já consideramos na seção 13; a partir da qual, e do que foi dito na Introdução, evidentemente se segue que não há semelhante ideia. Mas, o número sendo definido como uma coleção de unidades, nós podemos concluir que, se não há tal coisa como unidade, ou unidade em abstrato, não há ideias de número em abstrato, denotadas por nomes e figuras numerais. Portanto, as teorias na Aritmética, se elas são abstraídas a partir dos nomes e das figuras, como, da mesma forma, de todo uso e prática, assim como de todas as coisas particulares numeradas, podem ser supostas não ter absolutamente nada por seu objetos. Consequentemente, nós podemos ver como a ciência dos números está inteiramente subordinada à prática, e quão estéril e insignificante ela torna-se quando considerada como uma questão de mera especulação2.
121. Porém, uma vez que pode haver alguém quem, iludido pela exibição enganadora da descoberta de verdades abstratas, desperdiça o seu tempo em teoremas e problemas aritméticos que não têm qualquer uso, não será impróprio se mais inteiramente considerarmos e expusermos a vaidade dessa pretensão. E isso aparecerá evidentemente ao darmos uma olhada na Aritmética em sua infância e observarmos o que originalmente colocou os homens no estudo dessa ciência, e para que escopo eles direcionaram-na. É natural pensar que, primeiro, os homens, para facilidade da memória e ajuda na computação, fizeram uso de contadores, ou, na escrita, de únicas marcas, pontos e semelhantes, cada um dos quais foi feito para significar uma unidade, ou seja, alguma coisa de qualquer tipo que eles tiveram ocasião de [326]contar. Depois, eles descobriram as maneiras mais resumidas de fazerem um caractere ficar no lugar de várias marcas ou pontos. E por último, a notação dos Árabes e Indianos entrou em uso; na qual, pela repetição de uns poucos caracteres ou figuras, e variação da significação de cada figura de acordo com a posição que ela adquire, todos os números podem ser expressos mais aptamente. O que parece ter sido feito em imitação da linguagem, de maneira que uma analogia exata é observada entre a notação por figuras e nomes, as nove figuras simples respondendo aos nove primeiros nomes e lugares numerais nas primeiras e correspondendo às denominações nos segundos. E, conforme essas condições do valor simples e local de figuras, foram inventados métodos de descoberta, a partir de figuras ou marcas dadas das partes, de quais figuras e de como posicionadas são apropriadas para denotar o todo, ou vice-versa. E tendo encontrado as figuras buscadas, a mesma regra ou analogia sendo observada em toda a parte, é fácil as ler em palavras; e assim o nome tornou-se perfeitamente conhecido. Pois então o número de quaisquer coisas particulares é dito ser conhecido, quando nós conhecemos o nome ou as figuras (com seu arranjo devido) que, de acordo com a analogia permanente, pertence a elas. Pois, esses sinais sendo conhecidos, nós podemos, através das operações da aritmética, conhecer os sinais de qualquer parte dos montantes particulares significadas por eles; e dessa maneira computá-los em sinais, (por causa da conexão estabelecida entre eles e as multitudes distintas de coisas, das quais uma é tomada por uma unidade), nós podemos ser capazes de corretamente adicionar, dividir e colocar em proporção as coisas mesmas que nós pretendemos numerar.
122. Portanto, em Aritmética, nós consideramos não as coisas, mas os sinais; os quais, no entanto, não são considerados por sua própria causa, mas porque eles dirigem-nos a como agir com relação às coisas, e dispor corretamente delas. Agora, conforme ao que nós antes observamos sobre Palavras em geral (seção 19, Introdução), acontece aqui de maneria similar, que ideias abstratas são consideradas ser significadas por nomes ou caracteres numerais, enquanto elas não sugerem ideias de coisas particulares a nossas mentes. Eu não devo, no presente, entrar em uma dissertação mais particular sobre esse assunto; mas apenas observar que é evidente, a partir do que tem sido dito, que essas coisas que se passam por verdades e [327]teoremas abstratos relativos a números, na realidade, não estão relacionadas a nenhum objeto distinto das particulares coisas numeráveis; exceto apenas a nomes e caracteres, os quais, originalmente, vieram a ser considerados à nenhuma outra conta senão serem sinais, ou capazes de representar aptamente quaisquer coisas particulares que os homens tivessem necessidade de computar. De onde se segue que, estudá-los por sua própria causa, seria tão sábio e para um propósito tão bom, quanto se um homem, negligenciando o uso verdadeiro e a intenção e subserviência originais da linguagem, devesse despender seu tempo em críticas impertinentes sobre palavras, ou raciocínios e controvérsias puramente verbais3.
123. A partir dos números nós prosseguimos para falar da extensão4, a qual, considerada como relativa, é o objeto da geometria. A divisibilidade infinta da extensão finita, embora não esteja expressamente estabelecida quer como um axioma, quer como um teorema daquela ciência, todavia é, ao longo da mesma, suposta em toda parte, e considerada ter uma conexão tão inseparável e essencial com os princípios e demonstrações na Geometria, que os matemáticos nunca a admitiram em dúvida, ou fizeram a menor questão dela. E como essa noção é a fonte a partir da qual brotam todos aqueles divertidos paradoxos geométricos que têm uma semelhante repugnância direta ao evidente senso comum do gênero humano, e são admitidos com tanta relutância em uma mente ainda não viciada pela aprendizagem; assim é a ocasião principal de toda aquela elegante e extrema sutileza, a qual torna o estudo das Matemáticas tão muito difícil e tedioso. Consequentemente, se nós podemos fazer parecer que nenhuma extensão finita contém partes inumeráveis, ou que é infinitamente divisível, segue-se que nós devemos de uma vez elucidar a ciência da Geometria de um grande número de dificuldades e contradições que alguma vez foram estimadas como um descredito para a razão humana e, além disso, tornar a obtenção dela um negócio de muito menos tempo e dificuldades do que até aqui tem sido.
124. Cada extensão finita particular que possivelmente pode ser o objeto de nosso pensamento é uma ideia existindo apenas na mente; e, consequentemente, cada parte dela deve ser percebida. Portanto, se eu não posso perceber inumeráveis partes em qualquer extensão finita que eu considere, é certo que elas não estão contidas nela. Mas é evidente que [328]eu não posso distinguir partes inumeráveis em qualquer linha, superfície ou sólido particular, os quais, ou eu percebo pelo sentido, ou figuro para mim mesmo em minha mente. Portanto, eu concluo que elas não estão contidas nelas. Nada pode ser mais evidentes que as extensões que eu tenho em visão não são outras [coisas] que minhas próprias ideias; e não é menos evidente que eu não posso resolver qualquer uma de minhas ideias em um número infinito de outras ideias; quer dizer, que elas não são infinitamente divisíveis5. Se por extensão finita for significado alguma coisa distinta de uma ideia finita, eu declaro que eu não sei o que é, e, assim, não posso afirmar ou negar nada dela. Mas, se os termos extensão, partes e semelhantes, são tomados em algum sentido concebível – quer dizer, por ideias, - então, dizer que uma quantidade ou extensão finita consiste em partes infinitas em número é uma contradição tão manifesta e flagrante, que cada um, à primeira vista, reconhece-o assim. E é impossível que alguma vez isso deva ganhar o assentimento de qualquer criatura razoável que não seja trazido a ele por graus gentis e lentos, como um Gentio convertido6 à crença na transubstanciação. Prejuízos antigos e enraizados frequentemente se tornam princípios. E aquelas proposições que uma vez obtêm a força e o crédito de um princípio, são não apenas elas mesmas, mas, da mesma maneira, o que quer que seja dedutível a partir delas, consideradas privilegiadas de todo o exame. E não há absurdidade tão grosseira, a qual, por esse meio, a mente do homem não possa ser preparada para absorver7.
125. Aquele cujo o entendimento está predisposto à doutrina das ideias abstratas gerais pode ser persuadido de que (o que quer que seja considerado das ideias do sentido) a extensão em abstrato é infinitamente divisível. E alguém que pensa que os objetos do sentido existem fora da mente talvez, em virtude disso, seja levado a admitir8 que uma linha de uma extensão de apenas uma polegada pode conter inumeráveis partes realmente existentes, embora pequenas demais para serem discernidas. Esses erros estão [329]enxertados tão bem nas mentes dos geômetras como nas de outros homens, e têm uma influência similar sobre seus raciocínios; e não foi uma coisa difícil revelar como os argumentos a partir da Geometria fazem uso [deles] para suportar a divisibilidade infinita da extensão estão assentados neles. [9Mas isso, se for considerado necessário, daqui em diante, nós podemos encontrar um lugar apropriado para tratar de uma maneira particular.] No presente, nós apenas devemos observar em geral por que motivo é que os matemáticos estão tão inteiramente afeiçoados a e obstinados com essa doutrina.
126. Foi observado em outro lugar que os teoremas e demonstrações na Geometria estão relacionados com ideias universais (seção 15, introdução): onde é explicado em que sentido isso deve ser entendido, a saber, supõem-se que as linhas e figuras particulares no diagrama representam inúmeras outras de tamanhos diferentes; ou, em outras palavras, o geômetra considerara-as abstraindo-as da magnitude delas: o que não implica que elas formem uma ideia abstrata, mas apenas que ele não se importa qual é a magnitude particular, se grande ou pequena, mas considera isso como uma coisa indiferente para a demonstração. Consequentemente, segue-se que uma linha no esquema de apenas uma polegada de comprimento deve ser indicada como se ela contivesse dez mil partes, uma vez que ela é considerada não em si mesma, como se ela fosse universal; e ela é universal apenas em sua significação, por meio da qual ela representa inumeráveis linhas maiores do que ela mesma, nas quais podem ser distinguidas dez mil partes ou mais, embora não possa haver acima de uma polegada nela. Segundo essa maneira, as propriedades das linhas significadas são (por uma figura muito comum) transferidas para o sinal e, consequentemente, através erro, consideradas pertencerem a ela em sua própria natureza.
127. Porque não há nenhum número de partes tão grande, mas é possível que exista uma linha contendo mais, diz-se que a linha de polegada (inch-line) contém mais partes do que qualquer número atribuível; o que é verdadeiro, não da polegada tomada absolutamente, mas apenas para as coisas significadas por ela. Mas os homens, não retendo essa distinção em seus pensamentos, deslizam para dentro de uma crença de que a pequena linha particular descrita no papel contém partes inumeráveis em si mesma. Não há [330]tal coisa como a décima milésima parte de uma polegada; mas há de uma milha ou do diâmetro da terra, os quais podem ser significados por aquela polegada. Portanto, quando eu traço um triângulo em um papel, e tomo um lado, por exemplo, não acima de uma polegada de comprimento, para ser o raio, isso eu considero como dividido em 10000 ou 100000 partes ou mais. Pois, embora a décima milésima parte daquela linha considerada em si mesma, nada é absolutamente, e, consequentemente, pode ser negligenciada sem qualquer erro ou inconveniência, todavia, essas linhas descritas, sendo apenas marcas representando quantidades maiores, das quais pode ser que a décima milésima parte seja muito considerável, segue-se que, para evitar erros notáveis na prática, o raio precisa ser tomado como de 10000 partes ou mais.
128. A partir do que foi dito a razão é simples de porque, ao final, qualquer teorema torna-se universal em seu uso; é necessário que nós falemos das linhas descritas no papel como se elas contivessem partes que elas realmente não contêm. Fazendo isso, se examinarmos a questão minuciosamente, nós talvez devamos descobrir que nós não podemos conceber uma polegada mesma como consistindo, ou sendo divisível, em mil partes, mas apenas alguma outra linha que é muito maior do que uma polegada, e representada por ela; e que quando nós dizemos que uma linha é infinitamente divisível, nós devemos querer dizer10 uma linha que é infinitamente grande. O que aqui tem sido observado parece ser a causa principal de porque supor a divisibilidade infinita da extensão finita tem sido considerado necessário em geometria.
129. As várias absurdidades e contradições que fluem a partir desse falso princípio, alguém poderia pensar, têm sido consideradas tantas demonstrações contra elas. Mas, por qual lógica eu não conheço, é sustentado que provas a posteriori não devem ser admitidas contra proposições relacionadas à Infinidade. Como se não fosse impossível, mesmo para uma Mente Infinita, reconciliar contradições; ou como se qualquer coisa absurda e repugnante pudesse tem uma conexão necessária com a verdade, ou fluir a partir dela. Mas quem quer que considere a fraqueza dessa pretensão, pensará que ela foi inventada de propósito para se adaptar à preguiça da mente, a qual antes teria aquiescido em um [331]ceticismo indolente do que ficar nas dificuldades de atravessar com um exame severo aqueles princípios que alguma vez adotou por verdadeiros.
130. Recentemente, as especulações sobre infinitos correram tão alto, e cresceram a noções tão estranhas, como a ter ocasionado escrúpulos e disputas não pequenas entre os geômetras da época presente. Alguns há de grande observação que, não contentes em sustentarem que linhas finitas podem ser divididas em um número infinito de partes, ainda adicionalmente sustentam que cada um daqueles Infinitesimais é em si mesma subdivisível em uma infinidade de outras partes, ou infinitesimais de uma segunda ordem, e assim por diante ad infinitum. Esses, eu digo, afirmam que há Infinitesimais de Infinitesimais de Infinitesimais, sem alguma vez chegar a um fim. De maneira que, de acordo com eles, uma polegada não meramente contém um número infinito de partes, mas uma infinidade de uma infinidade de uma infinidade de partes, ad infinitum. Outros há que sustentam que todas as ordens de Infinitesimais abaixo da primeira não serem absolutamente nada; pensando com boa razão [ser] absurdo imaginar que haja qualquer quantidade ou parte positiva de extensão que, embora multiplicada infinitamente, pode alguma vez igualar a menor extensão dada. E todavia, do outro lado, parece não menos absurdo considerar [que] o quadrado, o cubo, ou outras potências de uma raiz real positiva, devam elas mesmas serem absolutamente nada; o que aqueles quem sustentam Infinitesimais da primeira ordem, negando todas as ordens subsequentes, estão obrigado a sustentar.
131. Portanto, não temos nós razão para concluir [que] eles ambos estão errados, e que, com efeito, não há semelhante coisa como o infinitamente pequeno, ou um número de partes contidas em qualquer quantidade finita? Mas você dirá que, se essa doutrina prevalece, seguir-se-á que as fundações mesmas da Geometria são destruídas, e que aqueles grandes homens, quem elevaram essa ciência a uma altura tão surpreendente, estiveram, durante todo o tempo, construindo um castelo no ar. Isso pode ser respondido, que o que quer que seja útil em geometria, e promova o benefício para a vida humana, permanece firme e inabalado sobre nossos Princípios; essa ciência, considerada como prática, antes receberá vantagem que qualquer prejuízo a partir do que tem sido dito. Mas, para colocar isso sob uma luz devida, [11e revelar como linhas e figuras podem ser [332]medidas e suas propriedades investigas, sem supor a extensão finita ser infinitamente divisível,] pode ser o assunto apropriado para outro lugar12. De resto, embora deva seguir-se que algumas das partes mais intrincadas e sutis da Matemática Especulativa possam ser podadas sem qualquer prejuízo para a verdade, todavia, eu não vejo que dano dai será derivado para a humanidade. Pelo contrário, eu penso que fosse altamente a ser desejado que homens de tão grandes habilidades e aplicação obstinada13 retirassem seus pensamentos desses entretenimentos e empregassem-nos no estudo de tais coisas que jazem mais próximas das preocupações da vida, ou tem uma influência mais direta sobre as maneiras.
132. Deve ser dito que vários teoremas, indubitavelmente verdadeiros, são descobertos por métodos nos quais os Infinitesimais são utilizados, o que nunca poderia ter sido, se a existência deles incluísse uma contradição nela: eu respondo que, após uma investigação minuciosa, não será descoberto que em qualquer instância seja necessário fazer uso de ou conceber partes infinitesimais de linhas finitas, ou mesmo quantidades menores do que o mínimo sensível: ou melhor, ficará evidente que nunca foi feito, sendo impossível. [14E o que quer que os matemáticos possam pensar de Fluxões, ou do Cálculo Diferencial, e semelhantes, uma pequena reflexão revelará que, ao trabalharem com esses métodos, eles não concebem ou imaginam linhas ou superfícies menores do que as que são percebidas pelos sentidos. De fato, eles podem chamar aquelas quantidades pequenas e quase insensíveis de Infinitesimais, ou Infinitesimais de infinitesimais, se eles desejarem. Mas, no funo disso tudo, elas sendo em verdade finitas; nem a solução de problemas requer a suposição de qualquer outra. Mas isso ficará mais claramente representado a seguir15.]
ORIGINAL:
BERKELEY, G. A Treatise concerning the Principles of Human Knowledge [Part I]. First published in 1710. IN:______. The Works of George Berkeley. Oxford: Clarendon Press, 1901. p.324-332. Disponível em: <https://archive.org/details/worksofberkeley01berkuoft/page/324/mode/1up>
TRADUÇÃO:
EderNB do Blog Mathesis
Licença: CC BY-NC-SA 4.0
1 [324]As seções 118-132, portanto, estão preocupadas com os Novos Princípios em sua plicação à Matemática. O fundamento das ciências matemáticas ocupou muito do pensamento de Berkeley no começo de sua vida e em seus últimos anos. Ver o seu Analyst.
2 [325]Relações numéricas são realizadas apenas na experiência concreta.
3 [327]Cf. Nova Teoria da Visão, seções 107, etc.
4 Ibid. seções 122-125, 149-160.
5 [328]Uma extensão infinitamente divisível, sendo não percebida, deve ser irreal – se sua existência é tornada real apenas em e através de percepção, ou, pelo menos, imaginação efetivas. Portanto, a única extensão possível é a extensão sensível, a qual não poderia ser infinitamente divisível sem as supostas partes cessando de ser percebidas ou reais.
6 ‘Gentio convertido’ – ‘pagão convertido’ – na primeira edição.
7 Cf. Essay, Bk. I, ch. 3, §25, por Locke.
8 ‘talvez, em virtude disse, seja levado a admitir,’ etc – ‘não continuará a afirmar,’ etc – na primeira edição.
9 [329]Omitido na segunda edição. Ver o Analyst.
10 [330]‘nós devemos querer dizer’ – ‘nós queremos dizer (se nós queremos dizer alguma coisa)’ – na primeira edição.
11 [331]Omitido na segunda edição.
12 [332]Isso faz referência à pretendida ‘Parte II’ dos Princípios?
13 ‘homens de grandes habilidades e aplicação obstinada,’ etc. - ‘homens das maiores habilidades e da aplicação mais obstinada,’ etc. - na primeira edição.
14 O que se segue até o final desta seção é omitido na segunda edição.
15 Isso faz referência à pretendida ‘Parte II’ dos Princípios?
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