Capítulo 1 O que é Lógica?
por Matthew Knachel
Há uma visão antiga, ainda amplamente sustentada, de que o que torna seres humanos especiais – o que nos distingue das “feras do campo” – é que nós somos racionais. No que a racionalidade consiste? Essa é uma questão disputada, mas uma resposta simples segue aproximadamente como esta: nós manifestamos nossa racionalidade ao engajar-nos em atividades que envolvem raciocínio – fazendo alegações e suportando-as com razões, agindo de acordo com razões e crenças, extraindo inferências a partir de evidência disponível, e assim por diante.
Essa atividade de raciocínio pode ser feita bem e pode ser feita mal; pode ser feita corretamente ou incorretamente. A lógica é a disciplina que objetiva distinguir o bom raciocínio do ruim.
O bom raciocínio não é necessariamente raciocínio efetivo. De fato, como nós deveremos ver em um capítulo subsequente sobre falácias lógicas, o raciocínio ruim é pervasivo e extremamente efetivo – no sentido de que as pessoas frequentemente são persuadidas por ele. Em lógica, o padrão de bondade não é a efetividade no sentido de persuasividade, mas antes correção (correctness) de acordo com as regras lógicas.
Por exemplo, considere Hitler. Ele persuadiu uma nação inteira a aquiescer com uma variedade de propostas que não eram apenas falsas, mas realmente malignas. Você não ficará surpresa de ouvir que, se você examiná-lo criticamente, o raciocínio dele não passa em inspeção lógica. Os argumentos de Hitler foram efetivos, mas não logicamente corretos. Além disso, as técnicas persuasivas dele vão além do raciocínio no sentido de suportar alegações com razões. Hitler dependeu de ameças, manipulação emocional, afirmações não suportadas, etc. Há muito truques retóricos que alguém pode usar para persuadir.
Em lógica, nós estudamos as regras e técnicas que nos permitem distinguir o raciocínio bom, correto, do ruim, incorreto.
Uma vez que há uma variedade de tipos de raciocínio e métodos com os quais avaliar cada um desses tipos, mais várias visões divergentes sobre o que constitui raciocínio correto, há muitas abordagens para o empreendimento lógico. Nós falamos de lógica, mas também de lógicas. Uma lógica é apenas um conjunto de regras para distinguir o bom raciocínio do ruim. Uma lógica precisa formular padrões precisos para a avaliação de raciocínios e desenvolver métodos para a aplicação desses padrões a instâncias particulares.
NOÇÕES BÁSICAS
O raciocínio envolve alegações (claims) ou declarações (statements) – fazendo-os e suportando-os com razões, extraindo suas consequências. Proposições são as coisas que nós alegamos, declaramos e afirmamos.
Proposições são os tipos de coisas que podem ser verdadeiras ou falsas. Elas são expressas por sentenças declarativas. Nós usamos tais sentenças para fazer todos os tipos de afirmações, desde rotineiras questões de fato (“a Terra gira em torno do Sol”), até grandes teses metafísicas (“a realidade é um Absoluto imutável, sem características, unificado”), até alegações sobre moralidade (“é errado comer carne”).
É importante distinguir sentenças que estão no modo declarativo, as quais expressam proposições, de sentenças em outros modos, as quais não o fazem. Sentenças interrogativas, por exemplo, fazem perguntas (“Está chovendo?”), e sentenças imperativas emitem comandos (“Não beba querosene.”). Não faz sentido perguntar se esses tipos de sentenças expressam verdades ou falsidades, assim, elas não expressam proposições.
Nós também distinguimos as proposições das sentenças que as expressam, porque uma única proposição pode ser expressa por sentenças diferentes. Tanto “está chovendo (It’s raining)” quanto “es regnet” expressam a proposição que está chovendo; uma está em português (inglês), a outra em alemão. Também, tanto “João ama Maria (John loves Mary)” quanto “Maria é amada por John (Mary is loved by John)” expressam a mesma proposição.
A unidade fundamental de raciocínio é o argumento. Em lógica, por “argumento” nós não queremos dizer uma discordância, uma disputa de gritos (shouting match), nós definimos o termo precisamente:
Argumento = um conjunto de proposições, uma das quais, a conclusão, é (suposta ser) suportada pelas outras, as premissas.
Se nós estamos raciocinamos fazendo alegações (claims) e suportando-as com razões, então a alegação que está sendo suportada é a conclusão de um argumento; as razões dadas para a suportar são as premissas do argumento. Se nós estamos raciocinando extraindo uma inferência a partir de um conjunto de declarações (statements), então a inferência que nós extraímos é a conclusão de um argumento, e as declarações a partir das quais elas são extraídas são as premissas.
Nós incluímos a barreira de parenteses – (“suposta ser”) – na definição para abrir caminho para argumentos ruins. Um argumento ruim, falando muito grosseiramente, é um onde as premissas falham em suportar a conclusão; as premissas de um bom argumento efetivamente suportam a conclusão.
ANÁLISE DE ARGUMENTOS
A passagem seguinte expressa um argumento:
Você não deveria comer no McDonald’s. Por quê? Primeiro de tudo, porque eles pagam a seus trabalhadores salários muito baixos. Segundo, os animais que fornecem a carne deles são criados em condições deploráveis. Por último, a comida é extremamente pouco saudável.
Da mesma forma, esta passagem:
O universo é vasto é complexo. E contudo, ele não exibe um surpreendente grau de ordem? Os planetas orbitam o sol de acordo com leis regulares, e as minúsculas partes dos animais são organizadas precisamente para servir aos seus propósitos. Tais ordem e complexidade não podem surgir aleatoriamente. Portanto, o universo deve ser o produto de um Autor de poder e intelecto enormes, a quem nós chamamos de Deus.
Novamente, o propósito último da lógica é avaliar argumentos – para distinguir os bons dos ruins. Para o fazer, são requeridas distinções, definições, princípios e técnicas que serão delineadas nos capítulos subsequentes. Por agora, nós nos focaremos na identificação e reconstrução de argumentos.
A primeira tarefa é explicar argumentos – expor explicitamente suas premissas e conclusões. Uma maneira perspicaz de fazer isso é simplesmente listar sentenças declarativas expressando as proposições relevantes, com uma linha separando as premissas da conclusão, dessa forma:
O McDonald’s para os seus trabalhadores salários muito baixos.
Os animais que fornecem a carne do McDonald’s são criados em condições deploráveis.
A comida do McDonald’s é muito pouco saudável.
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/∴ Você não deveria comer no McDonald’s.1
Essa é uma exposição da primeira passagem argumentativa acima. Para identifica a conclusão de um argumento, é útil perguntar a si mesmo, “No que essa pessoa está tentando convencer-me a acreditar dizendo essas coisas? Qual é o ponto final dessa passagem?” A resposta está bastante clara nesse caso. Outra pista quanto ao que está ocorrendo na passagem é fornecida pela palavra “porque (because)” na terceira sentença. Junto com outras palavras, como “uma vez que (since)” e “pois (for),” ela indica a presença de uma premissa. Nós podemos chamar tais palavras de marcadores de premissa. O símbolo “/∴” pode ser lido como forma abreviada para “portanto (therefore).” Junto com expressões como “consequentemente,” “assim (thus),” “segue-se que (it follows that)” e “o que implica que (which implies that),” “portanto” é um indicador de que a conclusão do argumento está prestes a seguir. Nós chamamos semelhantes locuções de marcadores de conclusão. Um tal marcador não está presente no primeiro argumento, mas nós vemos um no segundo, o qual pode ser explicado assim:
O universo é vasto e complexo.
O universo exibe um surpreendente grau de ordem.
Os planetas orbitam o sol de acordo com leis regulares.
As minúsculas partes dos animais estão organizadas precisamente para servirem aos seus propósitos.
Tais ordem e complexidade não podem surgir aleatoriamente.
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/∴ O universo deve ser o produto de um autor de pode e intelecto enormes: Deus.
Vários pontos de comparação para nossa primeira exposição são dignos de nota aqui. Primeiro, como mencionado, nós somos alertados da conclusão pela palavra “portanto.” Segundo, essa passagem requereu muito mais paráfrase do que a primeira. A segunda sentença é interrogativa, não declarativa, e assim ela não expressa uma proposição. Uma vez que argumentos são, por definição, coleções de proposições, nós precisamos nos restringir a sentenças declarativas quando os explicando. Uma vez que a resposta para a questão retórica da segunda sentença é claramente “sim,” nós parafraseamos como mostrado. A terceira sentença expressa duas proposições, assim, em nossa explicação, nós as separamos; cada uma é uma premissa.
Assim, algumas vezes, quando nós expomos um argumento, nós temos de tomar o que está presente na passagem argumentativa e mudá-lo levemente, de maneira que todas as sentenças que nós escrevemos expressem as proposições presentes no argumento. Isso é parafrasear. Em outras vezes, nós temos de fazer ainda mais. Por exemplo, nós podemos ter de introduzir proposições que não estão explicitamente mencionadas no interior da passagem argumentativa, mas indubitavelmente são usadas no interior do raciocínio do argumento.
Há uma palavra grega para passagens argumentativas que deixam certas proposições não declaradas: entimemas. Aqui está um exemplo:
Não pode existir um Deus amoroso (all-loving God), porque tantos inocentes estão sofrendo por toda parte do mundo.
Há uma premissa implícita escondendo-se em segundo plano aqui – alguma coisa que não dita, mas que necessita ser verdadeira para o argumento progredir. Nós necessitamos de uma alegação que conecte a premissa com a conclusão – isso constrói uma ponte entre elas. Alguma coisa como isto: Um Deus amoroso não permitiria que pessoas inocentes sofressem. Ou talvez: sofrimento muito difundido é incompatível com a ideia de uma divindade amorosa. A premissa aponta para o sofrimento, enquanto que a conclusão é sobre Deus; essas proposições conectam essas duas alegações. Uma explicação completa da passagem argumentativa tornaria uma proposição como esta explicita:
Muitas pessoas inocentes estão sofrendo por toda parte do mundo.
Um Deus amoroso não permitiria que pessoas inocentes sofressem.
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/∴Não pode existir um Deus amoroso.
Esta é a marca dos tipos de premissas tácitas que nós queremos descobrir: se elas são falsas, elas enfraquecem o argumento. Frequentemente, premissas como essas estão não declaradas por uma razão: elas são controversas por si mesmas, requerendo evidência para as suportar; assim o argumentador deixa-as de fora, preferindo não ficar atolado (to get bogged down).2 Contudo, quando nós as extraímos, nós podemos forçar uma troca dialética mais robusta, focando o argumento no coração da questão. Nesse caso, uma discussão sobre a compatibilidade da bondade de Deus com o mal no mundo estaria em ordem. Há muito a ser dito sobre esse tópico. Filósofos e teólogos desenvolveram argumentos elaborados através dos séculos para defender a ideia de que a bondade de Deus e o sofrimento humano de fato são compatíveis.3
Até agora, nossa análise de argumentos não foi particularmente profunda. Nós notamos a importância da identificação da conclusão e claramente da declaração das premissas, mas nós não examinamos as maneiras pelas quais conjuntos de premissas podem suportar suas conclusões. Nós meramente notamos que, coletivamente, as premissas fornecem suporte para conclusões. Nós não examinamos como elas o fazem, que tipos de relações elas têm umas com as outras. Isso requer uma análise mais profunda.
Frequentemente, diferentes premissas suportarão uma conclusão – ou outra premissa – individualmente, sem ajuda de nenhuma outra. Considere este simples argumento:
(1) A invasão do Iraque pela América foi um ato de agressão, não de autodefesa. Em adição, (2) é irracional esperar que os benefícios da guerra prevaleceriam sobre os horrores inevitáveis que ela desencadearia. Portanto, (3) a Guerra do Iraque não foi uma guerra justa.
As proposições 1 e 2 suportam a conclusão, a proposição 3, e elas fazem-no independentemente. Cada uma fornece uma razão para acreditar que a guerra foi injusta, e cada uma coloca-se como uma razão mesmo se nós devêssemos supor que a outra não fosse verdadeira; isso é a marca de premissas independentes.
Pode ser útil, especialmente quando argumentos são muito complexos, desenhar diagramas que representam as relações entre premissas e conclusão. Nós podemo representar o argumento acima como se segue:
Em um tal diagrama, os números circulados representam as proposições e as setas representam a relação de suporte a partir de uma premissa para outra. Uma vez que as proposições 1 e 2 suportam a 3 cada uma independentemente, elas recebem suas próprias setas.
Outras relações entre premissas são possíveis. Algumas vezes, as premissas fornecem suporte para conclusões apenas indiretamente, dando-nos uma razão para acreditar em alguma outra premissa, a qual é a intermediária entre duas alegações. Considere o seguinte argumento:
(1) Poetas são meros “imitadores” cujas obras obscurecem a verdade; consequentemente, (2) eles têm uma influência corruptora sobre as almas dos cidadãos. (3) Portanto, poetas devem ser banidos da cidade-estado ideal.4
Nesse exemplo, a proposição 1 fornece suporte para a proposição 2 (a palavra “consequentemente (hence)” é uma pista), enquanto que a proposição 2 suporta diretamente a conclusão em 3. Nós representaríamos as relações entre essas proposições desta maneira:
Algumas vezes as premissas precisam trabalhar juntas para fornecer suporte para outra alegação, não porque uma delas fornece razão para acreditar na outra, mas porque nem uma delas fornece suporte necessária por si mesma; nós chamamos tais proposições de premissas conjuntas. Considere o seguinte:
(1) Se verdadeira inteligência artificial é possível, então alguém precisa ser capaz de programar um computador para ser consciente. (2) Mas é impossível programar consciência. Portanto, (3) verdadeira inteligência artificial é impossível.
Nesse argumento, nem a premissa 1 nem a premissa 2 suporta a conclusão por si mesma; antes, a segunda premissa, por assim dizer, fornece uma chave para destravar a conclusão a partir da premissa condicional 1. Nós podemos indicar semelhante interdependência diagramaticamente com suportes (brackets), desta maneira:
A diagramação de argumentos dessa maneira pode ser útil tanto no entendimento de como eles funcionas quanto para informar de qualquer tentativa de criticamente se envolver com eles. Alguém pode ver claramente no primeiro argumento que qualquer consideração apresentada contrária a uma das premissas independentes não enfraquecerá completamente o suporte para a conclusão, visto que ainda há outra premissa fornecendo-a suporte em algum grau. No segundo argumento, contudo, razões falando contra a segunda premissa interromperiam o suporte para a conclusão em sua raiz; e qualquer coisa contrária à primeira premissa deixariam a segunda em necessidade de suporte. E no terceiro argumento, considerações contrárias a qualquer uma das premissas conjuntas enfraquecerão o suporte para a conclusão. Especialmente quando os argumentos são mais complexos, tais auxílios visuais podem ajudar-nos a reconhecer tudo das inferências no interior do argumento.
Talvez será útil concluir considerando um argumento levemente mais complexo. Consideremos a natureza dos números:
(1) Os números são ou objetos abstratos ou concretos. (2) Eles não podem ser objetos concretos porque (3) eles não têm uma localização no espaço e (2) eles não interagem causalmente com outros objetos. Portanto, (5) os números são objetos abstratos.
A conclusão desse argumento é a última proposição, de que números são objetos abstratos. Note que a primeira premissa fornece uma escolha entre essa alegação e uma alternativa – que eles são concretos. A segunda premissa nega essa alternativa, e assim as premissas 1 e 2 estão funcionando juntas para suportar a conclusão:
Agora nós precisamos abrir espaço em nosso diagrama para as proposições 3 e 4. Elas estão lá para dar-nos razões para acreditar que os números não são objetos concretos. Primeiro, afirmando que os números não estão localizados no espaço como os objetos concretos estão, e segundo, afirmando que os números não interagem com outros objetos, como objetos concretos fazem. Essas são razões separadas, independentes, para acreditar eles não são concretos, assim nós terminamos com este diagrama:
LÓGICA E FILOSOFIA
No coração do empreendimento lógico está uma questão filosófica: O que produz um bom argumento? Quer dizer, o que é para um conjunto de alegações fornecer suporte para alguma outra alegação? Ou talvez: quando nós estamos justificados em extrair inferências? Para responder a essas questões, os lógicos desenvolveram uma ampla variedade de sistemas lógicos, cobrindo diferentes tipos de argumentos, e aplicando diferentes princípio e técnicas. Muitas das ferramentas desenvolvidas na lógica podem ser aplicadas além dos confins da filosofia. O matemático provando um teorema, o cientista da computação programando um computador, o linguista modelando a estrutura da linguagem – todos esses estão usando métodos lógicos. Porque a lógica tem uma aplicação tão ampla, e por causa da sofisticação formal/matemática de muitos sistemas lógicos, ela ocupa um lugar único no curriculum filosófico. Uma aula de lógica é tipicamente diferente de outras aulas em filosofia naquele muito pouco tempo que é gasto diretamente se engajando com e tentando responder as “grandes questões;” em vez disso, alguém muito rapidamente se concentra na atividade de aprender formalismos lógicos. As questões que a lógica está tentando responder são questões filosóficas importantes, mas as técnicas desenvolvidas para as responder são dignas de estudo por si mesmas.
Contudo, isso não significa que nós devamos pensar a lógica e a filosofia como meramente tangencialmente relacionadas; pelo contrário, elas são profundamente entrelaçadas. Pois tudo das características extras (bells and whistles) formais apresentadas no último sistema lógico sofisticado, na base, é uma parte de um esforço para responder à questão fundamental do que se segue a partir do que. Além disso, a lógica é útil para o filósofo praticamente de, pelo menos, três outras maneiras.
Filósofos tentam responder a questões profundas, disputadas – sobre a natureza da realidade, o que constitui uma boa vida, como criar uma sociedade justa e assim por diante. Eles dão respostas para essas questões, eles suportam essas respostas com razões. Então outros filósofos consideram os argumentos deles e respondem com elaborações e críticas – argumentos deles mesmos. A filosofia é conduzida e faz progressos através da troca de argumentos. Uma vez que eles são a ferramenta primária para o comércio deles, é melhor os filósofos conhecerem um pouco sobre o que produz argumentos bons! Portanto, a lógica é essencial para a prática da filosofia.
Mas a lógica não é meramente uma ferramenta para avaliação de argumentos filosóficos; ela alterou o curso da conversa filosófica em curso. Como os lógicos desenvolveram sistemas formais para modelar a estrutura cada vez mais ampla da variedade de práticas discursivas, os filósofos têm sido capazes de aplicar suas introspecções diretamente aos problemas filosóficos tradicionais e reconhecer avenidas previamente ocultas de investigação. Desde a virada do século XX, especialmente, a proliferação de novas abordagens em lógica provocou uma revolução na prática da filosofia. Não é um exagero demais dizer que muito da história da filosofia no século XX constituiu-se em uma tentativa em progresso para abordar os novos desenvolvimentos em lógica, e o foco filosófico sobre a linguagem que eles pareciam exigir. Nenhum tópico filosófico – da metafísica até a ética, até a epistemologia e além – ficou intocado por essa revolução.
Finalmente, a lógica mesma é a fonte de fascinantes questões filosóficas. A questão básica em seu coração – o que é para uma alegação seguir-se a partir de outras? - ramifica-se em uma miríade de direções, fornecendo solo fértil para especulação filosófica. Há lógica, e então há filosofia da lógica. A lógica é dita ser “formal,” por exemplo. O que isso significa? É uma questão surpreendentemente difícil para responder.5 Nossas formulações lógicas mais simples de sentenças condicionais (aquelas envolvendo “se (if)”), conduzem a paradoxos aparentes.6 Como essas devem ser resolvidas? Devem nossos formalismos ser alterados para melhor capturarem os significados em linguagem natural de condicionais? Qual é a relações apropriadas entre sistemas lógicas e linguagens naturais, em todo o caso?
Tradicionalmente, a maioria dos lógicos aceitou que a lógica deve ser “bivalente”: cada proposição é verdadeira ou falsa. Mas linguagens naturais contêm termos vagos, as fronteiras de aplicabilidade dos quais não são sempre claras. Por exemplo, “careca (bald)”: para certos sujeitos nós estamos inclinados a dizer que eles estão bem no caminho da completa calvície, mas ainda não estão exatamente lá; por outro lado, nós estaríamos relutantes em dizer que eles são não calvos. Há casos intermediários. Para tais casos, nós poderíamos querer dizer, por exemplo, que a proposição de que Fredo é calvo não é nem verdadeira nem falsa. Alguns lógicos desenvolveram lógicas que não são bivalentes, para lidar com esse tipo de fenômenos linguístico. Alguns adicionaram um terceiro valor de verdade (truth-value): “nem (neither)” ou “indeterminado,” por exemplo. Outros introduziram infinitos graus de verdade (isso é chamado de “lógica difusa (fuzzy logic)”). Essas lógicas afastam-se das abordagens tradicionais. Portanto, elas estão erradas de alguma maneira? Ou elas estão certas, e os tradicionalistas errados? Ou até; nós estamos fazendo uma pergunta sensível quando nós perguntamos se um particular sistema lógica é certo ou errado? Nós podemos ser os assim chamados lógicos “pluralistas,” aceitando uma variedade de lógicas incompatíveis, dependendo, por exemplo, de se elas são úteis?
Esse tipos de questões estão além do escopo deste texto introdutório, é claro. Elas estão incluídas para dar a você uma sensação de qual longe alguém pode levar o estudo da lógica. A tarefa por agora, contudo, é começar esse estudo.
EXERCÍCIOS
Primeiro, explique os argumentos seguintes, parafraseando-os conforme necessário e incluindo premissas tácitas quando explicitamente instruído a fazê-lo. Em seguida, diagrame os argumentos.
Os números, se eles de qualquer maneira existem, devem ser objetos concretos ou abstratos. Objetos concretos – como planetas e pessoas – são capazes de interagir com outras coisas em relações de causa e efeito. Os números carecem dessa habilidade. Portanto, os números são objetos abstratos. [Você necessitará adicionar uma premissa intermediária aqui!]
Finde-se a pena de morte! Por quê? Ela é imoral. Estudos numerosos mostraram que há um viés racial em sua aplicação. O aumento dos testes de DNA exonerou vintenas de prisioneiros no corredor da morte; quem sabe quantas pessoas inocentes foram mortas no passado? A pena de morte também é impraticável. A vingança é contraprodutiva: “Um olho por olho deixa todo o mundo cego,” como Gandhi disse. Além disso, os custos de casos de litígios de pena de morte, com seus apelos sem fim, são enormes.
Um sistema econômico justo exibiria uma distribuição equitativa de recursos e uma ausência de exploração. O capitalismo é um sistema econômico injusto. Sob o capitalismo, a típica distribuição de riqueza é altamente torcida em favor dos ricos. E os trabalhadores são explorados: a despeito de seu papel essencial para a produção de bens para o mercado, a maior parte dos lucros a partir das vendas de bens vai para os donos das firmas, não para seus trabalhadores.
A mente e o cérebro não são idênticos. Como coisas podem ser idênticas se elas têm propriedades diferentes? Há uma propriedade que a mente e o cérebro não compartilham: o cérebro é divisível, mas a mente não é. Como todas as coisas materiais, o cérebro pode ser dividido em partes – diferentes metades, regiões, neurônios, etc. Mas a mente é uma unidade. É minha essência pensante, na qual eu não posso discernir nenhuma parte separada.7
Todo adulto de corpo fisicamente robusto (able-bodied) deve participar da força de trabalho (workforce). Quanto mais pessoas trabalhando, maior a riqueza da nação, o que beneficia economicamente a todos. Adicionalmente, não há substituto para a dignidade que os trabalhadores encontram no trabalho. Portanto, o governo deveria emitir créditos em impostos (tax credits) para encorajar as pessoas a entrarem na força de trabalho. [Inclua em sua explicação uma premissa tácita, não explicitamente declaradas na passagem, mas necessária para suportar a conclusão.]
ORIGINAL:
KNACHEL, M. What is Logic? In: MARTIN, B. Introduction to Philosophy: Logic, Rebus Community: 2020. Disponível em: <https://press.rebus.community/intro-to-phil-logic/chapter/chapter-1/>
TRADUÇÃO:
EderNB do Blog Mathesis
Licença: CC BY 4.0
1 Os símbolos anteriores à conclusão, “/∴” representam a palavrar “portanto (therefore).”
2 Essa nem sempre é a razão. Algumas alegações são deixadas tácitas simplesmente porque todo o mundo aceita-as e declará-las seria um desperdício de tempo. Se nós argumentamos, “Elefantes são mamíferos e assim de sangue quente,” nós omitimos a alegação de que todos os mamíferos são de sangue quente por essa razão inocente.
3 Esses argumentos até tem um nome especial: eles são chamados de “teodiceias.”
4 Uma versão extremamente comprimida das objeções de Platão à poesia no Livro X de A República.
5 John MacFarlane, em sua tese de doutorado amplamente lida, gasta mais de 300 páginas nessa questão. Ver: MacFarlane, J. 2000. “What Does It Mena to Say That Logic Is Formal?” Universidade de Pittsburgh.
6 Para uma explicação concisa, ver o verbete da Wikipedia sobre os paradoxos da implicação material (https://en.wikipedia.org/wiki/Paradoxes_of_material_implication).
7 Uma versão simplificada de um argumento de René Descartes.
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